《数学分析》第十四章幂级数14页文档资料.docx

1、数学分析第十四章幂级数14页文档资料 第十四章 幂级数 （ 1 0 时 ） 1 幂级数（ 4 时 ）幂级数的一般概念.型如 和 的幂级数.幂级数由系数数列唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如的幂级数.幂级数是最简单的函数项级数之一.一. 幂级数的收敛域:Th 1（Abel定理）若幂级数在点收敛, 则对满足不等式的任何,幂级数收敛而且绝对收敛；若在点发散,则对满足不等式的任何，幂级数发散.证 收敛, 有界.设|, 有|,其中 .定理的第二部分系第一部分的逆否命题.幂级数和的收敛域的结构.定义幂级数的收敛半径R.收敛半径 R的求法.Th 2 对于幂级数, 若, 则 时, ; 时; 时.

2、 证 , (强调开方次数与的次数是一致的). 由于, 因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间: .幂级数的收敛域: 一般来说, 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、或之一.例1 求幂级数的收敛域 . ( )例2 求幂级数的收敛域 . ( )例3 求下列幂级数的收敛域: ; .例4 求级数的收敛域 . Ex 1P5051 1.二 幂级数的一致收敛性：Th 3 若幂级数的收敛半径为，则该幂级数在区间内闭一致收敛.证 , 设, 则对, 有, 级数绝对收敛, 由优级数判别法 幂级数在上一致收敛.因此,幂级数在区间内闭一致收敛.Th 4 设幂级数的收敛半径为,且在点( 或 )收敛,则幂级数在区

3、间( 或 )上一致收敛 .证 . 收敛, 函数列在区间上递减且一致有界,由Abel判别法,幂级数在区间上一致收敛.易见,当幂级数的收敛域为(时,该幂级数即在区间上一致收敛 . 三. 幂级数的性质: 1. 逐项求导和积分后的级数:设, *) 和 *)仍为幂级数. 我们有Th 5 *) 和 *)与有相同的收敛半径 . ( 简证 )注: *) 和 *)与虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的收敛域, 例如级数. 2. 幂级数的运算性质:定义 两个幂级数和在点的某邻域内相等是指：它们在该邻域内收敛且有相同的和函数.Th 6 .Th 7 设幂级数和的收敛半径分别为和, , 则 , 常

4、数， . +, . ()(), , . 3. 和函数的性质:Th 8 设在(内. 则 在内连续; 若级数或收敛, 则在点( 或 )是左( 或右 )连续的; 对, 在点可微且有 ; 对, 在区间 上可积,且 .注:当级数收敛时,无论级数在点收敛与否,均有.这是因为:由级数收敛,得函数在点左连续, 因此有.推论1 和函数在区间内任意次可导, 且有 , .注: 由系1可见, 是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导.推论2 若, 则有 例5 验证函数满足微分方程 .验证 所给幂级数的收敛域为. , 代入, .例6 由于, .所以, . . , Ex 1P5051 4 , 5， 6 . 2 函数的幂级数

5、展开（ 4 时 ）一. 函数的幂级数展开:1. Taylor级数: 设函数在点有任意阶导数.Taylor公式和Maclaurin公式.Taylor公式：.余项的形式:Peano型余项: , （只要求在点的某邻域内有阶导数，存在）Lagrange型余项: 在与之间. 或 .积分型余项: 当函数在点的某邻域内有阶连续导数时, 有 .Cauchy余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy余项 .特别地，时，Cauchy余项为 在与之间.Taylor级数: Taylor公式仅有有限项, 是用多项式逼近函数. 项数无限增多时, 得 ,称此级数为函数在点的Taylor级数. 只要函数在点无限次可导

6、, 就可写出其Taylor级数. 称=时的Taylor级数为Maclaurin级数, 即级数.自然会有以下问题: 对于在点无限次可导的函数, 在的定义域内或在点的某邻域内, 函数和其Taylor级数是否相等呢 ?2 函数与其Taylor级数的关系：例1 函数在点无限次可微. 求得,. 其Taylor级数为 .该幂级数的收敛域为.仅在区间内有=.而在其他点并不相等,因为级数发散.那么,在Taylor级数的收敛点,是否必有和其Taylor级数相等呢?回答也是否定的.例2 函数在点无限次可导且有因此Taylor级数，在内处处收敛.但除了点外,函数和其Taylor级数并不相等.另一方面,由本章1 Th

7、 8推论2（和函数的性质）知:在点的某邻域内倘有, 则在点无限次可导且级数必为函数在点的Taylor级数.综上, 我们有如下结论: 对于在点无限次可导的函数, 其Taylor级数可能除点外均发散, 即便在点的某邻域内其Taylor级数收敛, 和函数也未必就是.由此可见,不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数. 若幂级数在点的某邻域内收敛于函数, 则该幂级数就是函数在点的Taylor级数.于是, 为把函数在点的某邻域内表示为关于的幂级数，我们只能考虑其Taylor级数. 3 函数的Taylor展开式：若在点的某邻域内函数的Taylor级数收敛且和恰为，则称函数在点可展开成Taylor级数(

8、自然要附带展开区间.称此时的Taylor级数为函数在点的Taylor展开式或幂级数展开式.简称函数在点可展为幂级数.当= 0 时, 称Taylor展开式为Maclaurin展开式.通常多考虑的是Maclaurin展开式.4. 可展条件:Th 1 (必要条件) 函数在点可展在点有任意阶导数.Th 2 (充要条件) 设函数在点有任意阶导数.则在区间内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是:对, 有.其中是Taylor公式中的余项.证 把函数展开为阶Taylor公式, 有 .Th 3 (充分条件) 设函数在点有任意阶导数, 且导函数所成函数列一致有界, 则函数可展.证 利用Lagrange型余

9、项, 设 , 则有.例3 展开函数 按幂; 按幂.解 , , .所以, .可见,的多项式的Maclaurin展开式就是其本身. . Ex 1P58 1， 3.二. 初等函数的幂级数展开式:初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开.1. . ( 验证对R ，在区间 ( 或 )上有界, 得一致有界. 因此可展 ). . 2. , . , .可展是因为在内一致有界. 3. 二项式 的展开式: 为正整数时, 为多项式, 展开式为其自身;为不是正整数时, 可在区间内展开为对余项的讨论可利用Cauchy余项. 具体讨论参阅1P56.进一步地讨论可

10、知(参阅.菲赫金哥尔茨 微积分学教程第二卷第二分册.):当时, 收敛域为;当时, 收敛域为;当时, 收敛域为.利用二项式的展开式, 可得到很多函数的展开式. 例如取, 得 ， .取时, 得 , . 间接展开: 利用已知展开式, 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可得到一些函数的展开式.利用微积运算时, 要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻.4. . .事实上, 利用上述的展开式, 两端积分, 就有 , .验证知展开式在点收敛, 因此, 在区间上该展开式成立. 5. .由. 两端积分,有 验证知上述展开式在点收敛, 因此该展开式在区间上成立.例4 展开函数.解 .例5 展开函数.解 . Ex 1P58 2 , 3(提示) .希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。2、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。罗曼罗兰3、人生就像爬坡，要一步一步来。丁玲