江苏省南京市六校联合体届高三上学期联考 数学试题 Word版含答案.docx

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江苏省南京市六校联合体届高三上学期联考数学试题Word版含答案

南京市六校联合体2020-2021学年第一学期11月调研试题

高三数学

1、单项选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题意的．

1.已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（▲）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|＜1}，则A∩B＝（▲）

A.{x|x＞1}B.{x|－1＜x＜0或x＞1}C.{x|0＜x＜1}D.{x|－1＜x＜1}

3.已知命题p：

xR,ax2＋ax＋1＞0，命题q：

函数y＝－（a＋1）x是减函数,则命题p成立是q成立的（▲）

A．充分不必要条件B．充要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

4.已知非零向量a,b，若|a|＝|b|，a⊥（a－2b），则a与b的夹角是（▲）

A.B.C.D.

5.2020年是“干支纪年法”中的庚子年.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：

甲子、乙丑、丙寅、…癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…癸未，甲申、乙酉、丙戌、…癸巳，….共得到60个组合，周而复始，循环记录.今年国庆节是小明10岁生日，那么他80岁生日时的年份是“干支纪年法”中的（▲）

A．己亥年B．戊戌年C．庚戌年D．辛丑年

6.已知直三棱柱ABC—A1B1C1的顶点都在球O上，且AB＝4,AA1＝6,∠ACB＝30º,则此直三棱柱的外接球O的表面积是（▲）

A.25πB.50πC.100πD.

7.已知a＞0，b＞0，直线l1：

x＋（a－4）y＋1＝0，l2：

2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则＋

的最小值为（▲）

A．2B．4C．D.

8.已知a＞0，函数f（x）＝（a＋1）x2－x＋sinx＋cosx＋a－2，x∈R．记函数f（x）的值域为M，函数f（f（x））的值域为N，若MN，则a的最大值是（▲）

A.1B.2C.3D.4

二、多项选择题：

本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，

有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9.若,则下列关系式中一定成立的是（▲）

A.B．ea＜eb（e≈2.718）

C．（θ是第一象限角）D．ln（a2＋1）＜ln（b2＋1）

10.已知双曲线C1：

的实轴长是2，右焦点与抛物线C2：

y2＝8x的焦点F重合，

双曲线C1与抛物线C2交于A、B两点，则下列结论正确的是（▲）

A．双曲线C1的离心率为2B．抛物线C2的准线方程是x＝－2

C．双曲线C1的渐近线方程为y＝±xD.|AF|＋|BF|＝

11.若数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an－2,数列{bn}满足bn=,则下列选项正确的

为（▲）

A.数列{an}是等差数列B．an＝2n

C．数列{an2}的前n项和为D．数列{}的前n项和为Tn，则Tn＜1

12.函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（▲）

A．函数|f（x）|的最小正周期为2

B．点（，0）为函数f（x）的一个对称中心

C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象

第12题图

D．函数f（x）在区间[m，0]上是增函数

三、填空题：

（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．

13.已知函数f（x）满足f（x）＝－f（x＋1），当x（0,1）时，函数f（x）＝3x，则＝▲.

14.某校进行体育抽测，小明与小华都要在50m跑、跳高、跳远、铅球、标枪、三级跳远这6项运动中选出3项进行测试，假设他们对这6项运动没有偏好，则他们选择的结果至少有2项相同的概率

为▲.

15.已知边长是4的菱形ABCD，∠A＝60º,点P是菱形ABCD内部一点，若＋3＋2＝0,则△PBC与菱形ABCD的面积的比值是▲.

16.已知对任意的x＞0，不等式xe－lnx－ax≥1恒成立，则实数a的取值范围为▲.

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且bcosAcosC＝asinBsinC＋b.

请在①b＝，②c＝2，③2sinA＝3sinC这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答.注意：

只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.

问题：

已知_______________，计算△ABC的面积.

18.（本题满分12分）

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，＝7，＝48，数列{bn}满足.

（1）证明：

数列{bn－2}是等比数列，并求数列{an}与数列{bn}通项公式；

（2）若cn＝an（bn－2），求数列{cn}的前n项和Tn.

19.（本题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，

AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2,，AD＝CD＝1，

BC＝PC,E是PB的中点.

（1）求证:

PB⊥平面EAC

（2）求二面角P—AC—E的大小.

第19题图

20.（本题满分12分）

某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩.

（1）通过分析可以认为考生初试成绩X服从正态分布N（μ，δ2），其中μ＝64，δ2＝169，试估计初试

成绩不低于90分的人数；

（2）已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且

每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试试成绩为Y，求Y的分布列及数学期望.

附：

若随机变量X服从正态分布N（μ，δ2），则P（μ－δ＜X＜μ＋δ）＝0.6826，

P（μ－2δ＜X＜μ＋2δ）＝0.9544，P（μ－3δ＜X＜μ＋3δ）＝0.9974．

21.（本题满分12分）

已知椭圆C：

离心率为，点（,）在椭圆C上，P点坐标（0，），直线l:

y＝－x＋m交椭圆C于A、B两点，且|PA|＝|PB|.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求△PAB的面积.

22.（本题满分12分）

已知函数f（x）＝ax－xlnx，g（x）＝．a、b∈R，

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）已知函数f（x）的极大值为1，

①若b＝2，设1＜n＜m，证明：

f（m）＜g（n）；

②设t（x）＝f（x）－g（x），判断函数t（x）零点个数，并说明理由.

高三数学参考答案

1.A2.B3.D4.A5.C6.C7.D8.A

9.BC10.BC11.BD12.BCD

13.－14.15.16.a≤1

17.,

………………1分

因为.所以，即，………………3分

因为，所以，即，………………4分

因为.所以.………………5分

若选①，②，

………………7分

即，………………8分

所以的面积.………………10分

若选②，③

由,得

又………………8分

所以的面积.………………10分

若选①，③

由,得，………………6分

………………7分

即，………………8分

所以的面积.………………10分

18.解

（1），

所以数列是公比等比数列；………………2分

，

即;………………4分

由解得，

所以.………………6分

（2）由

（1）知，

所以，①

，②

①-②得

………………10分

所以………………12分

19.【解】方法一：

（1）平面，平面，得.………………1分

又，在中，得，

设中点为，连接，

则四边形为边长为1的正方形，所以，且，

因为，所以，………………3分

又因为，所以平面，

又平面，所以,………………5分

因为，是的中点，

所以,因为,又平面,

直线平面.………………7分

（2）由

（1）知平面，所以是二面角的平面角，………………9分

因为是等腰直角三角形，且是的中点，

所以

所以二面角的大小是.………………12分

方法二：

（1）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，

则，，.………………2分

又，在中，得，

设中点为，连接，

则四边形为边长为1的正方形，所以，且，所以，

所以,………………4分

因为是的中点，所以,

所以,,

所以,,因为,又平面,

直线平面.………………7分

（2）平面，平面，得.

因为，所以，又,

所以直线平面,所以是平面一个法向量，………………9分

由

（1）可知是平面一个法向量，

,

所以,………………11分

所以二面角的大小是.………………12分

20.

（1）∵学生笔试成绩X服从正态分布N（μ，δ2），其中μ＝64，δ2＝169，

μ＋2δ＝64＋2×13＝90………………1分

∴P（X≥90）＝P（X≥μ＋2δ）＝（1－0.9544）＝0.0228………………3分

∴估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000＝114人………………4分

（2）Y的取值分别为0，3，5，8，10，13，

则P（Y＝0）＝（1－）×（1－）2＝

P（Y＝3）＝×（1－）2＝＝

P（Y＝5）＝（1－）×C××（1－）＝

P（Y＝8）＝×C××（1－）＝＝

P（Y＝10）＝（1－）×（）2＝

P（Y＝13）＝×（）2＝＝

Y的分布为

故的分布列为：

Y

0

3

5

8

10

13

一个概率1分………………10分

E（Y）＝0×＋3×＋5×＋8×＋10×＋13×＝＝…………12分

21.解:

（1）由题意可得，解得，所以椭圆的方程为．………3分

（2）设，，中点为，

由得，

，得，

，………………5分

所以，

因为，

所以,

所以，得,………………6分

所以，

，………………8分

此时，点到直线：

的距离，………………10分

所以的面积.………………12分

22．解：

（1）f（x）的定义域为（0，＋∞）

因为f′（x）＝a－（lnx＋1）＝a－1－lnx，

所以f（x）的单调增区间为（0，e），单调减区间为（e，＋∞）．……2分

（2）由

（1）可知，f（x）的极大值为f（e）＝ae－elne＝e

因为函数f（x）的极大值为1，所以e＝1，所以a＝1，………………3分

①f（x）＝x－xlnx，f'（x）＝1－lnx－1＝－lnx，

当x＞1时，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递减，

因为1＜n＜m，所以f（n）＞f（m），……