乘除法的关系和运算律.docx

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乘除法的关系和运算律

乘除法的关系和运算律

一、加法运算律只有：

交换律和结合律。

没有分配律

1、交换律：

两个加数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律

　例：

a+b=b+a.

　　扩展：

A+B+C=A+C+B=C+B+A

2、结合律：

三个数相加,先把前两个数相加,再和第三个数

相加,或者先把后两个数相加,在和第一个数相加,和不变,这叫做加法结合律.。

　　（A+B）+C=A+（B+C）

二、乘法运算律：

交换律、结合律和分配律。

乘法才有分配律

乘法交换律是两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变。

a×b=b×a

三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘，积不变。

如a×b×c=a×（b×c）a×c+b×c=（a+b）×c

两个数的和同一个数相乘,等于把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,和不变。

字母表达是：

a×（b+c）=a×b+a×c

扩展：

变式一

a×（b-c）=a×b-a×c

变式二

a×b+a=a×（b+1）

乘法分配律的拓展：

  两个数的差与一个数相乘，可以用这个数分别去乘相减的两个数，再把积相减。

用字母表示为：

 （a-b）·c=a·c-b·c         a·c-b·c=（a-b）·c 

三、乘除法各部分之间的关系：

（1）乘法各部分之间的关系：

    因数×因数=积   一个因数=积÷另一个因数

（2）除法各部分之间的关系：

       没有余数的除法：

                                 有余数的除法：

          被除数=商×除数                             被除数=商×除数 +   余数           

         除数=被除数÷商                              除数=（被除数-余数）÷商  

        商= 被除数÷除数                               商= （被除数-余数）÷除数

   （3）乘、除法之间的关系：

    除法是乘法的逆运算

    注意：

0不能作除数。

（4）整除：

a÷b（b≠0）＝c则a能被b整除，b能整除a。

（5）0乘任何数等于0，0除c任数（不等于0）等于0

四、减法简便运算：

       1、一个数连续减去两个数，可以用这个数减去这两个数的和。

      用字母表示：

a－b－c＝a－（b＋c）

     2、一个数连续减去两个数，可以用这个数先减去后一个数再减去前一个数。

     用字母表示：

a－b－c＝a—c－b

五、除法简便运算：

      1、一个数连续除以两个数，可以用这个数除以这两个数的积。

      用字母表示：

a÷b÷c＝a÷（b×c）

      2、一个数连续除以两个数，可以用这个数先除以后一个数再除以前一个数。

      用字母表示：

a÷b÷c＝a÷c÷b

六、积的变化规律

       ① 一个因数缩小（扩大）几倍，另一个因数扩大（缩小）相同的倍数，积不变。

       ② 一个因数缩小（或扩大几倍），另一个因数不变，积也随着缩小（或扩大）几倍。

       ③ 一个因数扩大m倍，另一个因数扩大n，积扩大m×n倍；

            一个因数缩小m倍，另一个因数缩小n，积缩小m×n倍；

            一个因数扩大（缩小）m倍，另一个因数缩小（扩大）n倍，积扩大或缩小m÷n倍。

七、解决问题：

      1、相遇问题

       相遇路程＝速度和×相遇时间

        相遇时间＝相遇路程÷速度和

        速度和＝相遇路程÷相遇时间

            追及问题

       追及距离＝速度差×追及时间

       追及时间＝追及距离÷速度差

       速度差＝追及距离÷追及时间

2、工程问题

       工作效率×工作时间＝工作总量  

      工作总量÷工作效率＝工作时间  

      工作总量÷工作时间＝工作效率 

3、最多、最少问题

     人数最少多买贵的，人数最少多买便宜的。

4、购物、旅游合算问题

     先计算后比较。

附：

一、常见乘法计算：

25×4＝100    125×8＝1000

二、加法交换律简算例子：

                三、加法结合律简算例子：

    50+98+50                                  488+40+60

＝50+50+98                              ＝488+（40+60）

＝100+98                                  ＝488+100

＝198                                         ＝588

四、乘法交换律简算例子：

                五、乘法结合律简算例子：

     25×56×4                                99×125×8

＝25×4×56                              ＝99×（125×8）

＝100×56                               ＝99×1000

＝5600                                 ＝99000

六、含有加法交换律与结合律的简便计算：

        65+28+35+72

＝（65+35）+（28+72）

＝100+100

＝200

 七、含有乘法交换律与结合律的简便计算：

     25×125×4×8

＝（25×4）×（125×8）

＝100×1000

＝100000

 八、乘法分配律简算例子：

一、分解式                               二、合并式

25×（40+4）                           135×12—135×2

＝25×40+25×4                          ＝135×（12—2）

＝1000+100                            ＝135×10

＝1100                                 ＝1350

  三、特殊1                            四、特殊2

      99×256+256                               45×102

＝99×256+256×1                        ＝45×（100+2）

＝256×（99+1）                         ＝45×100+45×2

＝256×100                                  =4500+90

＝25600                                        =4590

五、特殊3                            六、特殊4

99×26                                       35×8+35×6—4×35

＝（100—1）×26                   ＝35×（8+6—4）

＝100×26—1×26                    ＝35×10

＝2600—26                                ＝350

＝2574

 九、   连续减法简便运算例子：

528—65—35        528—89—128          528—（150+128）

=528—（65+35）    =528—128—89        =528—128—150

=528—100          =400—89             =400—150

=428                =311                 =250

 十、   连续除法简便运算例子：

3200÷25÷4          

=3200÷（25×4）

=3200÷100

=32

 十一、   其它简便运算例子：

256—58+44            250÷8×4

=256+44—58          =250×4÷8

=300—58              =1000÷8

=242                  =125

【专项训练】

一、积的变化规律练习题

1、先用积的变化规律填空，再用笔算或计算器验算。

26×48＝1248   17×12＝204

26×24＝（ ）  17×24＝（ ）

26×12＝（ ）  17×36＝（ ）

2、一个长方形的面积是256平方厘米，如果长缩小4倍，宽扩大4倍，这个长方形就变成了正方形，这个正方形的面积是多少它的边长是多少

二、用简便方法计算

⑴ 35+63+27      　　　　⑵　（103-3）×15

⑶ 25×44　　　　　　　　　⑷   14×32+69×14