立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧理科.docx

立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧理科.docx

《立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧理科.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧理科.docx（52页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧理科

啊没立体几何知识点和例题解说

一、知识点

<一>惯用结论

1．证明直线与直线平行思考途径：

（1）转化为鉴定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.

2．证明直线与平面平行思考途径：

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

3．证明平面与平面平行思考途径：

（1）转化为鉴定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.

4．证明直线与直线垂直思考途径：

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线射影垂直；（4）转化为线与形成射影斜线垂直.

5．证明直线与平面垂直思考途径：

（1）转化为该直线与平面内任始终线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一种平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直.

6．证明平面与平面垂直思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直.

7.夹角公式：

设a＝

，b＝

，则cos〈a，b〉=

.

8．异面直线所成角：

=

（其中

（

）为异面直线

所成角，

分别表达异面直线

方向向量）

9.直线

与平面所成角：

（

为平面

法向量）.

10、空间四点A、B、C、P共面

，且x+y+z=1

11.二面角

平面角

或

（

，

为平面

，

法向量）.

12.三余弦定理：

设AC是α内任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成角为

，AB与AC所成角为

，AO与AC所成角为

．则

.

13.空间两点间距离公式若A

，B

，则

=

.

14.异面直线间距离：

（

是两异面直线，其公垂向量为

，

分别是

上任一点，

为

间距离）.

15.点

到平面

距离：

（

为平面

法向量，

是通过面

一条斜线，

）.

16.三个向量和平方公式：

17.长度为

线段在三条两两互相垂直直线上射影长分别为

，夹角分别为

则有

.

（立体几何中长方体对角线长公式是其特例）.

18.面积射影定理

.（平面多边形及其射影面积分别是

、

，它们所在平面所成锐二面角

）.

19.球组合体

（1）球与长方体组合体：

长方体外接球直径是长方体体对角线长.

（2）球与正方体组合体:

正方体内切球直径是正方体棱长，正方体棱切球直径是正方体面对角线长，正方体外接球直径是正方体体对角线长.（3）球与正四周体组合体：

棱长为

正四周体内切球半径为

外接球半径为

.

20. 求点到面距离常规办法是什么？

（直接法、体积法）

21. 求多面体体积常规办法是什么？

（割补法、等积变换法）

〈二〉温馨提示：

1.直线倾斜角、两条异面直线所成角等时它们各自取值范畴？

①异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角取值范畴依次

.

②直线倾斜角、

到

角、

与

夹角取值范畴依次是

．

〈三〉解题思路：

1、平行垂直证明重要运用线面关系转化：

线面平行鉴定：

线面平行性质：

三垂线定理（及逆定理）：

线面垂直：

面面垂直：

2、三类角定义及求法

（1）异面直线所成角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成角θ，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：

A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。

）

三类角求法：

①找出或作出关于角。

②证明其符合定义，并指出所求作角。

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

二、题型与办法

【考点透视】

无论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”环节来完毕。

求解空间距离和角办法有两种：

一是运用老式几何办法，二是运用空间向量。

【例题解析】

考点1点到平面距离

求点到平面距离就是求点到平面垂线段长度，其核心在于拟定点在平面内垂足，固然别忘了转化法与等体积法应用.

例1如图，正三棱柱

所有棱长都为

，

为

中点．

（Ⅰ）求证：

平面

；

（Ⅱ）求二面角

大小；

（Ⅲ）求点

到平面

距离．

考查目：

本小题重要考查直线与平面位置关系，二面角

大小，点到平面距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维

能力和运算能力．

解答过程：

解法一：

（Ⅰ）取

中点

，连结

．

为正三角形，

．

正三棱柱

中，平面

平面

，

平面

．

连结

，在正方形

中，

分别为

中点，

，

．

在正方形

中，

，

平面

．

（Ⅱ）设

与

交于点

，在平面

中，作

于

，连结

，由（Ⅰ）得

平面

．

，

为二面角

平面角．

在

中，由等面积法可求得

，

又

，

．

因此二面角

大小为

．

（Ⅲ）

中，

，

．

在正三棱柱中，

到平面

距离为

．

设点

到平面

距离为

．

由

，得

，

．

点

到平面

距离为

．

解法二：

（Ⅰ）取

中点

，连结

．

为正三角形，

．

在正三棱柱

中，平面

平面

，

平面

．

取

中点

，觉得

原点，

，

，

方向为

轴正方向建立空间直角坐标系，则

，

，

，

，

，

，

，

．

，

，

，

．

平面

．

（Ⅱ）设平面

法向量为

．

，

．

，

，

令

得

为平面

一种法向量．

由（Ⅰ）知

平面

，

为平面

法向量．

，

．

二面角

大小为

．

（Ⅲ）由（Ⅱ），

为平面

法向量，

．

点

到平面

距离

．

小结：

本例中（Ⅲ）采用了两种办法求点到平面距离.解法二采用了平面向量计算办法，把不易直接求B点到平面

距离转化为容易求点K到平面

距离计算办法，这是数学解题中惯用办法；解法一采用了等体积法，这种办法可以避免复杂几何作图，显得更简朴些，因而可优先考虑使用这一种办法.

考点2异面直线距离

此类题目重要考查异面直线距离概念及其求法，考纲只规定掌握已给出公垂线段异面直线距离.

例2已知三棱锥

，底面是边长为

正三角形，棱

长为2，且垂直于底面.

分别为

中点，求CD与SE间距离.

思路启迪：

由于异面直线CD与SE公垂线不易寻找，因此设法将所求异面直线距离，转化成求直线与平面距离，再进一步转化成求点到平面距离.

解答过程：

如图所示，取BD中点F，连结EF，SF，CF，

为

中位线，

∥

∥面

到平面

距离即为两异面直线间距离.

又

线面之间距离可转化为线

上一点C到平面

距离，设其为h，由题意知，

D、E、F分别是

AB、BC、BD中点，

在Rt

中，

在Rt

中，

又

由于

，即

，解得

故CD与SE间距离为

.

小结：

通过本例咱们可以看到求空间距离过程，就是一种不断转化过程.

考点3直线到平面距离

此类题目再加上平行平面间距离，重要考查点面、线面、面面距离间转化.

例3．如图，在棱长为2正方体

中，G是

中点，求BD到平面

距离.

思路启迪：

把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离办法求解.

解答过程：

解析一

∥平面

，

上任意一点到平面

距离皆为所求，如下求

点O平面

距离,

，

，

平面

又

平面

平面

，两个平面交线是

作

于H，则有

平面

，即OH是O点到平面

距离.

在

中，

.

又

.

即BD到平面

距离等于

.

解析二

∥平面

，

上任意一点到平面

距离皆为所求，如下求点B平面

距离.

设点B到平面

距离为h，将它视为三棱锥

高，则

，

即BD到平面

距离等于

.

小结：

当直线与平面平行时，直线上每一点到平面距离都相等，都是线面距离.因此求线面距离核心是选准恰当点，转化为点面距离.本例解析一是依照选出点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.

考点4异面直线所成角

此类题目普通是按定义作出异面直线所成角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成角是高考考查重点.

例4、如图，在

中，

，斜边

．

可以通过

以直线

为轴旋转得到，且二面角

直二面角．

是

中点．

（1）求证：

平面

平面

；

（2）求异面直线

与

所成角大小．

思路启迪：

1）核心是通过平移把异面直线转化到一种三角形内.

解答过程：

解法1：

（

）由题意，

，

，

是二面角

是直二面角，

，又

，

平面

，

又

平面

．

平面

平面

．

（2）作

，垂足为

，连结

（如图），则，

是异面直线

与

所成角．

在

中，

，

，

．

又

．

在

中，

．

异面直线

与

所成角大小为

．

解法2：

（1）同解法1．

（2）建立空间直角坐标系

，如图，则

，

，

，

，

，

，

．

异面直线

与

所成角大小为

．

小结：

求异面直线所成角经常先作出所成角平面图形，作法有：

①平移法：

在异面直线中一条直线上选取“特殊点”，作另一条直线平行线，如解析一，或运用中位线，如解析二；②补形法：

把空间图形补成熟悉几何体，其目在于容易发现两条异面直线间关系，如解析三.普通来说，平移法是最惯用，应作为求异面直线所成角首选办法.同步要特别注意异面直线所成角范畴：

.

考点5直线和平面所成角

此类题重要考查直线与平面所成角作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考常考内容.

例5.

四棱锥

中，底面

为平行四边形，侧面

底面

．已知

，

，

，

．

（Ⅰ）证明

；

（Ⅱ）求直线

与平面

所成角大小．

考查目：

本小题重要考查直线与直线,直线与平面位置关系，

二面角大小，点到平面距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．

解答过程：

解法一：

（Ⅰ）作

，垂足为

，连结

，由侧面

底面

，

得

底面

．

由于

，因此

，

又

，故

为等腰直角三角形，

，

由三垂线定理，得

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，依题设

，

故

，由

，

，

，得

，

．

面积

．

连结

，得

面积

设

到平面

距离为

，由于

，得

，解得

．

设

与平面

所成角为

，则

．

因此，直线

与平面

所成我为

．

解法二：

（Ⅰ）作

，垂足为

，连结

，由侧面

底面

，得

平面

．

由于

，因此

．

又

，

为等腰直角三角形，

．

如图，觉得

坐标原点，

为

轴正向，建立直角坐标系

，

，

，

，

，

，

，

，因此

．

（Ⅱ）取

中点

，

，

连结

，取

中点

，连结

，

．

，

，

．

，

，

与平面

内两条相交直线

，

垂直．

因此

平面

，

与

夹角记为

，

与平面

所成角记为

，则

与

互余．

，

．