立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧理科.docx

1、立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧理科啊没立体几何知识点和例题解说一、知识点惯用结论1证明直线与直线平行思考途径：（1）转化为鉴定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.2证明直线与平面平行思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3证明平面与平面平行思考途径：（1）转化为鉴定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4证明直线与直线垂直思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线射影垂直；（4）转化为线与形成射影斜线

2、垂直.5证明直线与平面垂直思考途径：（1）转化为该直线与平面内任始终线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一种平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直.6证明平面与平面垂直思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.7.夹角公式 ：设a，b，则cosa，b=.8异面直线所成角：=（其中（）为异面直线所成角，分别表达异面直线方向向量）9.直线与平面所成角：(为平面法向量).10、空间四点A、B、C、P共面，且 x + y + z = 111.二面角平面角或（，为平面，法向量）.12.三余弦

3、定理：设AC是内任一条直线，且BCAC，垂足为C，又设AO与AB所成角为，AB与AC所成角为，AO与AC所成角为则.13.空间两点间距离公式 若A，B，则=.14.异面直线间距离： (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间距离).15.点到平面距离：（为平面法向量，是通过面一条斜线，）.16.三个向量和平方公式：17. 长度为线段在三条两两互相垂直直线上射影长分别为，夹角分别为,则有.（立体几何中长方体对角线长公式是其特例）.18. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角).19. 球组合体(1)球与长方体组合体：长方体外接球直径是长方体体对角线长

4、.(2)球与正方体组合体:正方体内切球直径是正方体棱长，正方体棱切球直径是正方体面对角线长，正方体外接球直径是正方体体对角线长.(3) 球与正四周体组合体：棱长为正四周体内切球半径为,外接球半径为.20.求点到面距离常规办法是什么？（直接法、体积法）21.求多面体体积常规办法是什么？（割补法、等积变换法）二温馨提示：1.直线倾斜角、两条异面直线所成角等时它们各自取值范畴？ 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角取值范畴依次. 直线倾斜角、到角、与夹角取值范畴依次是三解题思路：1、平行垂直证明重要运用线面关系转化： 线面平行鉴定： 线面平行性质： 三垂线定理（及逆定理）： 线面垂直： 面面垂直

5、： 2、三类角定义及求法 （1）异面直线所成角，090 （2）直线与平面所成角，090 （三垂线定理法：A作或证AB于B，作BO棱于O，连AO，则AO棱l，AOB为所求。） 三类角求法： 找出或作出关于角。 证明其符合定义，并指出所求作角。 计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。二、题型与办法【考点透视】 无论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”环节来完毕。 求解空间距离和角办法有两种：一是运用老式几何办法，二是运用空间向量。【例题解析】考点1 点到平面距离求点到平面距离就是求点到平面垂线段长度，其核心在于拟定点在平面内垂足，固然别忘了转化法与等体积法应用.例1如图，正三棱柱

6、所有棱长都为，为中点（）求证：平面；（）求二面角大小；（）求点到平面距离考查目：本小题重要考查直线与平面位置关系，二面角大小，点到平面距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 解答过程：解法一：（）取中点，连结为正三角形，正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为中点， ， 在正方形中， 平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面， 为二面角平面角在中，由等面积法可求得，又， 因此二面角大小为（）中，在正三棱柱中，到平面距离为设点到平面距离为由，得，点到平面距离为解法二：（）取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中点，觉得原点，方向为轴正方向建立

7、空间直角坐标系，则，平面（）设平面法向量为， ，令得为平面一种法向量由（）知平面，为平面法向量，二面角大小为（）由（），为平面法向量，点到平面距离小结：本例中（）采用了两种办法求点到平面距离.解法二采用了平面向量计算办法，把不易直接求B点到平面距离转化为容易求点K到平面距离计算办法，这是数学解题中惯用办法；解法一采用了等体积法，这种办法可以避免复杂几何作图，显得更简朴些，因而可优先考虑使用这一种办法.考点2 异面直线距离此类题目重要考查异面直线距离概念及其求法，考纲只规定掌握已给出公垂线段异面直线距离.例2已知三棱锥，底面是边长为正三角形，棱长为2，且垂直于底面.分别为中点，求CD与SE间距离

8、.思路启迪：由于异面直线CD与SE公垂线不易寻找，因此设法将所求异面直线距离，转化成求直线与平面距离，再进一步转化成求点到平面距离.解答过程： 如图所示，取BD中点F，连结EF，SF，CF，为中位线，面,到平面距离即为两异面直线间距离.又线面之间距离可转化为线上一点C到平面距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是AB、BC、BD中点，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD与SE间距离为.小结：通过本例咱们可以看到求空间距离过程，就是一种不断转化过程.考点3 直线到平面距离此类题目再加上平行平面间距离，重要考查点面、线面、面面距离间转化.例3 如图，在棱长为2正方体中，G是中点，求BD到

9、平面距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离办法求解.解答过程：解析一 平面，上任意一点到平面距离皆为所求，如下求点O平面距离,，平面,又平面平面，两个平面交线是,作于H，则有平面，即OH是O点到平面距离.在中，.又.即BD到平面距离等于.解析二 平面，上任意一点到平面距离皆为所求，如下求点B平面距离.设点B到平面距离为h，将它视为三棱锥高，则 ，即BD到平面距离等于.小结：当直线与平面平行时，直线上每一点到平面距离都相等，都是线面距离.因此求线面距离核心是选准恰当点，转化为点面距离.本例解析一是依照选出点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.考点4 异面直线所成角此类

10、题目普通是按定义作出异面直线所成角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成角是高考考查重点.例4、如图，在中，斜边可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角直二面角是中点（1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角大小思路启迪：1）核心是通过平移把异面直线转化到一种三角形内. 解答过程：解法1：（）由题意，是二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（2）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成角在中，又在中，异面直线与所成角大小为解法2：（1）同解法1（2）建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角大小为小结： 求异面直线所成角经常先作出所成角平面图形，作法有：平移法：在异面直线中一条

11、直线上选取“特殊点”，作另一条直线平行线，如解析一，或运用中位线，如解析二；补形法：把空间图形补成熟悉几何体，其目在于容易发现两条异面直线间关系，如解析三.普通来说，平移法是最惯用，应作为求异面直线所成角首选办法.同步要特别注意异面直线所成角范畴：.考点5 直线和平面所成角此类题重要考查直线与平面所成角作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考常考内容.例5. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面已知，（）证明；（）求直线与平面所成角大小考查目：本小题重要考查直线与直线,直线与平面位置关系，二面角大小，点到平面距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 解答过程：解法一：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面由于，因此，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得 （）由（）知，依题设，故，由，得，面积连结，得面积设到平面距离为，由于，得，解得设与平面所成角为，则因此，直线与平面所成我为解法二：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面由于，因此又，为等腰直角三角形，如图，觉得坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，因此（）取中点，连结，取中点，连结，与平面内两条相交直线，垂直因此平面，与夹角记为，与平面所成角记为，则与互余，