高考链接点线面的位置关系.docx

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高考链接点线面的位置关系

第三节　点、线、面的位置关系

高考试题

考点一判断点、线、面的位置关系 

1.（安徽卷,理3）在下列命题中,不是公理的是（　　）

（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行

（B）过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

（C）如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内

（D）如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

解析:

依据面面平行的判定定理知,A项不是公理,故选A.

答案:

A

2.（四川卷,理6）下列命题正确的是（　　）

（A）若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

（B）若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

（C）若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

（D）若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

解析:

如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,直线A1B1和B1C1与下底面所成的角相等（都是0）,但A1B1与B1C1不平行.即选项A不正确;若E、F、G、H分别为AA1、BB1、CC1、DD1的中点,则平面ABB1A1内点A、B、B1、A1到平面EFGH的距离都相等,但平面EFGH与平面ABB1A1相交,即选项B不正确;A1B1∥平面ABCD,A1B1∥平面CDD1C1,易知A1B1平行于平面ABCD与平面CDD1C1的交线CD,平面ABB1A1与平面BCC1B1都与底面ABCD垂直,但两平面不平行.即选项D不正确;故选C.

答案:

C

3.（新课标全国卷Ⅱ,理4）已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则（　　）

（A）α∥β且l∥α

（B）α⊥β且l⊥β

（C）α与β相交,且交线垂直于l

（D）α与β相交,且交线平行于l

解析:

因为m、n为异面直线,m⊥α,n⊥β,

所以α、β必相交,设α∩β=l0,则l0⊥m,l0⊥n,因此l0∥l.

故选D.

答案:

D

4.（广东卷,理6）设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　）

（A）若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n

（B）若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n

（C）若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β

（D）若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β

解析:

采用模型法判断,可选用正方体作为模型,两个互相垂直的平面内的直线,可以平行、异面或垂直,故选项A错;两个互相平行的平面内的直线可以平行、异面、垂直,故选项B错;两条直线垂直,但过这两条直线的平面可平行、可相交,故选项C错,由m⊥α,m∥n知n⊥α,又因n∥β,所以推得α⊥β,故选D.

答案:

D

5.（2011年四川卷,理3）l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是（　　）

（A）l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3

（B）l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3

（C）l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面

（D）l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面

解析:

如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中:

对于选项A:

A1D1⊥AA1,AB⊥AA1,但A1D1与AB是异面直线,选项A错误;对于选项C:

AB∥A1B1∥C1D1,但三线不共面,选项C错误;对于选项D,AB、AA1、AD共点于A,但三线不共面,选项D错误.正确答案是B.

答案:

B

6.（2010年山东卷,理3）在空间,下列命题正确的是（　　）

（A）平行直线的平行投影重合

（B）平行于同一直线的两个平面平行

（C）垂直于同一平面的两个平面平行

（D）垂直于同一平面的两条直线平行

解析:

平行直线的平行投影可能平行,故选项A不正确;平行于同一直线的两个平面可能相交,故选项B不正确;垂直于同一平面的两个平面也可能相交.故选项C不正确;选项D是直线与平面垂直的性质定理,故选项D正确.

答案:

D

7.（2010年浙江卷,理6）设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是（　　）

（A）若l⊥m,m⊂α,则l⊥α

（B）若l⊥α,l∥m,则m⊥α

（C）若l∥α,m⊂α,则l∥m

（D）若l∥α,m∥α,则l∥m

解析:

对于选项A,由l⊥m及m⊂α,可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种,故选项A不正确.选项B正确.对于选项C,由l∥α,m⊂α知,l与m的位置关系为平行或异面,故选项C不正确.对于选项D,由l∥α,m∥α知,l与m的位置关系为平行、异面或相交,故选项D不正确.

答案:

B

8.（2009年江苏卷,12）设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;

②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;

③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;

④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.

上面命题中,真命题的序号是　　　　（写出所有真命题的序号）. 

解析:

命题①是两个平面平行的判定定理,正确;命题②是直线与平面平行的判定定理,正确;命题③中在α内可以作无数条直线与l垂直,但α与β只是相交关系,不一定垂直,错误;命题④中直线l与α垂直可推出l与α内两条直线垂直,但l与α内的两条直线垂直推不出直线l与α垂直,所以命题④不正确.

答案:

①②

考点二几何体中点、线、面的位置关系 

1.（浙江卷,理10）已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中（　　）

（A）存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直

（B）存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直

（C）存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直

（D）对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直

解析:

对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,在图

（1）中,由边AB、BC不相等可知点E、F不重合;在图

（2）中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,又∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面ACE.∴BD⊥CE,与点E、F不重合相矛盾,故A错误.

对于选项B,若AB⊥CD,又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,∴AB⊥平面ADC,∴AB⊥AC,由AB

对于选项C,若AD⊥BC,又∵DC⊥BC,AD∩DC=D,∴BC⊥平面ADC,∴BC⊥AC.已知BC=,AB=1,BC>AB,∴不存在这样的直角三角形.∴选项C错误.故选B.

答案:

B

2.（2011年辽宁卷,理8）如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是（　　）

（A）AC⊥SB

（B）AB∥平面SCD

（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

解析:

∵AC⊥BD,AC⊥SD,∴AC⊥平面SDB,∴AC⊥SB,故选项A正确;AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,∴AB∥平面SCD,故选项B正确;由于AC⊥平面SBD,设AC∩BD=O,则SA与平面SBD所成的角是∠ASO,SC与平面SBD所成的角是∠CSO,由于SA=SC,O为AC的中点,故∠ASO=∠CSO,选项C正确;AB与SC所成的角是∠SCD,DC与SA所成的角是∠SAB,易证∠SAB=90°,而∠SCD<90°,故选项D错误.

答案:

D

3.（江西卷,理8）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n等于（　　）

（A）8（B）9（C）10（D）11

解析:

根据线面平行的位置关系考虑,不妨设AB=CD,则将正四面体放在正方体的内部,使AB与CD重合,易得与CE相交的平面有4个.因在正四面体中,EF与CD异面且互相垂直,又因与AB互相垂直的正方体侧面有两个,所以EF与正方体六个侧面中的两个是平行关系,与另4个是相交关系,故m+n=8.

答案:

A

4.（2010年江西卷,理10）过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作（　　）

（A）1条

（B）2条

（C）3条

（D）4条

解析:

连接AC1,则AC1与棱AB,AD,AA1所成的角都相等;过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线,则它们与棱AB,AD,AA1所成的角也都相等.故这样的直线l可以作4条.

答案:

D

考点三利用线面关系解决有关数量问题 

1.（重庆卷,理9）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是（　　）

（A）（0,）（B）（0,）

（C）（1,）（D）（1,）

解析:

如图所示,AB=,CD=a,设点E为AB的中点,则ED⊥AB,EC⊥AB,

则ED==,

同理EC=.

由构成三角形的条件知0

∴0

答案:

A

2.（2010年大纲全国卷Ⅱ,理11）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（　　）

（A）有且只有1个（B）有且只有2个

（C）有且只有3个（D）有无数个

解析:

如图所示,建立空间直角坐标系,设空间任一点M（x,y,z）,

则M到AB、CC1、A1D1的距离为如图中所示ME、MG、MF的长度.

设正方体棱长为1,则

||2=（1-x）2+z2,

||2=（1-y）2+x2,

||2=（1-z）2+y2.

由||2=||2=||2,

得（1-x）2+z2=（1-y）2+x2=（1-z）2+y2,

化简可得x=y=z.

则M点有无数个,且都在正方体ABCDA1B1C1D1体对角线B1D所在的直线上.故选D.

答案:

D

3.（北京卷,理14）如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为　　　　. 

解析:

如图,点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值.当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,此时P′C==

.

答案:

4.（安徽卷,理15）如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是　　　　（写出所有正确命题的编号）. 

①当0

②当CQ=时,S为等腰梯形;

③当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;

④当

⑤当CQ=1时,S的面积为.

解析:

利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解.

①当0

（1）.

在平面AA1D1D内,作AE∥PQ,

显然E在棱DD1上,连接EQ,

则S是四边形APQE.

②当CQ=时,如图

（2）.

显然PQ∥BC1∥AD1,连接D1Q,

则S是等腰梯形.

③当CQ=时,如图（3）.

作BF∥PQ交CC1的延长线于点F,则C1F=.

作AE∥BF,交DD1的延长线于点E,D1E=,AE∥PQ,

连接EQ交C1D1于点R,由于Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,

∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,

∴C1R=.

④当

⑤当CQ=1时,如图（4）.

同③可作A