第十一章 全等三角形.docx

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第十一章全等三角形

第十一章全等三角形

§11．1全等三角形

教学目标

1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；

2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；

3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。

教学重点

全等三角形的性质。

教学难点

找全等三角形的对应边、对应角。

教学过程

（一）创设情景，导入新课

1、问题：

你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？

这两个三角形是完全重合的。

2、学生自己动手（同桌两名同学配合）。

取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样。

3、获取概念。

让学生用自己的语言叙述：

全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号。

形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形。

要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同。

概括全等形的准确定义：

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义。

仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求。

将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED。

议一议：

各图中的两个三角形全等吗？

不难得出：

△ABC≌△DEF，△ABC≌△DBC，△ABC≌△AED。

（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）

启示：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略。

（二）合作交流，解读探究

寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？

对应角呢？

（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）

得到全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；

1、如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。

问题：

△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？

将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合。

因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合。

∠C=∠B；∠A=∠D；∠AOC=∠DOB。

AC=DB；OA=OD；OC=OB。

总结：

两个全等的三角形经过一定的转换可以重合。

一般是平移、翻转、旋转的方法。

2、如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角。

分析：

对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE和△ACD从复杂的图形中分离出来。

根据位置元素来找：

有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素。

常用方法有：

（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边。

（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角。

解：

对应角为∠BAE和∠CAD。

对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD。

3、已知如图△ABC≌△ADE，试找出对应边、对应角（由学生讨论完成）。

借鉴例2的方法，可以发现∠A=∠A，在两个三角形中∠A的对边分别是BC和DE，所以BC和DE是一组对应边。

而AB与AE显然不重合，所以AB与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了。

再根据对应边所对的角是对应角可得∠B与∠D是对应角，∠ACB与∠AED是对应角。

所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED。

做法二：

沿A与BC、DE交点O的连线将△ABC翻折180°后，它正好和△ADE重合。

这时就可找到对应边为：

AB与AD、AC与AE、BC与DE．对应角为∠A与∠A、∠B与∠D、∠ACB与∠AED。

（三）巩固练习

课本P4第3、4题。

（四）小结

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素。

这也是这节课大家要重点掌握的。

（五）作业

§11．2三角形全等的判定（第1课时）

教学目标

1、三角形全等的“边边边”的条件；

2、了解三角形的稳定性；

3、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

教学重点

三角形全等的条件。

教学难点

寻求三角形全等的条件。

教学过程

（一）创设情景，导入新课

出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形。

已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角。

图中相等的边是：

AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C。

相等的角是：

∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′。

展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：

你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知三角形纸片的对应边、对应角相等。

这样作出的三角形一定与已知三角形纸片全等）。

这是利用了全等三角形的定义来作图。

那么是否一定需要六个条件呢？

条件能否尽可能少呢？

现在我们就来探究这个问题。

1、只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2、给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

分别按下列条件做一做。

①三角形一内角为30°，一条边为3cm。

②三角形两内角分别为30°和50°。

③三角形两条边分别为4cm、6cm。

学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流。

结果展示：

1、只给定一条边时：

只给定一个角时：

2、给出的两个条件可能是：

一边一内角、两内角、两边。

可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等。

给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？

归纳：

有四种可能。

即：

三内角、三条边、两边一内角、两内有一边。

在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况。

已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm。

你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？

1、作图方法：

先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm。

2、以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合。

这说明这些三角形都是全等的。

3、特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A′B′C′，使AB=A′B′、AC=A′C′、BC=B′C′。

将△A′B′C′剪下，发现两三角形重合。

这反映了一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

用上面的规律可以判断两个三角形全等。

判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。

所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据。

（二）合作交流，解读探究

[例1]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架。

求证：

△ABD≌△ACD。

[分析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等。

证明：

因为D是BC的中点

所以BD=DC

在△ABD和△ACD中

所以△ABD≌△ACD（SSS）。

生活实践的有关知识：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的。

三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

所以日常生活中常利用三角形做支架。

就是利用三角形的稳定性。

例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等。

（三）巩固练习

如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？

怎样才能得到这个条件？

（四）小结

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS。

并利用它可以证明简单的三角形全等问题。

（五）作业

§11．2三角形全等的判定（第2课时）

教学目标

1、三角形全等的“边角边”的条件；

2、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

3、掌握三角形全等的“SＡS”条件，了解三角形的稳定性；

4、能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题。

教学重点

三角形全等的条件。

教学难点

寻求三角形全等的条件。

教学过程

（一）创设情景，导入新课

1、怎样的两个三角形是全等三角形？

2、全等三角形的性质？

3、指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：

图

（1）中：

△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边；

图

（2）中：

△ABC≌△AED，AD与AC是对应边．

4、三角形全等的判定

（一）的内容是什么？

（二）合作交流，解读探究

三角形全等的判定

（二）

1、全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质。

那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？

也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？

是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？

现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：

如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO。

把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合。

这样△ABO与△CDO就完全重合。

（此外，还可以图1

（1）中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合。

图1

（2）中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE（AB）翻折180°。

两个三角形也可重合）

由此，我们得到启发：

判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等。

而且，从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

2、上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

（1）读句画图：

①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇。

（2）把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？

3、边角边公理。

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简称“边角边”或“SAS”）。

（三）巩固练习

1、课本P9例2。

2、填空：

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是___________；还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）。

（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

_________________________（这个条件可以证得吗？

）。

3、已知：

AD∥BC，AD＝CB（图3）。

求证：

△ADC≌△CBA．

问题：

如果把图3中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置（如图5），那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件（AF＝CE或AE＝CF）？

怎样证明呢？

4、已知：

AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2（图4）。

求证：

△ABD≌△ACE。

（四）小结

1、根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件；

2、找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理。

（五）作业

§11．2三角形全等的判定（第3课时）

教学目标

1、三角形全等的条件：

角边角、角角边；

2、三角形全等条件小结；

3、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件；

4、能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。

教学重点

已知两角一边的三角形全等探究。

教学难点

灵活运用三角形全等条件证明。

教学过程

（一）创设情景，导入新课

1、复习：

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

三个角、三个边、两边一角、两角一边。

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

三种：

①定义；②SSS；③SAS。

2、在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

问题1：

三角形中已知两角一边有几种可能？

①两角和它们的夹边；

②两角和其中一角的对边。

问题2：

三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？

将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等。

提炼规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。

问题3：

我们刚才做的三角形是一个特殊的三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？

①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长。

②画线段A′B′，使A′B′=AB。

③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA。

④射线A′D与B′E交于一点，记为C′。

即可得到△A′B′C′。

将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等。

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。

思考：

在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定。

我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

问题4：

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？

能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：

∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°

∠A=∠D，∠B=∠E

∴∠A+∠B=∠D+∠E

∴∠C=∠F

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）。

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。

（二）合作交流，解读探究

[例3]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C。

求证：

AD=AE。

[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可。

证明：

在△ADC和△AEB中

所以△ADC≌△AEB（ASA）

所以AD=AE。

（三）应用迁移，巩固提高

1、课本P13练习第1、2题。

2、图中的两个三角形全等吗？

请说明理由。

答案：

图

（1）中由“ASA”可证得△ACD≌△ACB。

图

（2）由“AAS”可证得△ACE≌△BDC。

（四）小结

至此，我们有五种判定三角形全等的方法：

1、全等三角形的定义

2、判定定理：

边边边（SSS）边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径。

（五）作业

§11．2三角形全等的判定（第4课时）

教学目标

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；

2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；

3、在探索直角三角形全等条件及其运用过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。

教学重点

运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学难点

熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

教学过程

（一）创设情景，导入新课

1、判定两个三角形全等的方法：

、、、

2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，

斜边是。

3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，

（1）若∠A=∠D，AB=DE，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）。

（2）若∠A=∠D，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）。

（3）若AB=DE，BC=EF，

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）。

（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF

则△ABC与△DEF（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）。

（二）合作交流，解读探究

探索练习：

（动手操作）：

已知线段a，c（a

利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠

，AB=c，CB=a

1、按步骤作图：

ac

1

作∠MCN=∠

=90°；

2在射线CM上截取线段CB=a；

3

以B为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A；

4

连结AB。

2、与同桌重叠比较，是否重合？

3、从中你发现了什么？

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（ＨＬ）

（三）巩固练习：

1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，

则△ADB与△ADC（填“全等”或“不全等”）

根据（用简写法）。

2、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，

（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据。

（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据。

（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据。

（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。

则△ACE≌△BDF，根据。

（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据。

3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）

（A）两条直角边对应相等（B）斜边和一锐角对应相等

（C）斜边和一条直角边对应相等（D）两个锐角对应相等

4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，

AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？

说说你的理由

答：

理由：

∵AF⊥BC，DE⊥BC（已知）

∴∠AFB=∠DEC=°（垂直的定义）

在Rt△和Rt△中

∴≌（）

∴∠=∠（）

∴（内错角相等，两直线平行）

5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？

说说你的理由。

6、判断题：

（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等（）

（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（）

（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（）

（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（）

（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（）

（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（）

（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）

7、如图，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在

添加的条件后的（）内写出判定全等的依据。

（1）（）

（2）（）

（3）（）

（4）（）

（四）小结

至此，我们有六种判定三角形全等的方法：

1、全等三角形的定义

2、边边边（SSS）

3、边角边（SAS）

4、角边角（ASA）

5、角角边（AAS）

6、ＨＬ（仅用在直角三角形中）

（五）作业

§11．3角的平分线的性质（第1课时）

教学目标

1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；

2、会用尺规作一个已知角的平分线。

教学重点

利用尺规作已知角的平分线。

教学难点

角的平分线的作图方法的提炼。

教学过程

（一）创设情景，导入新课

问题1：

三角形中有哪些重要线段。

问题2：

你能作出这些线段吗？

（二）合作交流，解读探究

在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点。

求证：

∠MOC=∠NOC。

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线。

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了。

思考：

这个方案可行吗？

（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

讨论：

下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。

你能说明它的道理吗？

要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB。

∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了。

看看条件够不够。

所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB。

即射线AC就是∠DAB的平分线。

作已知角的平分线的方法：

已知：

∠AOB。

求作：

∠AOB的平分线。

作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N。

（2）分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C。

（3）作射线OC，射线OC即为所求。

讨论：

1、在上面作法的第二步中，去掉“大于

MN的长”这个条件行吗？

2、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？

得出结论：

1、去掉“大于

MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。

2、若分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了。

3、角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可。

4、这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明。

练一练：

任意画一角∠AOB，作它的平分线。

探索活动：

按以下步骤折纸

1、在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。

把角A对折，使得这个角的两边重合；

2、在折痕（即平分线）上任意找一点C；

3、过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足；

4、将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。

角平分线的性质：

角平分线上的点到角的两边的距离相等。

下面用我们学过的知识证明发现：

如图，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。

求证：

OE=OD。

（三）巩固练习

作图练习。

练后总结：

平角∠AOB的平分线