第十一章 全等三角形.docx

1、第十一章 全等三角形第十一章 全等三角形111 全等三角形教学目标1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。教学重点全等三角形的性质。教学难点找全等三角形的对应边、对应角。教学过程（一）创设情景，导入新课1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？这两个三角形是完全重合的。2、学生自己动手（同桌两名同学配合）。取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样。3、获取概念。让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应

2、顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号。形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形。要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同。概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义。仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求。将ABC沿直线BC平移得DEF；将ABC沿BC翻折180得到DBC；将ABC旋转180得AED。议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：ABCDEF，ABCDBC，ABCAED。（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化

3、了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略。（二）合作交流，解读探究寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；1、如图，OCAOBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。问题：OCAOBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将OCA翻折可以使OCA与OBD重合。因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合。C=B；A=D；AOC=

4、DOB。AC=DB；OA=OD；OC=OB。总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合。一般是平移、翻转、旋转的方法。2、如图，已知ABEACD，ADE=AED，B=C，指出其他的对应边和对应角。分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将ABE和ACD从复杂的图形中分离出来。根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，然后再依据已知的对应元素找出其余的对应元素。常用方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边。（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角。解：对应角为BAE和CAD。对应边为AB与AC、AE与AD、BE与CD。

5、3、已知如图ABCADE，试找出对应边、对应角（由学生讨论完成）。借鉴例2的方法，可以发现A=A，在两个三角形中A的对边分别是BC和DE，所以BC和DE是一组对应边。而AB与AE显然不重合，所以AB与AD是一组对应边，剩下的AC与AE自然是一组对应边了。再根据对应边所对的角是对应角可得B与D是对应角，ACB与AED是对应角。所以说对应边为AB与AD、AC与AE、BC与DE对应角为A与A、B与D、ACB与AED。做法二：沿A与BC、DE交点O的连线将ABC翻折180后，它正好和ADE重合。这时就可找到对应边为：AB与AD、AC与AE、BC与DE对应角为A与A、B与D、ACB与AED。（三）巩固练

6、习课本P4第3、4题。（四）小结通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素。这也是这节课大家要重点掌握的。（五）作业112 三角形全等的判定（第1课时）教学目标1、三角形全等的“边边边”的条件；2、了解三角形的稳定性；3、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。教学重点三角形全等的条件。教学难点寻求三角形全等的条件。教学过程（一）创设情景，导入新课出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形。已知ABCABC，找出其中相等的边与角。图中相等的边是：AB=AB、BC=BC、AC=AC。相等的角是：A=A、B=B

7、、C=C。展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知三角形纸片的对应边、对应角相等。这样作出的三角形一定与已知三角形纸片全等）。这是利用了全等三角形的定义来作图。那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题。1、只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？2、给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做。三角形一内角为30，一条边为3cm。三角形两内角分别为30和50。

8、三角形两条边分别为4cm、6cm。学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流。结果展示：1、只给定一条边时：只给定一个角时：2、给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边。可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等。给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能。即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边。在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等下面我们就来逐一探索其余的三种情况。已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm。你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1、作图方法：先画一

9、线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm。2、以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合。这说明这些三角形都是全等的。3、特殊的三角形有这样的规律，要是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形ABC，使AB=AB、AC=AC、BC=BC。将ABC剪下，发现两三角形重合。这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。用上面的规律可以判断两个三角形全等。判断两个三角形全等的推理

10、过程，叫做证明三角形全等。所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据。（二）合作交流，解读探究例1如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架。求证：ABDACD。分析要证ABDACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等。证明：因为D是BC的中点所以BD=DC在ABD和ACD中所以ABDACD（SSS）。生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的。三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。所以日常生活中常利用三角形做支架。就是利用三角形的稳定性。例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等。（三）巩固练习

11、如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB要用“边边边”证明ABCFDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？（四）小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS。并利用它可以证明简单的三角形全等问题。（五）作业112 三角形全等的判定（第2课时）教学目标1、三角形全等的“边角边”的条件；2、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；3、掌握三角形全等的“SS”条件，了解三角形的稳定性；4、能运用“SS”证明简单的三角形全等问题。教学重点三角形全等的条件。教学难

12、点寻求三角形全等的条件。教学过程（一）创设情景，导入新课1、怎样的两个三角形是全等三角形？2、全等三角形的性质？3、指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：图(1)中：ABDACE，AB与AC是对应边；图(2)中：ABCAED，AD与AC是对应边4、三角形全等的判定（一）的内容是什么？（二）合作交流，解读探究三角形全等的判定（二）1、全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质。那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图2，AC、B

13、D相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，ABO和CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：AOCO，AOB COD，BODO。把OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OAOC，所以可以使OA与OC重合；又因为AOB COD，OBOD，所以点B与点D重合。这样ABO与CDO就完全重合。(此外，还可以图1(1)中的ACE绕着点A逆时针方向旋转CAB的度数，也将与ABD重合。图1( 2)中的ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把ADE沿着AE(AB)翻折180。两个三角形也可重合)由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等。而且，从

14、上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等2、上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：画DAE45，在AD、AE上分别取 B、C，使 AB3.1cm，AC2.8cm连结BC，得ABC按上述画法再画一个ABC。(2)把ABC剪下来放到ABC上，观察ABC与ABC是否能够完全重合？3、边角边公理。有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)。（三）巩固练习1、课本P9例2。2、填空：(1)如图3，已知ADBC，ADCB，要用边角边公理证明ABCCDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件

15、，一是ADCB(已知)，二是_；还需要一个条件_(这个条件可以证得吗？)。(2)如图4，已知ABAC，ADAE，12，要用边角边公理证明ABDACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_(这个条件可以证得吗？)。3、已知： ADBC，AD CB(图3)。求证：ADCCBA问题：如果把图3中的ADC沿着CA方向平移到ADF的位置(如图5)，那么要证明ADF CEB，除了ADBC、ADCB的条件外，还需要一个什么条件(AF CE或AE CF)？怎样证明呢？4、已知：ABAC、ADAE、12(图4)。求证：ABDACE。（四）小结1、根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三

16、个条件；2、找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理。（五）作业112 三角形全等的判定（第3课时）教学目标1、三角形全等的条件：角边角、角角边；2、三角形全等条件小结；3、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件；4、能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。教学重点已知两角一边的三角形全等探究。教学难点灵活运用三角形全等条件证明。教学过程（一）创设情景，导入新课1、复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边。（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几

17、种？各是什么？三种：定义；SSS；SAS。2、在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？两角和它们的夹边；两角和其中一角的对边。问题2：三角形的两个内角分别是60和80，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等。提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊的三角形，随

18、意画一个三角形ABC，能不能作一个ABC，使A=A、B=B、AB=AB呢？先用量角器量出A与B的度数，再用直尺量出AB的边长。画线段AB，使AB=AB。分别以A、B为顶点，AB为一边作DAB、EBA，使DAB=CAB，EBA=CBA。射线AD与BE交于一点，记为C。即可得到ABC。将ABC与ABC重叠，发现两三角形全等。两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定。我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？问题4：如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，AB

19、C与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：A+B+C=D+E+F=180A=D，B=EA+B=D+EC=F在ABC和DEF中ABCDEF（ASA）。两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。（二）合作交流，解读探究例3如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C。求证：AD=AE。分析AD和AE分别在ADC和AEB中，所以要证AD=AE，只需证明ADCAEB即可。证明：在ADC和AEB中所以ADCAEB（ASA）所以AD=AE。（三）应用迁移，巩固提高1、课本P13练习第1、2题。2、图中的两个三角形全等吗？请说明理由。答案：图（1

20、）中由“ASA”可证得ACDACB。图（2）由“AAS”可证得ACEBDC。（四）小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1、全等三角形的定义2、判定定理：边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径。（五）作业112 三角形全等的判定（第4课时）教学目标1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；3、在探索直角三角形全等条件及其运用过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。教学重点运用直角三角形全等的条件

21、解决一些实际问题。教学难点熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学过程（一）创设情景，导入新课1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、2、如图，RtABC中，直角边是 、 ，斜边是 。3、如图，ABBE于C，DEBE于E，（1）若A=D，AB=DE，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）。（2）若A=D，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）。（3）若AB=DE，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）。（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则ABC与DEF （填“全等”或“不全

22、等” ）根据 （用简写法）。（二）合作交流，解读探究探索练习：（动手操作）：已知线段a ，c (ac) 和一个直角利用尺规作一个RtABC，使C=，AB=c ，CB= a1、按步骤作图： a c1 作MCN=90；2 在射线 CM上截取线段CB=a；3 以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A； 4 连结AB。2、与同桌重叠比较，是否重合？3、从中你发现了什么？斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等。（）（三）巩固练习：1、 如图，ABC中，AB=AC，AD是高，则ADB与ADC （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）。2、 如图，CEAB，DFAB，垂足分别为E、F，（1）若

23、AC/DB，且AC=DB，则ACEBDF，根据 。（2）若AC/DB，且AE=BF，则ACEBDF，根据 。（3）若AE=BF，且CE=DF，则ACEBDF，根据 。（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则ACEBDF，根据 。（5）若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则ACEBDF，根据 。3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）（A） 两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AFBC于F，DEBC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由答：理由：

24、AFBC，DEBC （已知） AFB=DEC= （垂直的定义）在Rt 和Rt 中 （ ） = （ ） （内错角相等，两直线平行）5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。6、判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（6）两锐角对应相等的两个直角

25、三角形全等（ ）（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（ ）（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ）7、如图，D=C=90，请你再添加一个条件，使ABDBAC，并在添加的条件后的（ ）内写出判定全等的依据。（1） （ ）（2） （ ）（3） （ ）（4） （ ）（四）小结至此，我们有六种判定三角形全等的方法：1、全等三角形的定义2、边边边（SSS）3、边角边（SAS）4、角边角（ASA）5、角角边（AAS）6、（仅用在直角三角形中）（五）作业113 角的平分线的性质（第1课时）教学目标1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；2、会用尺规作一个已知角的平分线。

26、教学重点利用尺规作已知角的平分线。教学难点角的平分线的作图方法的提炼。教学过程（一）创设情景，导入新课问题1：三角形中有哪些重要线段。问题2：你能作出这些线段吗？（二）合作交流，解读探究在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MCOA，NCOBMC与NC交于C点。求证：MOC=NOC。通过证明RtMOCRtNOC，即可证明MOC=NOC，所以射线OC就是AOB的平分线。受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MCOA，NCOB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是AOB的平分线了。思考：这个方

27、案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）讨论：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？要说明AC是DAC的平分线，其实就是证明CAD=CAB。CAD和CAB分别在CAD和CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了。看看条件够不够。所以ABCADC（SSS）所以CAD=CAB。即射线AC就是DAB的平分线。作已知角的平分线的方法：已知：AOB。求作：AOB的平分线。作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N。（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长

28、为半径作弧两弧在AOB内部交于点C。（3）作射线OC，射线OC即为所求。讨论：1、在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？2、第二步中所作的两弧交点一定在AOB的内部吗？得出结论：1、去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线。2、若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在AOB的内部，也可能在AOB的外部，而我们要找的是AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是AOB的平分线了。3、角的平分线是一条射线它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可。4、这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明。练一练：任意画一角AOB，作它的平分线。探索活动：按以下步骤折纸1、在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角A对折，使得这个角的两边重合；2、在折痕（即平分线）上任意找一点C；3、 过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足；4、 将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。下面用我们学过的知识证明发现：如图，已知AO平分BAC，OEAB，ODAC。求证：OE=OD。（三）巩固练习作图练习。练后总结：平角AOB的平分线