大学高等数学复习重点.docx
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大学高等数学复习重点
第一章预备知识
一、定义域
1.已知的定义域为,求的定义域。
答案:
2.求的连续区间。
提示:
任何初等函数在定义域范围内都就是连续的。
答案:
二、判断两个函数就是否相同？
1.,就是否表示同一函数？
答案:
否
2.下列各题中,与就是否相同？
答案:
都不相同
三、奇偶性
1.判断的奇偶性。
答案:
奇函数
四、有界性
使,则在上有界。
有界函数既有上界,又有下界。
1.在内就是否有界？
答案:
无界
2.就是否有界？
答案:
有界,因为
五、周期性
1.下列哪个不就是周期函数（C）。
A.B.C.D.
注意:
就是周期函数,但它没有最小正周期。
六、复合函数
1.已知,求
例:
已知,求
解1:
解2:
令,,,
2.设,求提示:
3.设,求提示:
先求出
4.设,求提示:
七、函数图形
熟记的函数图形。
第二章极限与连续
八、重要概念
1.收敛数列必有界。
2.有界数列不一定收敛。
3.无界数列必发散。
4.单调有界数列极限一定存在。
5.极限存在的充要条件就是左、右极限存在并且相等。
九、无穷小的比较
1.时,下列哪个与就是等价无穷小（A）。
A.B.C.D.
一十、求极限
1.无穷小与有界量的乘积仍就是无穷小。
,,,
2.自变量趋于无穷大,分子、分母为多项式
例如:
提示:
分子、分母同除未知量的最高次幂。
3.出现根号,首先想到有理化
补充练习:
（1）
（2）
（3）（4）
（5）
4.出现三角函数、反三角函数,首先想到第一个重要极限
例:
作业:
P497
（1）~（3）
5.出现指数函数、对数函数、幂指函数,首先想到第二个重要极限
例:
作业:
P497（4）~（6）
6.、、、、、、,可以使用洛必达法则
作业:
P995
（1）~（8）
7.分子或分母出现变上限函数
提示:
洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数
例:
补充练习:
（1）
（2）
（3）（4）
一十一、连续与间断
任何初等函数在其定义域范围内都就是连续的。
分段函数可能的间断点就是区间的分界点。
若,则在处连续,否则间断。
第一类间断点:
左、右极限都存在的间断点,进一步还可细分为可去间断点与跳跃间断点。
第二类间断点:
不属于第一类的间断点,进一步还可细分为无穷间断点与振荡间断点。
1.设在处连续,求
解:
在处连续,
2.作业:
P494、10P5011、12
3.补充练习:
（1）研究函数的连续性:
（2）确定常数,使下列函数连续:
,
（3）求下列函数的间断点并确定其所属类型:
一十二、闭区间上连续函数的性质
零点定理:
在上连续,且,则在内至少存在一点,使得
1.补充练习:
（1）证明方程至少有一个不超过3的正实根。
（2）证明方程在内至少有一个实根。
（3）证明方程在内至少有一个实根。
（4）证明方程至少有一个小于1的正根。
第三章导数与微分
一十三、重要概念
1.可导必连续,但连续不一定可导。
2.可导必可微,可微必可导。
3.函数在处可导的充要条件就是左、右导数存在并且相等。
一十四、导数的定义
作业:
P752
一十五、对于分段函数,讨论分界点就是否可导？
例:
在处,连续但不可导
1.作业:
P754、5
2.讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数
答案:
在处连续、不可导
答案:
在处连续、不可导
答案:
在处不连续、不可导
3.设,为使在处连续且可导,应取什么值？
答案:
一十六、求导数
1.求函数的导数,特别就是复合函数的导数
作业:
P756、10
2.利用对数求导法求导数
作业:
P7613
3.求隐函数的导数
作业:
P7612
4.求由参数方程所确定的函数的导数
作业:
P7614
5.求高阶导数
作业:
P7511
6.求切线方程、法线方程
利用导数求出切线的斜率,则法线的斜率为
例:
求曲线在处的切线方程。
解:
切线斜率,切线经过点
切线方程:
作业:
P753
7.求变上限函数的导数
作业:
P1564
一十七、求微分
1.,
2.,求
解:
作业:
P7615
一十八、利用微分进行近似计算
公式:
作业:
P7616
第四章中值定理与导数的应用
一十九、利用拉格朗日中值定理证明不等式
定理:
设在上连续,在内可导,则在内至少存在一点,使得
证明步骤:
（1）根据待证的不等式设函数
（2）叙述函数满足定理条件（3）根据定理证明出不等式。
1.作业:
P994
2.补充练习:
证明下列不等式:
（1）当时,
（2）
（3）当时,
二十、单调性与极值
1.单调性:
（1）确定单调区间可能的分界点（驻点与导数不存在的点）
（2）将定义域分成若干个子区间,列表讨论在各子区间上的符号,从而确定单调性与单调区间
作业:
P996
2.极值:
（1）确定可能的极值点（驻点与导数不存在的点）
（2）将定义域分成若干个子区间,列表讨论在各子区间上的符号,从而确定单调性与极值
例:
确定的单调区间及极值点
作业:
P1009
二十一、求闭区间上连续函数的最值
步骤:
（1）求出所有可能的极值点
（2）计算各可能极值点的函数值以及区间端点的函数值（3）上述各值中最大的为max,最小的为min
作业:
P10010
（1）
二十二、最值的应用问题
步骤:
（1）写出目标函数
（2）求出可能的极值点（应用问题只有一个可能的极值点）（3）分析就是最大值问题还就是最小值问题。
如果就是最大值问题,则写出,并且最大值;如果就是最小值问题,则写出,并且最小值
作业:
P10013
补充作业:
从斜边长的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形。
第五章不定积分
二十三、换元法、分部积分法求不定积分
1.换元法
例:
解1（第一类换元）:
解2（第二类换元）:
作业:
P1256P1267
2.分部积分法
例:
作业:
P1268
第六章定积分及其应用
二十四、利用P132推论3估计积分值:
作业:
P1562
二十五、证明题
（1）设,证明:
（2）设,证明:
证
（1）:
证
（2）:
二十六、计算定积分
例:
作业:
P1575、8、10
二十七、广义积分
例:
作业:
P15817
二十八、求平面图形的面积,求旋转体的体积
例:
求平面上曲线以及所围图形的面积,并求该图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。
作业:
P15711P15813
第二章极限与连续
二十九、重要概念
1.收敛数列必有界。
2.有界数列不一定收敛。
3.无界数列必发散。
4.单调有界数列极限一定存在。
5.极限存在的充要条件就是左、右极限存在并且相等。
三十、无穷小的比较
1.时,下列哪个与就是等价无穷小（A）。
A.B.C.D.
三十一、求极限
1.无穷小与有界量的乘积仍就是无穷小。
,,,
2.自变量趋于无穷大,分子、分母为多项式
例如:
提示:
分子、分母同除未知量的最高次幂。
3.出现根号,首先想到有理化
补充练习:
（1）
（2）
（3）（4）
（5）
4.出现三角函数、反三角函数,首先想到第一个重要极限
例:
作业:
P497
（1）~（3）
5.出现指数函数、对数函数、幂指函数,首先想到第二个重要极限
例:
作业:
P497（4）~（6）
6.、、、、、、,可以使用洛必达法则
作业:
P995
（1）~（8）
7.分子或分母出现变上限函数
提示:
洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数
例:
补充练习:
（1）
（2）
（3）（4）
三十二、连续与间断
任何初等函数在其定义域范围内都就是连续的。
分段函数可能的间断点就是区间的分界点。
若,则在处连续,否则间断。
第一类间断点:
左、右极限都存在的间断点,进一步还可细分为可去间断点与跳跃间断点。
第二类间断点:
不属于第一类的间断点,进一步还可细分为无穷间断点与振荡间断点。
1.设在处连续,求
解:
在处连续,
2.作业:
P494、10P5011、12
3.补充练习:
（1）研究函数的连续性:
（2）确定常数,使下列函数连续:
,
（3）求下列函数的间断点并确定其所属类型:
三十三、闭区间上连续函数的性质
零点定理:
在上连续,且,则在内至少存在一点,使得
1.补充练习:
（1）证明方程至少有一个不超过3的正实根。
（2）证明方程在内至少有一个实根。
（3）证明方程在内至少有一个实根。
（4）证明方程至少有一个小于1的正根。
第三章导数与微分
三十四、重要概念
1.可导必连续,但连续不一定可导。
2.可导必可微,可微必可导。
3.函数在处可导的充要条件就是左、右导数存在并且相等。
三十五、导数的定义
作业:
P752
三十六、对于分段函数,讨论分界点就是否可导？
例:
在处,连续但不可导
1.作业:
P754、5
2.讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数
答案:
在处连续、不可导
答案:
在处连续、不可导
答案:
在处不连续、不可导
3.设,为使在处连续且可导,应取什么值？
答案:
三十七、求导数
1.求函数的导数,特别就是复合函数的导数
作业:
P756、10
2.利用对数求导法求导数
作业:
P7613
3.求隐函数的导数
作业:
P7612
4.求由参数方程所确定的函数的导数
作业:
P7614
5.求高阶导数
作业:
P7511
6.求切线方程、法线方程
利用导数求出切线的斜率,则法线的斜率为
例:
求曲线在处的切线方程。
解:
切线斜率,切线经过点
切线方程:
作业:
P753
7.求变上限函数的导数
作业:
P1564
三十八、求微分
1.,
2.,求
解:
作业:
P7615
三十九、利用微分进行近似计算
公式:
作业:
P7616
第四章中值定理与导数的应用
四十、利用拉格朗日中值定理证明不等式
定理:
设在上连续,在内可导,则在内至少存在一点,使得
证明步骤:
（1）根据待证的不等式设函数
（2）叙述函数满足定理条件（3）根据定理证明出不等式。
1.作业:
P994
2.补充练习:
证明下列不等式:
（1）当时,
（2）
（3）当时,
四十一、单调性与极值
1.单调性:
（1）确定单调区间可能的分界点（驻点与导数不存在的点）
（2）将定义域分成若干个子区间,列表讨论在各子区间上的符号,从而确定单调性与单调区间
作业:
P996
2.极值:
（1）确定可能的极值点（驻点与导数不存在的点）
（2）将定义域分成若干个子区间,列表讨论在各子区间上的符号,从而确定单调性与极值
例:
确定的单调区间及极值点
作业:
P10
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