大学高等数学复习重点.docx

1、大学高等数学复习重点第一章 预备知识一、定义域1. 已知 的定义域为 ,求 的定义域。答案:2. 求 的连续区间。提示:任何初等函数在定义域范围内都就是连续的。答案: 二、判断两个函数就是否相同？1. , 就是否表示同一函数？答案:否2. 下列各题中, 与 就是否相同？答案:都不相同 三、奇偶性1. 判断 的奇偶性。答案:奇函数四、有界性 ,使 ,则 在 上有界。有界函数既有上界,又有下界。1. 在 内就是否有界？答案:无界2. 就是否有界？答案:有界,因为 五、周期性1. 下列哪个不就是周期函数(C)。A. B. C. D. 注意: 就是周期函数,但它没有最小正周期。六、复合函数1. 已知

2、,求例:已知 ,求 解1:解2:令 , , ,2. 设 ,求 提示: 3. 设 ,求 提示:先求出 4. 设 ,求 提示:七、函数图形熟记 的函数图形。第二章 极限与连续八、重要概念1. 收敛数列必有界。2. 有界数列不一定收敛。3. 无界数列必发散。4. 单调有界数列极限一定存在。5. 极限存在的充要条件就是左、右极限存在并且相等。九、无穷小的比较1. 时,下列哪个与 就是等价无穷小(A)。A. B. C. D. 一十、求极限1. 无穷小与有界量的乘积仍就是无穷小。 , , , , 2. 自变量趋于无穷大,分子、分母为多项式例如: 提示:分子、分母同除未知量的最高次幂。3. 出现根号,首先想

3、到有理化 补充练习:(1) (2) (3) (4) (5) 4. 出现三角函数、反三角函数,首先想到第一个重要极限例: 作业:P49 7 (1)(3)5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数,首先想到第二个重要极限例: 作业:P49 7 (4)(6)6. 、 、 、 、 、 、 ,可以使用洛必达法则作业:P99 5 (1)(8)7. 分子或分母出现变上限函数提示:洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数例: 补充练习:(1) (2) (3) (4) 一十一、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都就是连续的。分段函数可能的间断点就是区间的分界点。若 ,则 在 处连续,否则间断。第一类间断点:左、

4、右极限都存在的间断点,进一步还可细分为可去间断点与跳跃间断点。第二类间断点:不属于第一类的间断点,进一步还可细分为无穷间断点与振荡间断点。1. 设在 处连续,求 解: 在 处连续, 2. 作业:P49 4、10 P50 11、123. 补充练习:(1)研究函数的连续性: , (2)确定常数 ,使下列函数连续: , , (3)求下列函数的间断点并确定其所属类型: 一十二、闭区间上连续函数的性质零点定理: 在 上连续,且 ,则在 内至少存在一点 ,使得 1. 补充练习:(1)证明方程 至少有一个不超过3的正实根。(2)证明方程 在 内至少有一个实根。(3)证明方程 在 内至少有一个实根。(4)证明

5、方程 至少有一个小于1的正根。第三章 导数与微分一十三、重要概念1. 可导必连续,但连续不一定可导。2. 可导必可微,可微必可导。3. 函数在 处可导的充要条件就是左、右导数存在并且相等。一十四、导数的定义作业:P75 2一十五、对于分段函数,讨论分界点就是否可导？例: 在 处,连续但不可导1. 作业:P75 4、52. 讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数 答案:在 处连续、不可导 答案:在 处连续、不可导 答案:在 处不连续、不可导3. 设 ,为使 在 处连续且可导, 应取什么值？答案: 一十六、求导数1. 求函数的导数,特别就是复合函数的导数作业:P75 6、102. 利用对数求导法

6、求导数作业:P76 133. 求隐函数的导数作业:P76 124. 求由参数方程所确定的函数的导数作业:P76 145. 求高阶导数作业:P75 116. 求切线方程、法线方程利用导数求出切线的斜率 ,则法线的斜率为 例:求曲线 在 处的切线方程。解: 切线斜率 ,切线经过点 切线方程: 作业:P75 37. 求变上限函数的导数作业:P156 4一十七、求微分 1. , 2. ,求 解:作业:P76 15一十八、利用微分进行近似计算公式: 作业:P76 16第四章 中值定理与导数的应用一十九、利用拉格朗日中值定理证明不等式定理:设 在 上连续,在 内可导,则在 内至少存在一点 ,使得 证明步骤

7、:(1)根据待证的不等式设函数 (2)叙述函数 满足定理条件 (3)根据定理证明出不等式。1. 作业:P99 42. 补充练习:证明下列不等式:(1)当 时, (2) (3)当 时, 二十、单调性与极值1. 单调性:(1)确定单调区间可能的分界点(驻点与导数不存在的点) (2)将定义域分成若干个子区间,列表讨论 在各子区间上的符号,从而确定单调性与单调区间作业:P99 62. 极值:(1)确定可能的极值点(驻点与导数不存在的点) (2)将定义域分成若干个子区间,列表讨论 在各子区间上的符号,从而确定单调性与极值例:确定 的单调区间及极值点作业:P100 9二十一、求闭区间上连续函数的最值步骤:

8、(1)求出所有可能的极值点 (2)计算各可能极值点的函数值以及区间端点的函数值 (3)上述各值中最大的为max,最小的为min作业:P100 10 (1)二十二、最值的应用问题步骤:(1)写出目标函数 (2)求出可能的极值点 (应用问题只有一个可能的极值点) (3)分析就是最大值问题还就是最小值问题。如果就是最大值问题,则写出 ,并且最大值 ;如果就是最小值问题,则写出 ,并且最小值作业:P100 13补充作业:从斜边长 的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形。第五章 不定积分二十三、换元法、分部积分法求不定积分1. 换元法例: 解1(第一类换元):解2(第二类换元):作业:P125 6

9、 P126 72. 分部积分法例: 作业:P126 8第六章 定积分及其应用二十四、利用P132推论3估计积分值:作业:P156 2二十五、证明题(1)设 ,证明: (2)设 ,证明:证(1):证(2):二十六、计算定积分例: 作业:P157 5、8、10二十七、广义积分例: 作业:P158 17二十八、求平面图形的面积,求旋转体的体积例:求平面上曲线 以及 所围图形的面积,并求该图形绕 轴旋转一周所成旋转体的体积。作业:P157 11 P158 13第二章 极限与连续二十九、重要概念1. 收敛数列必有界。2. 有界数列不一定收敛。3. 无界数列必发散。4. 单调有界数列极限一定存在。5. 极

10、限存在的充要条件就是左、右极限存在并且相等。三十、无穷小的比较1. 时,下列哪个与 就是等价无穷小(A)。A. B. C. D. 三十一、求极限1. 无穷小与有界量的乘积仍就是无穷小。 , , , , 2. 自变量趋于无穷大,分子、分母为多项式例如: 提示:分子、分母同除未知量的最高次幂。3. 出现根号,首先想到有理化 补充练习:(1) (2) (3) (4) (5) 4. 出现三角函数、反三角函数,首先想到第一个重要极限例: 作业:P49 7 (1)(3)5. 出现指数函数、对数函数、幂指函数,首先想到第二个重要极限例: 作业:P49 7 (4)(6)6. 、 、 、 、 、 、 ,可以使用

11、洛必达法则作业:P99 5 (1)(8)7. 分子或分母出现变上限函数提示:洛必达法则+变上限函数的导数等于被积函数例: 补充练习:(1) (2) (3) (4) 三十二、连续与间断任何初等函数在其定义域范围内都就是连续的。分段函数可能的间断点就是区间的分界点。若 ,则 在 处连续,否则间断。第一类间断点:左、右极限都存在的间断点,进一步还可细分为可去间断点与跳跃间断点。第二类间断点:不属于第一类的间断点,进一步还可细分为无穷间断点与振荡间断点。1. 设在 处连续,求 解: 在 处连续, 2. 作业:P49 4、10 P50 11、123. 补充练习:(1)研究函数的连续性: , (2)确定常

12、数 ,使下列函数连续: , , (3)求下列函数的间断点并确定其所属类型: 三十三、闭区间上连续函数的性质零点定理: 在 上连续,且 ,则在 内至少存在一点 ,使得 1. 补充练习:(1)证明方程 至少有一个不超过3的正实根。(2)证明方程 在 内至少有一个实根。(3)证明方程 在 内至少有一个实根。(4)证明方程 至少有一个小于1的正根。第三章 导数与微分三十四、重要概念1. 可导必连续,但连续不一定可导。2. 可导必可微,可微必可导。3. 函数在 处可导的充要条件就是左、右导数存在并且相等。三十五、导数的定义作业:P75 2三十六、对于分段函数,讨论分界点就是否可导？例: 在 处,连续但不

13、可导1. 作业:P75 4、52. 讨论下列函数在区间分界点的连续性与可导数 答案:在 处连续、不可导 答案:在 处连续、不可导 答案:在 处不连续、不可导3. 设 ,为使 在 处连续且可导, 应取什么值？答案: 三十七、求导数1. 求函数的导数,特别就是复合函数的导数作业:P75 6、102. 利用对数求导法求导数作业:P76 133. 求隐函数的导数作业:P76 124. 求由参数方程所确定的函数的导数作业:P76 145. 求高阶导数作业:P75 116. 求切线方程、法线方程利用导数求出切线的斜率 ,则法线的斜率为 例:求曲线 在 处的切线方程。解: 切线斜率 ,切线经过点 切线方程:

14、 作业:P75 37. 求变上限函数的导数作业:P156 4三十八、求微分 1. , 2. ,求 解:作业:P76 15三十九、利用微分进行近似计算公式: 作业:P76 16第四章 中值定理与导数的应用四十、利用拉格朗日中值定理证明不等式定理:设 在 上连续,在 内可导,则在 内至少存在一点 ,使得 证明步骤:(1)根据待证的不等式设函数 (2)叙述函数 满足定理条件 (3)根据定理证明出不等式。1. 作业:P99 42. 补充练习:证明下列不等式:(1)当 时, (2) (3)当 时, 四十一、单调性与极值1. 单调性:(1)确定单调区间可能的分界点(驻点与导数不存在的点) (2)将定义域分成若干个子区间,列表讨论 在各子区间上的符号,从而确定单调性与单调区间作业:P99 62. 极值:(1)确定可能的极值点(驻点与导数不存在的点) (2)将定义域分成若干个子区间,列表讨论 在各子区间上的符号,从而确定单调性与极值例:确定 的单调区间及极值点作业:P10