八年级暑假学而思全等百题斩2拓展版 教师版.docx

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八年级暑假学而思全等百题斩2拓展版教师版

八年级暑假学而思全等百题斩

（2）拓展版教师版

1．如图，已知BD＝CE，∠1＝∠2，求证：

AB＝AC．

【解答】证明：

∵∠1＝∠2，

∴∠AEC＝∠ADB，

在△ABD与△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE，

∴AB＝AC．

2．如图：

AB＝AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME＝MF．求证：

MB＝MC．

【解答】证明：

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵ME⊥AB，MF⊥AC，

∴∠BEM＝∠CFM＝90°，

在△BME和△CMF中，

∵

，

∴△BME≌△CMF（AAS），

∴MB＝MC．

3．已知：

如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：

AE＝AF．

【解答】证明：

连接AC，

在△ACD和△ACB中，

∵

，

∴△ACD≌△ACB（SSS），

∴∠ACE＝∠ACF，

∵BC＝DC，E，F分别是DC、BC的中点，

∴CE＝CF，

在△ACE和△ACF中，

∵

，

∴△ACE≌△ACF（SAS），

∴AE＝AF．

4．已知BC＝ED，AB＝AE，∠B＝∠E，F是CD的中点，求证：

AF⊥CD．

【解答】解：

如图，连接AC、AD，

在△ABC和△AED中，

，

∴△ABC≌△AED（SAS）．

∴AC＝AD．

∴△ACD是等腰三角形．

又∵点F是CD的中点，

∴AF⊥CD．

5．已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D＝180°．求证：

AE＝AD+BE．

【解答】解：

如图，在EA上取点F，使EF＝BE，连接CF，

∵CE⊥AB，

∴CF＝CB，

∴∠CFB＝∠B，

∵∠AFC+∠CFB＝180°，∠D+∠B＝180°，

∴∠D＝∠AFC，

∵AC平分∠BAD，

即∠DAC＝∠FAC，

在△ACD和△ACF中，

，

∴△ACD≌△ACF（AAS），

∴AD＝AF，

∴AE＝AF+EF＝AD+BE．

6．已知：

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°，求证：

AE＝AD+BE．

【解答】证明：

在AE上截取AM＝AD，连接CM，

∵AC平分∠BAD，

∴∠1＝∠2，

在△AMC和△ADC中

，

∴△AMC≌△ADC（SAS），

∴∠3＝∠D，

∵∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°，

∴∠4＝∠B，

∴CM＝CB，

∵CE⊥AB，

∴ME＝EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），

∵AE＝AM+ME，

∴AE＝AD+BE．

7．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：

AD+BC＝AB．

【解答】证明：

如图，在AB上截取AF＝AD，连接EF，

∵AE平分∠PAB，

∴∠DAE＝∠FAE，

在△DAE和△FAE中，

∵

，

∴△DAE≌△FAE（SAS），

∴∠AFE＝∠ADE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE+∠C＝180°，

∵∠AFE+∠EFB＝180°，

∴∠EFB＝∠C，

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBF＝∠EBC，

在△BEF和△BEC中，

∵

，

∴△BEF≌△BEC（AAS），

∴BC＝BF，

∴AD+BC＝AF+BF＝AB．

8．已知：

AB∥ED，∠EAB＝∠BDE，AF＝CD，EF＝BC，求证：

∠F＝∠C．

【解答】证明：

∵AB∥ED，

∴∠DEA+∠EAB＝180°，∠EDB+∠DBA＝180°，

∵∠EAB＝∠BDE，

∴∠AED＝∠ABD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE＝BD，

在△AFE和△CDB中，

，

∴△AFE≌△CDB（SSS），

∴∠F＝∠C．

9．如图，已知∠A＝∠D，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．求证：

BC∥EF．

【解答】证明：

连接BF、CE，

在△ABF和△DEC中，

，

∴△ABF≌△DEC，

∴BF＝CE（全等三角形对应边相等），

∵BC＝EF，

∴四边形BCEF是平行四边形，

∴BC∥EF．

10．已知：

∠1＝∠2，CD＝DE，EF∥AB，求证：

EF＝AC．

【解答】证明：

过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

∵∠1＝∠2，

∴DM＝DN，

∴S△ABD：

S△ACD＝AB：

AC，

∵S△ABD：

S△ACD＝BD：

CD，

∴

＝

．

∵EF∥AB，

∴

＝

；

∴

，

又∵CD＝DE，

∴EF＝AC．

11．如图，AC，BD相交于O，∠A＝∠D，AB＝DC．

求证：

AC＝BD．

【解答】解：

在△ABO和△DCO中，

∴△ABO≌△DCO（AAS），

∴OA＝OD，OB＝OC，

∴OA+OC＝OD+OB，

∴AC＝BD．

12．已知，如图△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：

AD平分∠BAC．

【解答】证明：

如右图所示，

∵BD＝DC，

∴∠3＝∠4，

又∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠3＝∠2+∠4，

即∠ABC＝∠ACB，

∴△ABC是等腰三角形，

∴AB＝AC，

在△ABD和△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴∠BAD＝∠CAD，

∴AD平分∠BAC．

13．已知AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，AD是整数，求AD．

【解答】解：

延长AD至E，使得AD＝DE，连接EC，

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

在△ADB和△EDC中，

，

∴△ADB≌△EDC，

∴EC＝AB＝4，

∵AC＝2，

∴4﹣2＜AE＜4+2，

即：

2＜AE＜6，

∴1＜AD＜3，

∵AD是整数，

∴AD＝2．

14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段DE、AD与BE有怎样的数量关系？

请写出这个关系（不用证明）；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：

DE＝AD﹣BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？

请写出这个等量关系，并加以证明．

【解答】

（1）解：

DE＝CD+CE＝AD+BE．

（2）证明：

∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，

∵AD⊥DN，∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，又AC＝BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，BE＝CD，

DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．

（3）解：

DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．

证明：

∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，

∵AD⊥DN，∴∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，又AC＝BC，

∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，BE＝CD，

DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．

15．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝CD，AF＝CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB＝MD，ME＝MF；

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

【解答】解：

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∴∠DEC＝∠BFA＝90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵

，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

∴DE＝BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB＝MD，ME＝MF；

（2）成立．

连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∴∠DEC＝∠BFA＝90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵

，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

∴DE＝BF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

∴MB＝MD，ME＝MF．