函数概念及其基本性质.docx
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函数概念及其基本性质
第二章函数概念与基本初等函数I
1.课标要求：
函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来
学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。
教材把指数函数，对数函数，幕函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型
增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数
模型解决一些实际问题•
1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；了解函数构成
的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应
关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，
2.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当
地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象
3•通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用
4.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形
5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法
6.理解有理数指数幕的意义，通过具体实例了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算•
7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=ax的符号、
意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单
调性、值域、特别点）.
8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转
化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通
过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=logax符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）
9.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a>0,a丰1）,初步了解反函数
--1
的概念和f（x）的意义.
4.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的
思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性
5教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学
生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望•教学中要充分发挥课本的这些材料的作
用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设
6在学习对数函数图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体
会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想•教学中重视知识间的迁移与互逆作用
7•教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展
8.教材对幕函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幕函数，并且安排
的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担
9.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象，使学生初
步感受到信息技术在函数学习中的重要作用
10.为体现教材的选择性，在练习安排上加大了弹性，教师应根据学生实际，合理地取舍•
3.教学内容及课时安排建议
本章教学时间约23课时：
2•
1
函数的概念与图象
10课时
2•
2•
指数函数
5课时
2•
3
对数函数
5课时
2•
4
幕函数
2课时
2•
5
函数与方程
3课时
2•
6
函数模型及其应用
3课时
数学探究案例一一钢琴与指数曲线
1课时
实习作业
1课时
小结与复习
2课时
§.1.1函数的概念和图象⑴一一概念
一、教学目标
1、知识与技能：
了解函数产生的背景，掌握函数的概念、，特别是函数的三要素。
会判断什么样的对应
是函数。
会求简单函数的定义域及值域。
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域。
3、情态与价值：
使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：
理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；
难点：
符号“y=f（x）”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
三、学法与教学用具
1、学法：
学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标•
2、教学用具：
投影仪.
四、教学思路
（1）创设情景
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）人口数量与时间（年份）的变化关系问题；
（2）自由落体下落的距离与下落时间的变化关系问题；
（3）某市一天的气温与时间的变化关系问题
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系？
如何用集合的语言来描述？
（2）探求新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个
数X,在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么就称f:
AtB为从集合A到集合B的一个函数（function）.记作：
y=f（x）,x€A.
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x€A}叫做函数的值域（range）.
强调：
①任意性；②唯一性。
思考：
课本例1，对照定义说明理由。
注意：
①y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；
2函数符号"y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.
（2）初中学过哪些函数？
它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？
2
1一次函数：
y=ax+b（a*0）；②二次函数：
y=ax+bx+c（a*0）；
k
3反比例函数：
y=（k*0）
x
（3）函数三要素：
1由定义，构成函数需要几个要素？
2如果一个函数的定义域、对应法则确定，则其值域是否确定？
3如果定义域、值域确定，函数是否确定？
为什么？
试举例说明。
例：
yx,xR;yx,xR.
4由此，两个函数相同的条件是什么？
5思考：
函数yfx,xA与函数sft,tA是同一函数吗？
2
x
函数yx与y是同一函数吗？
x
2.函数的定义域
⑴如果函数对应法则可以用解析式表示出来，那么要确定这个函数，还必须给出定义域。
⑵如果给出了解析式，但未给出定义域，那么我们就认为其定义域就是使其解析式有意
义的x的取值集合。
1
⑶例：
①求函数f（x）=x3+的定义域。
x2
2设一个矩形周长为80，其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式,并写出定义域•
⑷引导学生小结几类函数的定义域：
1如果f（x）是整式，那么函数的定义域是实数集R.
2如果f（x）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合
3如果f（x）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数集合
4如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合•（即求各集合的交集）
5满足实际问题有意义.
3•函数的解析式
⑴函数“yfx”表示y是x的函数，可简记为fx，这里“f”即对应法则;
⑵f”是一个记号，在不同的函数中具有不同的意义;
⑶如果在同一问题中涉及多个函数，为了区别，也常用gx、hx、x、Fx等
等来表示；
⑷当自变量x在定义域内取某一确定的值a时，对应的函数值用fa来表示，如：
fx2x1，贝yfa2a1,f13.
4.函数的值域
例：
求下列函数的值域
、22
⑴fxx11,x1,0,1,2,3；⑵fxx11。
由此，进一步强调函数值域的意义。
（3）学以致用
例1下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A.fxx,gxx2B.fxx,gx3x3
o
C.fx1,gxD.fx1,gxx
x
强调：
从函数的三要素入手，在定义域、值域和对应法则中，只要有一个不同，就不是同一函数.
2
例2已知fx2x1,gxx2.
2
⑴求fg1；⑵求fa、ga1；⑶若fgxgfx，求x的值。
七•，④f（x）
1-
1
x|x|
强调：
准确理解对应法则“f”的意义。
例3求下列函数的定义域：
①f（x）=；②f（x）.1x.x31；③f（x）
x2
强调：
①求函数定义域的几个原则；②函数的定义域一般应用集合或区间表示.
（四）巩固深化
课本练习第3—7题
（五）归纳小结
1从具体实例引入函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；
2初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法。
（六）承上启下
1、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。
2、《课课练》第1、2课时。
§.1.1函数的概念和图象⑵一一定义域和值域
、教学目标
2、知识与技能:
（1）进一步理解函数的概念。
（2）会求函数特别是复合函数的定义域。
（3）掌握求函数值域的常见方法。
2、过程与方法：
（1）通过实例，学会求函数复合函数的定义域，进一步家深对函数概念的理解。
（2）在复习初中已学函数的基础上，经历求函数值域的过程，掌握常见方法。
3、情态与价值：
让学生感受数形结合、等价转化等数学思想，激发学习的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：
函数值域的常见方法。
难点：
复合函数的定义域，判别式法的发现。
三、学法与教学用具
1、学法：
学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标
2、教学用具：
投影仪.
四、教学思路
（一）创设情景
复习初中所学函数，说出它们的定义域、值域，并说明如何得至验
1、
例
（二）探求新知
函数的定义域
1•求下列函数的定义域：
■-x
:
⑵fx
变题
xx2,
x2的定义域。
变题
的定义域是
0,1
2
，则fX的定义域是
练习：
①若f
的定义域是
0,1
，贝yfx1的定义域是
思考：
若fX的定义域是D，则fX的定义域是
2•函数的值域
例2•求下列函数的值域：
⑴yx1,x1,1:
⑵y2xx2:
⑶y.
x1
1
变题1：
函数v2——的值域是
x1
2x1
变题2:
函数y的值域是
x1
axb
思考：
一般地，函数y的值域是.
cxd
例3•求函数y丄的值域.
xx1
思考1根据函数关系你能在值域C中找到几个值吗？
例如0C?
1C?
为什么?
思考2有谁找到了一个数不在C中呢？
又为何？
思考3由此，给定一个值y,你怎样来判断它是否是值域C中的元素呢？
x
（只需判断关于x的方程二y是否在定义域内有实数解就可以了）
xx1
解：
由y得yx2y1xy0
xx1
若y0,则x0，方程有解，y0在函数值域中；
221
若y0，为使方程有解，只须y14y2…0,解得-剟y1y0
3
1
综合得，所求函数的值域是丄,1•
3
指出：
⑴从函数概念看，函数yf（x）的值域就是定义域中任一自变量x在对应法则“f”
作用下的象的集合，即值域C中每一个y的值,根据对应法则“f”都有原象x与之对应.因此，函数
yf（x）的值域就是使方程f（x）y在定义域内有解的y的取值范围.如果此方程是关于x
的二次方程，则方程有解的充要条件就是判别式
的方法，我们叫做“判别式法”.
⑵一般地，二次分式函数y
為x2Qxc
a2x2b2xg
0，由此求出函数的值域.这种求函数值域a12a20，常化为关于x的二次方程，
然后根据方程有解的条件，利用判别式法求解。
2
思考4:
如何求函数y2x2x-的值域?
x21
注意：
如果分子分母可约，一般不采用判别式法，而是转化为型如y坐卫a0的
axb
函数求值域.
例4:
求函数yx1x的值域.
分析：
本题中所给函数是无理函数，一般应考虑有理化.你是否试图通过移项平方来实
处理时要特别细心.能否通
施？
这样做往往会使函数的定义域扩大，从而影响函数的值域，
过其他方法来实现有理化呢？
换元！
是我们常用的手段之一.
1
画出二次函数yt-
2
5在0,
4
上的图象
（如图）•
；y*
I
十、
:
•
可见，当t0时y取得最大值
1,所以原函数的值域是
1•
R,
指出：
1.换元法是处理无理函数问题时常用的方法.
2.本题中在得到关于t的二次函数后，由于其定义域不是
1O
—i
2
而是0,，这时应结合二次函数的图象观察得出结果.如果忽视了定义域问题，得出
y,
—，那就错了！
3.请你思考下面的问题：
引申：
若关于x的方程xJ—Xa有解，求常数a的取值范围.
fxa何时有解等价于：
当a取何值时，在函数fx由函数值域的定义可知，所求a的取值范围就是函数
1.
设函数fxx1x,则方程x与之对应.
的值域，•••a的取值范围就是
（三）巩固深化
析
的定义域中存在自变量
fx
1.若函数y
fX的定义域是
1,3
，则函数fx2
的定义域是
2.求函数y
x1
—的值域.
x2x3
（四）归纳小结
1通过本课的学习，你学会了哪些知识?
2具体解题时应注意哪些问题？
（五）布置作业
1.下列四个函数：
①y
x1;②y
2x
1:
③y
3
④y巴.其中，定义域和
x
值域相同的是
A.①②
B.
①②④
C.②③
D.①③④
2.有下列四个命题：
①
1
y飞的值域是
x
y|yo；
x2xR且x2
的值域是
.其中正确
的值域是R;④y■■x23x1的值域是y|y…0
命题的个数是
A.1
B.
C.3
D.4
的值域是
3.函数y
2x
-的值域是
x1
5.求下列函数的定义域：
4.若函数
0，则其定义域是
求下列函数的值域:
3x
y12x
x…0;
（2）
已知函数
fx的定义域为
1,1,
求函数
1
x-的定义域.
4
求下列函数的值域:
⑴y2x34x13;
（2）y
x
x22x3
§.1.2函数的表示法
（1）――解析法
1.教学目标
1.知识与技能
（1）明确函数的三种表示方法及其优点；
（2）明确函数解析式的意义，能根据条件求函数的解析式。
2.过程与方法：
通过具体实例，掌握求函数解析式的常见方法。
3.情态与价值
让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透分类、转化等数学思想方法。
2.教学重点和难点
教学重点：
求函数解析式的常见方法。
教学难点：
能根据条件进行恰当分类，能准确注明函数的定义域。
3.学法及教学用具
1.学法：
学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.
2.教学用具：
圆规、三角板、投影仪.
4.教学思路
（一）创设情景
⑴前课学习了函数定义域、值域的求法，作业中还有哪些问题需要再一起共同讨论？
⑵回顾本节开头三个函数的例子，你觉得表示一个函数有哪些方法？
（二）探求新知
1.函数的表示法
⑴函数有哪些表示方法？
表示函数的方法常用的有：
解析法、列表法、图象法三种
⑵三种方法各有何特点？
解析式的特点为：
函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析
式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域.
列表法的特点为：
不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。
图像法的特点是：
能直观形象地表示出函数的变化情况）
⑶阅读课本例1：
某种笔记本的单价是5元，买x（x1,2,3,4,5）个笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数yf（x）.
2•求函数解析式的方法
例1.根据下列条件，求函数fx的解析式：
⑴已知f.xlx2x，求fx；
⑵已知fx是一次函数，且ffx9x8，求fx；
⑶已知3fx2fx2x5，求fx.
解：
⑴
）设
t■
x1,
则J
xt
1,•
f
tt
12t1t2
1
•/1
x1
•T,•
fx
2
x
1x•
••1
⑵设f
x
ax
ba
0,
则
ffx
afx
baaxbb
a2xabb
由a
a29
a3
,a3
x
ab
b9x
8
得
或
abb
8
b2
b4
•f
x
3x
2或f
x
3x
4.
⑶在
3f
x
2fx
2x
5
①中，
以
x换
x得3fx2f
x2x5
②
由①，
②消去
fx
得f
x
2x1.
指出：
①
求解
争析式的
1方法较多：
关键是根据题目特点灵活进行选择,
如本例中的
3个
小题分别采用了换元法、待定系数法和消元法.
fx
②求函数解析式时，同时要注明函数的定义域.在用换元法求解时，最后得到的fX的
解析式中，自变量x实际上是由t“换”来的，因此必须由t的范围来确定fx的定义域.
例2•已知函数fx满足fx1x24.
xx
⑴求fx的解析式；⑵求fx的定义域、值域.
1
析：
⑴本题若采用换元法，令tx-,则难以用t来表示出x,注意到
x
2
112
fxx2，从而fxx2.
xx
1
⑵为确定函数的定义域，必须求出tx-的值域，可考虑用判别式法：
x
12
由tx，得：
xtx10.
x
由t4…0,得t厔2或t2,
•••fx的定义域是，2U2,,
又x2…4,•fxx22…2，即值域为2,.
指出：
此题是先“配凑”再换元，要特别注意其定义域.
例3.设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意实数x,y有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）,求f（x）的表达式。
2
分析：
只需令yx，可得fxxx1。
指出：
本题采用了赋值法。
例4.某地的出租车按如下方法收费：
在3km以内（含3km）的路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.试写出以行车里程x（km）为自变量，车费y（元）为函数值的函数解析式。
7,0x37,0x3
答案：
y
72.4x3,x32.4x0.2,x3
评此题所涉及的函数为分段函数，需分情况讨论.
（3）巩固深化
1.根据下列条件求函数的解析式：
X11211
⑴f（）x;⑵f（x-）x—,f（x）;⑶f（x）2f（—）x,f（x）.
xxxx
2•为配合客户不同需要，某电信公司有A、B两种优惠计划供客户选择：
计划A
计划B
服务项目
即时直接通话+自动数字传呼
基本月租费
50元
98元
免费通过时间
首60分钟
首300分钟
以后每分钟收费
0.40元
0.40元
请根据上面提供的信息，解答下列问题：
⑴通话时间超过多少分钟时，计划B比计划A更省钱？
⑵若用户决定选择计划B,则通话多少时间可比选择计划A便宜得最多？
最多便宜多
少钱？
⑶通过以上研究你觉得应如何选择优惠计划？
析：
先根据题意，分别求出A、B两计划付费金额关于通话时间的函数解析式，通过计算它们之间的差值，再作出回答.
解：
设A、B两计划付费金额关于通话时间x（分钟）的函数分别为fx和gx,
依题意：
fx
50,
0.4x
60
0剟x60
500.4x26,x>60，
98,
0剟x300
gx
0.4x
300
980.4x22,x>300
48,
0剟x60
yfx
gx
0.4x
72,
6048,
x>300
⑴易见，当
0剟x
60,
fx
当60300,
由fx
>g
x即0.4x72>0得x>180；
当x>300时，f
x>g
x.
•••当通话时间超过
180分钟，
计划B比计划A更省钱.
⑵由⑴，当180当x>300时，y48.
•••当通话时间在300分钟以上时，计划B比计划A便宜得最多，最多便宜48元钱.
⑶通过以上研究，若通话时间在180分钟以内，则选择计划A;若通话时间超过180
分钟，则选择计划B.
（4）归纳小结
（1）理解函数的三种表示方法及其特点，注意分段函数的表示方法。
（2）能根据条件特征选择适当方法求函数的解析式。
（5）承上启下
（1）作业：
《课课练》第3、4课时。
（2）下节课我们一起学习函数的另外两种表示法。
§.1.2函数的表示法⑵一一列表法与图象法
1.教学目标
1•知识与技能
⑴掌握函数图象的画法；
⑵了解列表法是函数的一种表示，能根据表中信息抽象函数关系，解决实际问题。
2.过程与方法：
⑴通过具体实例，能根据函数解析式描绘函数的图象。
⑵能根据题目要求，灵活选用函数的表示法，提高解决实际问题的能力。
3
升级会员 