函数概念及其基本性质.docx

1、函数概念及其基本性质第二章函数概念与基本初等函数I1.课标要求：函数是高中数学的核心概念， 本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数， 幕函数当作三种重要的函数模型来学习， 强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法， 学会运用具体函数模型解决一些实际问题1. 会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号 y=f（x）的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型， 体会对应关系在刻画函数概念中的作用

2、；会求一些简单函数的定义域和值域，2.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法） ，并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用4.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶 性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法6.理解有理数指数幕的意义，通过具体实例了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算 7.了解指数函数模型的实际背景 .理解指数函数的概念和意义，掌握 f（x）= ax的符号、意义，能借助计算

3、器或计算机画出具体指数函数的图象， 探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用 .通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握 f（x）=logax符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出 具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）9. 知道指数函数 y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a0, a丰1）,初步了解反函数-1的概念和

4、f （x）的意义.4.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维规律，有利于学生对函数概念学习的连续性5教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念， 所举例子比较全面， 有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设6在学习对数函数图象和性质时， 教材将它与指数函数的有关内容做了比较， 让学生体会两种函数模型的增长区别与关联， 渗透了类比思想教学中重视知识间的迁移与互逆作用7教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数 这两种函数模型的学

5、习，教学中不宜对其定义做更多的拓展8.教材对幕函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幕函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担9.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象 ，使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用10.为体现教材的选择性，在练习安排上加大了弹性，教师应根据学生实际，合理地取舍3.教学内容及课时安排建议本章教学时间约 23课时：2 1函数的概念与图象10课时2 2 指数函数5课时2 3对数函数5课时2 4幕函数2课时2 5函数与方程3课时2 6函数模型及其应用3课时数学探究案例一一钢琴与指数曲线1课

6、时实习作业1课时小结与复习2课时.1.1函数的概念和图象一一概念一、 教学目标1、 知识与技能：了解函数产生的背景，掌握函数的概念、 ，特别是函数的三要素。会判断什么样的对应是函数。会求简单函数的定义域及值域。2、 过程与方法：(1)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基 础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；(2)了解构成函数的要素；(3)会求一些简单函数的定义域和值域。3、 情态与价值：使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。二、 教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难

7、点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；三、 学法与教学用具1、 学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标 2、 教学用具：投影仪.四、教学思路(1)创设情景1、 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：(1)人口数量与时间(年份)的变化关系问题；(2)自由落体下落的距离与下落时间的变化关系问题；(3)某市一天的气温与时间的变化关系问题3、 分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。4、 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、 根据初中所学函

8、数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系？ 如何用集合的语言来描述？(2)探求新知1、 函数的有关概念(1)函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一的元素 y和它对应，那么就称f: At B为从集合A到集合B的一 个函数(function ).记作： y= f(x), x A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain );与x的值相对应 的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域(range ).强调：任意性；唯一性。思考：课本例1，对照定义说明理由。注意

9、： y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g(x)”；2函数符号y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是 f乘x.(2)初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？21一次函数：y=ax+b (a* 0)；二次函数：y=ax+bx+c (a* 0)；k3反比例函数：y= (k* 0)x(3)函数三要素：1由定义，构成函数需要几个要素？2如果一个函数的定义域、对应法则确定，则其值域是否确定？3如果定义域、值域确定，函数是否确定？为什么？试举例说明。例：y x, x R; y x,x R.4由此，两个函数相同的条件是什么？5思考：函数 y f

10、 x ,x A与函数s f t ,t A是同一函数吗？2x函数y x与y 是同一函数吗？x2.函数的定义域如果函数对应法则可以用解析式表示出来， 那么要确定这个函数，还必须给出定义域。如果给出了解析式， 但未给出定义域，那么我们就认为其定义域就是使其解析式有意义的x的取值集合。 1例：求函数f (x) = x 3 + 的定义域。x 22设一个矩形周长为 80，其中一边长为x,求它的面积关于 x的函数的解析式, 并写出定义域引导学生小结几类函数的定义域：1如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R .2如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合3如果f(x)是二次根式

11、，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数集合4如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义 的实数集合(即求各集合的交集)5满足实际问题有意义.3 函数的解析式函数“y f x ”表示y是x的函数，可简记为f x，这里“f ”即对应法则;f”是一个记号，在不同的函数中具有不同的意义;如果在同一问题中涉及多个函数，为了区别，也常用 g x、h x、 x、F x等等来表示；当自变量x在定义域内取某一确定的值 a时，对应的函数值用 f a来表示，如：f x 2x 1，贝y f a 2a 1 , f 1 3 .4 .函数的值域例：求下列函数的值域,、 2

12、2 f x x 1 1,x 1,0,1,2,3 ； f x x 1 1。由此，进一步强调函数值域的意义。(3)学以致用例1下列各组函数中，表示同一函数的是 ()A.f x x, g x x2 B. f x x, g x 3 x3oC. f x 1, g x D. f x 1, g x xx强调： 从函数的三要素入手，在定义域、值域和对应法则中，只要有一个不同，就不 是同一函数.2例 2 已知 f x 2x 1,g x x 2.2求f g 1 ；求fa 、g a 1 ；若fgx g f x ，求x的值。七，f(x)1 -1x |x|强调：准确理解对应法则“ f”的意义。 例3 求下列函数的定义域

13、： f(x)= ； f (x) . 1 x . x 3 1 ； f (x)x 2强调：求函数定义域的几个原则；函数的定义域一般应用集合或区间表示.（四） 巩固深化课本练习第3 7题（五） 归纳小结1从具体实例引入函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；2初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法。（六） 承上启下1、 举出生活中函数的例子（三个以上） ，并用集合与对应的语言来描述函数，同时说 出函数的定义域、值域和对应关系。2、 课课练第1、2课时。.1.1函数的概念和图象一一定义域和值域、教学目标2、知识与技能:（1） 进一步理解函数的概念。（2） 会求函数特别是复合

14、函数的定义域。（3） 掌握求函数值域的常见方法。2、 过程与方法：（1） 通过实例，学会求函数复合函数的定义域，进一步家深对函数概念的理解。（2） 在复习初中已学函数的基础上，经历求函数值域的过程，掌握常见方法。3、 情态与价值：让学生感受数形结合、等价转化等数学思想，激发学习的积极性。二、 教学重点与难点：重点：函数值域的常见方法。难点：复合函数的定义域，判别式法的发现。三、 学法与教学用具1、 学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标2、 教学用具：投影仪.四、教学思路（一） 创设情景复习初中所学函数，说出它们的定义域、值域，并说明如何得至验1、例（二） 探求

15、新知函数的定义域1求下列函数的定义域：- x:f x变题x x2 ,x2的定义域。变题的定义域是0,12，则f X 的定义域是练习：若f的定义域是0,1，贝y f x 1的定义域是思考：若f X的定义域是D，则f X 的定义域是 2函数的值域例2 求下列函数的值域： y x 1, x 1,1 : y 2 x x2 : y .x 11变题1 ：函数v 2的值域是x 12x 1变题2 :函数y 的值域是x 1ax b思考：一般地，函数 y 的值域是 .cx d例3 求函数y丄 的值域.x x 1思考1根据函数关系你能在值域 C中找到几个值吗？例如 0 C ? 1 C ?为什么?思考2 有谁找到了一

16、个数不在 C中呢？又为何？思考3由此，给定一个值y,你怎样来判断它是否是值域 C中的元素呢？x(只需判断关于x的方程二 y是否在定义域内有实数解就可以了)x x 1解：由 y 得 yx2 y 1 x y 0x x 1若y 0,则x 0，方程有解， y 0在函数值域中；2 2 1若y 0，为使方程有解，只须 y 1 4y20,解得-剟y 1 y 031综合得，所求函数的值域是 丄,1 3指出：从函数概念看，函数y f(x)的值域就是定义域中任一自变量 x在对应法则“f”作用下的象的集合，即值域C中每一个y的值,根据对应法则“ f”都有原象x与之对应.因此，函数y f (x)的值域就是使方程 f(

17、x) y在定义域内有解的y的取值范围.如果此方程是关于 x的二次方程，则方程有解的充要条件就是判别式的方法，我们叫做“判别式法”.一般地，二次分式函数 y為 x2 Qx ca2x2 b2x g0，由此求出函数的值域.这种求函数值域 a12 a2 0，常化为关于x的二次方程，然后根据方程有解的条件，利用判别式法求解。2思考4 :如何求函数y 2x 2 x -的值域?x2 1注意：如果分子分母可约，一般不采用判别式法，而是转化为型如 y 坐卫a 0的ax b函数求值域.例4:求函数y x 1 x的值域.分析：本题中所给函数是无理函数， 一般应考虑有理化. 你是否试图通过移项平方来实处理时要特别细心

18、.能否通施？这样做往往会使函数的定义域扩大， 从而影响函数的值域，过其他方法来实现有理化呢？换元！是我们常用的手段之一.1画出二次函数y t -25在0,4上的图象（如图）；y*I十、:可见，当t 0时y取得最大值1,所以原函数的值域是,1 R,指出：1.换元法是处理无理函数问题时常用的方法.2.本题中在得到关于t的二次函数后，由于其定义域不是1Oi2而是0,，这时应结合二次函数的图象观察得出结果.如果忽视了定义域问题，得出y,，那就错了！3.请你思考下面的问题： 引申：若关于x的方程x JX a有解，求常数a的取值范围.f x a何时有解等价于：当a取何值时，在函数f x 由函数值域的定义可

19、知，所求 a的取值范围就是函数,1 .设函数f x x 1 x,则方程 x与之对应.的值域， a的取值范围就是（三）巩固深化析的定义域中存在自变量f x1 .若函数yf X的定义域是1,3，则函数f x2的定义域是2.求函数yx 1 的值域.x 2x 3（四） 归纳小结1通过本课的学习，你学会了哪些知识?2具体解题时应注意哪些问题？（五） 布置作业1 .下列四个函数： yx 1; y2x1 :y3y巴.其中，定义域和x值域相同的是A.B.C.D .2 .有下列四个命题：1y 飞的值域是xy|y o ；x2 x R且 x 2的值域是.其中正确的值域是R;y x2 3x 1的值域是 y| y0命题

20、的个数是A. 1B.C. 3D. 4的值域是3.函数y2x-的值域是x 15.求下列函数的定义域：4 .若函数,0，则其定义域是求下列函数的值域:3 xy 1 2xx 0 ;(2)已知函数f x的定义域为1,1 ,求函数1x -的定义域.4求下列函数的值域: y 2x 3 4x 13 ;(2) yxx2 2x 3.1.2 函数的表示法（1）解析法1.教学目标1.知识与技能（1） 明确函数的三种表示方法及其优点；（2） 明确函数解析式的意义，能根据条件求函数的解析式。2.过程与方法：通过具体实例，掌握求函数解析式的常见方法。3.情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透分类、转化等数学思想

21、方法。2.教学重点和难点教学重点：求函数解析式的常见方法。教学难点：能根据条件进行恰当分类，能准确注明函数的定义域。3.学法及教学用具1.学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2.教学用具：圆规、三角板、投影仪.4.教学思路（一） 创设情景前课学习了函数定义域、值域的求法，作业中还有哪些问题需要再一起共同讨论？回顾本节开头三个函数的例子，你觉得表示一个函数有哪些方法？（二） 探求新知1.函数的表示法函数有哪些表示方法？表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种三种方法各有何特点？解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值， 便于用解

22、析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域.列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）阅读课本例1：某种笔记本的单价是 5元，买x（x 1,2,3,4,5 ）个笔记本需要y元, 试用三种表示法表示函数 y f (x).2 求函数解析式的方法例1.根据下列条件，求函数 f x的解析式：已知f.xl x 2x，求fx ；已知f x是一次函数，且 f f x 9x 8，求f x ；已知 3f x 2f x 2x 5，求 fx .解：)设t x 1,则Jx t1, ft t1 2 t 1 t21/1x 1T ,f x2x1 x

23、1设fxaxb a0 ,则f f xaf xb a ax b ba2x ab b由aa2 9a 3,a 3xabb 9x8得或ab b8b 2b 4 fx3x2或fx3x4 .在3fx2 f x2x5中，以x换x 得 3 f x 2 fx 2x 5由，消去f x得fx2x 1 .指出：求解争析式的1方法较多：,关键是根据题目特点灵活进行选择,如本例中的3个小题分别采用了换元法、待定系数法和消元法.f x求函数解析式时，同时要注明函数的定义域. 在用换元法求解时，最后得到的f X的解析式中，自变量 x实际上是由t “换”来的，因此必须由t的范围来确定f x的定义域.例2 已知函数 f x满足f

24、x 1 x2 4 .x x求f x的解析式；求f x的定义域、值域.1析：本题若采用换元法，令t x -,则难以用t来表示出x,注意到x211 2f x x 2，从而 f x x 2.x x1为确定函数的定义域，必须求出 t x -的值域，可考虑用判别式法：x12由 t x ，得：x tx 1 0 .x由 t 40 ,得t厔2或t 2 , f x的定义域是 ，2 U 2, ,又x24 , f x x2 22，即值域为 2, .指出：此题是先“配凑”再换元，要特别注意其定义域.例3 .设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数 x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),

25、 求f(x)的表达式。2分析：只需令y x，可得f x x x 1。指出：本题采用了赋值法。例4 .某地的出租车按如下方法收费：在 3km以内(含3km )的路程按起步价7元收 费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.试写出以行车里程 x(km)为自变量，车费y(元)为 函数值的函数解析式。7,0 x 3 7,0 x 3答案：y7 2.4 x 3 ,x 3 2.4x 0.2, x 3评此题所涉及的函数为分段函数，需分情况讨论.(3)巩固深化1.根据下列条件求函数的解析式：X 1 1 2 1 1 f ( ) x; f(x -) x , f(x); f (x) 2f() x, f(x).x

26、x x x2为配合客户不同需要，某电信公司有 A、B两种优惠计划供客户选择：计划A计划B服务项目即时直接通话+自动数字传呼基本月租费50元98元免费通过时间首60分钟首300分钟以后每分钟收费0.40 元0.40 元请根据上面提供的信息，解答下列问题：通话时间超过多少分钟时，计划 B比计划A更省钱？若用户决定选择计划 B,则通话多少时间可比选择计划 A便宜得最多？最多便宜多少钱？通过以上研究你觉得应如何选择优惠计划？析：先根据题意，分别求出 A、B两计划付费金额关于通话时间的函数解析式，通过计 算它们之间的差值，再作出回答.解：设A、B两计划付费金额关于通话时间 x (分钟)的函数分别为 f

27、x和g x ,依题意：f x50,0.4 x600 剟 x 6050 0.4x 26, x 60 ，98,0 剟 x 300g x0.4 x30098 0.4x 22, x 30048,0 剟 x 60y f xg x0.4x72,60 300易见，当0剟x60 ,f x g x ;当 60 gx 即 0.4x 72 0 得 x 180 ；当 x 300 时，fx gx .当通话时间超过180分钟，计划B比计划A更省钱.由，当 180 300 时，y 48 .当通话时间在300分钟以上时，计划 B比计划A便宜得最多，最多便宜 48元钱.通过以上研究，若通话时间在 180分钟以内，则选择计划 A;若通话时间超过 180分钟，则选择计划 B.(4)归纳小结(1)理解函数的三种表示方法及其特点，注意分段函数的表示方法。(2)能根据条件特征选择适当方法求函数的解析式。(5)承上启下(1) 作业：课课练第3、4课时。(2)下节课我们一起学习函数的另外两种表示法。.1.2 函数的表示法一一列表法与图象法1.教学目标1 知识与技能掌握函数图象的画法；了解列表法是函数的一种表示，能根据表中信息抽象函数关系，解决实际问题。2.过程与方法：通过具体实例，能根据函数解析式描绘函数的图象。能根据题目要求，灵活选用函数的表示法，提高解决实际问题的能力。3