机械振动.docx

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机械振动

机械振动

【知识点梳理】

知识点一：

简谐运动

1.概念

质点的位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数的规律，即它的振动图象（x－t图象）是一条正弦（或余弦）曲线．

2．简谐运动的表达式

（1）动力学表达式：

F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．

（2）运动学表达式：

x＝Asinωt，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢．

3．回复力

（1）定义：

使物体返回到平衡位置的力．

（2）方向：

时刻指向平衡位置．

（3）来源：

振动物体所受的沿振动方向的合力．

4．描述简谐运动的物理量

物理量

定义

意义

位移

由平衡位置指向质点所在位置的有向线段

描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移

振幅

振动物体离开平衡位置的最大距离

描述振动的强弱和能量

周期

振动物体完成一次全振动所需时间

频率

振动物体单位时间内完成全振动的次数

描述振动的快慢，两者互为倒数：

T＝

5.描述简谐运动的图象

图象

横轴

表示振动时间

纵轴

表示某时刻质点的位移

物理意义

表示振动质点的位移随时间的变化规律

例题1．如图12－1－1所示，物体A和B用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k.当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，则A振动的振幅为（　　）

图12－1－1

A.

　　　　　　　　　　B.

C.

D.

【解析】　物体A振动的平衡位置弹簧弹力和A物体重力相等．物体B将A拉至平衡位置以下最大位移Δx＝

处，故A振动的振幅为

，A正确．

【答案】　A

【拓展训练】

例题四：

如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。

现将重球（视为质点）从高于位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d.以下关于重球运动过程的正确说法应是（        ） 

A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。

B、重球下落至b处获得最大速度。

C、重球下落至d处获得最大加速度。

D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。

解析：

重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加

速度增大的减速运动。

所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。

C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。

重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a,,使ab=a,b,根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a,

的加速度大小相等，方向相反，如图所示。

而在d点的加速度大于在a,

点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。

知识点二：

受迫振动和共振

1.受迫振动

（1）概念：

振动系统在周期性驱动力作用下的振动．

（2）特点：

物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体自身的固有频率无关．

2．共振

（1）现象：

当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大．

（2）条件：

驱动力的频率等于固有频率．

（3）特征：

共振时振幅最大．

（4）共振曲线：

如图12－1－2所示．

图12－1－2

例题2．下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则（　　）

驱动力频率/Hz

30

40

50

60

70

80

受迫振动振幅/cm

10.2

16.8

27.2

28.1

16.5

8.3

A.f固＝60HzB．60Hz＜f固＜70Hz

C．50Hz＜f固＜60HzD．以上三项都不对

【解析】　

从图所示的共振曲线，可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大．并从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢．比较各组数据知在f驱在50Hz～60Hz范围内时，振幅变化最小，因此，50Hz＜f固＜60Hz，即C选项正确．

【答案】　C

【拓展训练

】一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。

当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将：

（）

A．逐渐增大

B．先逐渐减小后逐渐增大； 

C．逐渐减小

D．先逐渐增大后逐渐减小

解析：

此题可以由受迫振动的共振曲线图来判断。

受迫振动中物体振幅的大小和驱动力频率与系统固有频率之差有关。

驱动力的频率越接近系统的固有频率，驱动力与固有频率的差值越小，作受迫振动的振子的振幅就越大。

当外加驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。

由共振曲线可以看出，当驱动力的频率小于该物体的固有频率时，增大驱动力频率，振幅增大，直到驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。

在此之后若再增大驱动力频率，则振动物体的振幅减小。

所以本题的正确答案为D。

【考点分析】

考点1：

简谐运动模型及规律

1.简谐运动的两种模型

　　　　模型

比较项目　　　

弹簧振子

单摆

模型示意图

特点

（1）忽略摩擦力，弹簧对小球的弹力提供回复力

（2）弹簧的质量可忽略

（1）细线的质量、球的直径均可忽略

（2）摆角θ很小

（3）重力的切向分力提供回复力

公式

回复力

F＝－kx

（1）回复力

F＝－

x

（2）周期

T＝2π

2.简谐运动的运动规律：

x＝Asinωt

（1）变化规律

位移增大时

（2）对称规律

①做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系、另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反．

②振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如tBC＝tB′C′，如图12－1－3所示．

图12－1－3

点拨：

（1）简谐运动具有往复性，位移相同时，回复力、加速度、动能和势能等可以确定，但速度可能有两个方向．

（2）简谐运动具有周期性和对称性特点，往往会出现多解问题．

例题1.　

图12－1－4

一个质点在平衡位置O点附近做机械振动．若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点（如图12－1－4所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间是（　　）

A．8s　　　　B．4s　　　　C．14s　　　　D.

s

【解析】　设图中a、b两点为质点振动过程的最大位移处，若开始计时时刻，质点从O点向右运动，O→M过程历时3s，M→b→M运动过程历时2s，显然，

＝4s，T＝16s．质点第三次经过M点还需要的时间Δt3＝T－2s＝（16－2）s＝14s，故选项C正确．

若开始计时时刻，质点从O点向左运动，O→a→O→M运动过程历时3s，M→b→M运动过程历时2s，显然，

＋

＝4s，T＝

s．质点第三次经过M点还需要的时间Δt′3＝T－2s＝（

－2）s＝

s，故选项D正确．

综上所述，该题的正确答案是C、D.

【答案】　CD

【拓展训练】固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5°，末端切线水平。

两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：

ta＿＿tb，Ea＿＿2Eb。

解析：

两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以ta=tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea>2Eb。

考点2：

简谐运动的图像和应用

1.对简谐运动图象的认识

（1）简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图12－1－5所示．

图12－1－5

（2）图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹．

（3）任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小．正负表示速度的方向，正时沿x正方向，负时沿x负方向．

2．图象信息

（1）由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期．

（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．

（3）可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．

①回复力和加速度的方向：

因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴．

②速度的方向：

速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判断，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴．

例题2.一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是（　　）

【解析】　根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝

＝－

x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．

【答案】　A

【拓展训练】劲度系数为20N／cm的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻

A．振子所受的弹力大小为0．5N，方向指向x轴的负方向

B．振子的速度方向指向x轴的正方向

C．在0～4s内振子作了1．75次全振动

D。

在0～4s内振子通过的路程为0．35cm，位移为0

解析：

由图可知A在t轴上方，位移x＝0．25cm，所以弹力F＝－kx＝－5N，即弹力大小为5N，方向指向x轴负方向，选项A不正确；由图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确．由图可看出，t＝0、t＝4s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在0～4s内完成两次全振动，选项C错误．由于t＝0时刻和t＝4s时刻振子都在最大位移处，所以在0～4s内振子的位移为零，又由于振幅为0．5cm，在0～4s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为2×4×0．50cm＝4cm，故选项D错误．

综上所述，该题的正确选项为B．

考点3：

受迫振动和共振

自由振动、受迫振动和共振的比较

自由振动

受迫振动

共振

受力情况

仅受回复力

周期性驱动力作用

周期性驱动力作用

振动周期

或频率

由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率

由驱动力的周

期或频率决定，

即T＝T驱

或f＝f驱

T驱＝T固

或f驱＝f固

振动能量

振动物体的机械能不变

由产生驱动力

的物体提供

振动物体获得的能量最大

常见例子

弹簧振子或单摆（θ＜5°）

机械工作时底

座发生的振动

共振筛、转速计等

例题3.如图12－1－6所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8Hz，乙弹簧振子的固有频率为72Hz，当支架受到竖直方向且频率为9Hz的驱动力作用做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是（　　）

图12－1－6

A．甲的振幅较大，且振动频率为8Hz

B．甲的振幅较大，且振动频率为9Hz

C．乙的振幅较大，且振动频率为9Hz

D．乙的振幅较大，且振动频率为72Hz

【解析】　据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，因为甲的固有频率接近驱动力的频率，做受迫振动物体的频率等于驱动力的频率，所以B选项正确．

【答案】　B

【拓展训练】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。

下列说法中正确的有：

（）

A．各摆的振动周期与a摆相同B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大

C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长D．各摆均做自由振动

解析：

a摆做的是自由振动，周期就等于a摆的固有周期，其余各摆均做受迫振动，所以振动周期均与a摆相同。

c摆与a摆的摆长相同，所以c摆所受驱动力的频率与其固有频率相等，这样c摆产生共振，故c摆的振幅最大。

此题正确答案为A、B。

考点4：

实验—用单摆测定重力加速度

1.实验原理

单摆在偏角很小（小于5°）时的摆动，可看成简谐运动，其固有周期T＝2π

，可得g＝

，通过实验方法测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度．

2．实验步骤

（1）组成单摆．实验器材有：

带有铁夹的铁架台，中心有孔的小钢球，约1m长的细线．在细线的一端打一个比小钢球的孔径稍大些的结，将细线穿过小钢球上的小孔，制成一个单摆；将单摆固定在带铁夹的铁架台上，使小钢球自由下垂．

（2）测摆长．实验器材有：

毫米刻度尺和游标卡尺．让摆球处于自由下垂状态时，用刻度尺量出悬线长l线，用游标卡尺测出摆球的直径（2r），则摆长为l＝l线＋r.

（3）测周期．实验仪器有：

秒表．把摆球拉离平衡位置一个小角度（小于5°），使单摆在竖直面内摆动，测量其完成全振动30次（或50次）所用的时间，求出完成一次全振动所用的平均时间，即为周期T.

（4）求重力加速度．将l和T代入g＝4π2l/T2，求g的值；变更摆长3次，重新测量每次的摆长和周期，再取重力加速度的平均值，即得本地的重力加速度．

3．数据处理

（1）平均值法：

用g＝（g1＋g2＋g3＋g4＋g5＋g6）/6求出重力加速度．

（2）图象法

图12－1－7

由单摆的周期公式T＝2π

可得l＝

T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的l－T2图象是一条过原点的直线，如图12－1－7所示，求出斜率k，即可求出g值．g＝4π2k，k＝

＝

.

例题4.某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：

（1）用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图12－1－8所示，则该摆球的直径为________cm.

图12－1－8

（2）小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是（　　）

A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时

B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为

C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大

D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小

【解析】　

（1）游标卡尺读数为0.9cm＋7×0.1mm＝0.97cm.

（2）单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”则周期T＝

，若第一次过平衡位置计为“1”则周期T＝

，B错误；由T＝2π

得g＝

，其中L为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D错误．

【答案】　

（1）0.97（0.96、0.98均可）　

（2）C

【拓展训练】

【针对训练】

1．一质点做简谐运动的图象如图12－1－9所示，下列说法正确的是（　　）

图12－1－9

A．质点振动频率是4Hz

B．在10s内质点经过的路程是20cm

C．第4s末质点的速度为零

D．在t＝1s和t＝3s两时刻，质点位移大小相等、方向相同

【解析】　振动图象表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移，由图象可看出，质点运动的周期T＝4s，其频率f＝

＝0.25Hz；10s内质点运动了

T，其运动路程为s＝

×4A＝

×4×2cm＝20cm；第4s末质点在平衡位置，其速度最大；t＝1s和t＝3s两时刻，由图象可看出，位移大小相等，方向相反．由以上分析可知，B选项正确．

【答案】　B

2.

图12－1－10

装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图12－1－10所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是（　　）

【解析】　试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.

【答案】　D

3．铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过钢轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为12.6m，列车固有振动周期为0.315s．下列说法正确的是（　　）

A．列车的危险速率为20m/s

B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象

C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的

D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行

【解析】　列车在钢轨上运动时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，当列车固有振动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时，列车振动的振幅最大，因v＝

＝

＝40m/s，故A错误；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力频率远小于桥梁固有频率，防止桥发生共振现象，而不是列车发生共振现象，B错，C错；增加钢轨的长度有利于列车高速运行，D对．

【答案】　D

4．某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f.若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是________（填入选项前的字母，有填错的不得分）

A．当f＜f0时，该振动系统的振幅随f增大而减小

B．当f＞f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大

C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0

D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f

【解析】　受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化规律如图所示，显然A错，B对．稳定时系统的频率等于驱动力的频率，即C错，D对．

【答案】　BD

5．如图12－1－11所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是（　　）

图12－1－11

A．甲、乙两单摆的摆长相等

B．甲摆的振幅比乙摆大

C．甲摆的机械能比乙摆大

D．在t＝0.5s时有正向最大加速度的是乙摆

【解析】　振幅可从题图上看出甲摆振幅大，故B对．且两摆周期相等，则摆长相等，因质量关系不明确，无法比较机械能．t＝0.5s时乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，所以正确答案为A、B、D.

【答案】　ABD

6．一质点做简谐运动的振动图象如图12－1－12所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段是（　　）

图12－1－12

A．0～0.3s　　　　　　　B．0.3s～0.6s

C．0.6s～0.9sD．0.9s～1.2s

【解析】　质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同，与位移方向相反，总是指向平衡位置；位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反，故位移减小时加速度与速度方向相同．故B、D正确．

【答案】　BD

7.

图12－1－13

一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图12－1－13所示．

（1）求t＝0.25×10－2s时的位移；

（2）在t＝1.5×10－2s到2×10－2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？

（3）在t＝0至8.5×10－2s时间内，质点的路程多大？

【解析】　

（1）由图可知A＝2cm，T＝2×10－2s，振动方程为

x＝Asin（ωt－

）＝－Acosωt＝－2cos

tcm＝－2cos（102πt）cm

当t＝0.25×10－2s时x＝－2cos

cm＝－

cm.

（2）由图可知在1.5×10－2s～2×10－2s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．

（3）从t＝0至8.5×10－2s的时间内质点的路程为s＝17A＝34cm.

【答案】　

（1）－

cm

（2）位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大

（3）34cm

8．简谐运动的振动图线可用下述方法画出：

如图12－1－14甲所示，在弹簧振子的小球上安装一枝绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图12－1－14乙所示．

甲　　　　　　　　　乙

图12－1－14

（1）为什么必须匀速拖动纸带？

（2）刚开始计时时，振子处在什么位置？

t＝17s时振子相对平衡位置的位移是多少？

（3）若纸带运动的速度为2cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是多少？

（4）振子在__________s末负方向速度最大；在__________s末正方向加速度最大；2.5s时振子正在向__________方向运动．

（5）写出振子的振动方程．

【解析】　

（1）纸带匀速运动时，由x＝vt知，位移与时间成正比，因此在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间．

（2）由图乙可知t＝0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T＝4s，t＝17s时位移为零．

（3）由x＝vt，所以1、3间距x＝2cm/s×2s＝4cm.

（4）3s末负方向速度最大；加速度方向总是指向平衡位置，所以t＝0或t＝4s时正方向加速度最大；t＝2.5s时，向－x方向运动．

（5）x＝10sin（

t－

）cm.

【答案】　

（1）在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间

（2）左侧最大位移　零

（3）4cm　（4）3　0或4　－x

（5）x＝10sin（

t－

）cm

9．将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物体．将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期．请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T.

【解析】　单摆周期公式T＝2π

，且kl＝mg

解得T＝2π

.

【答案】　T＝2π

简谐运动的图象专项练习

1．一质点做简谐运动的振动图象如下图所示，由图可知t=4s时质点（）

A．速度为正的最大值，加速度为零

B．速度为零，加速度为负的最大值

C．位移为正的最大值，动能为最小

D．位移为正的最大值，动能为最大

2．如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度v、加速度a的大小的变化情况为（）

A．v变大，a变小B．v变小，a变小

C．v变大，a变小D．v变小，a变大

3．某质点做简谐运动其图象如下图所示，质点在t=3.5s时，速度v、加速度α的方向应为（）

A．v为正，a为负B．v为负，a为正

C．v、a都为正D．v、a都为负

4．如下图所示的简谐运动图象中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为（）

A．加速度B．位移C．速度D．回复力

5．如下图所示为质点P在0～4s内的振动图象，下列说法中正确的是（）

A．再过1s，该质点的位移是正的最大B．再过1s，该质点的速度方向向上

C．再过1s，该质点的加速度方向向上D．再过1s，该质点的加速度最大

 6．一质点作简谐运动的图象如下图所示，