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1、机械振动机械振动【知识点梳理】知识点一：简谐运动1.概念质点的位移与时间的关系遵从正弦(或余弦)函数的规律，即它的振动图象(xt图象)是一条正弦(或余弦)曲线2简谐运动的表达式(1)动力学表达式：Fkx，其中“”表示回复力与位移的方向相反(2)运动学表达式：xAsin t，其中A代表振幅，2f表示简谐运动的快慢3回复力(1)定义：使物体返回到平衡位置的力(2)方向：时刻指向平衡位置(3)来源：振动物体所受的沿振动方向的合力4描述简谐运动的物理量物理量定义意义位移由平衡位置指向质点所在位置的有向线段描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移振幅振动物体离开平衡位置的最大距离描述振动的强弱和能

2、量周期振动物体完成一次全振动所需时间频率振动物体单位时间内完成全振动的次数描述振动的快慢，两者互为倒数：T5.描述简谐运动的图象图象横轴表示振动时间纵轴表示某时刻质点的位移物理意义表示振动质点的位移随时间的变化规律例题1如图1211所示，物体A和B用轻绳相连，挂在轻弹簧下静止不动，A的质量为m，B的质量为M，弹簧的劲度系数为k.当连接A、B的绳突然断开后，物体A将在竖直方向上做简谐运动，则A振动的振幅为()图1211A.B. C. D. 【解析】物体A振动的平衡位置弹簧弹力和A物体重力相等物体B将A拉至平衡位置以下最大位移x处，故A振动的振幅为，A正确【答案】A【拓展训练】例题四：如图所示，一

3、轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现将重球（视为质点）从高于位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d.以下关于重球运动过程的正确说法应是（）A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。B、重球下落至b处获得最大速度。C、重球下落至d处获得最大加速度。D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。解析：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力

4、和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a,使ab=a,b,根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a,的加速度大小相等，方向相反，如图所示。而在d点的加速度大于在a,点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。知识点二：受迫振动和共振1.受迫振动(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动(2)特点：物体做受迫

5、振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体自身的固有频率无关2共振(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大(2)条件：驱动力的频率等于固有频率(3)特征：共振时振幅最大(4)共振曲线：如图1212所示图1212例题2下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为f固，则()驱动力频率/Hz304050607080受迫振动振幅/cm10.216.827.228.116.58.3A.f固60 Hz B60 Hzf固70 HzC50 Hzf固60 Hz D以上三项都不对【解析】从图所示的共振曲线，可判断出f驱与f固相差越大，受迫振动的振幅越

6、小；f驱与f固越接近，受迫振动的振幅越大并从中看出f驱越接近f固，振幅的变化越慢比较各组数据知在f驱在50 Hz60 Hz范围内时，振幅变化最小，因此，50 Hzf固60 Hz，即C选项正确【答案】C【拓展训练】一物体做受迫振动，驱动力的频率小于该物体的固有频率。当驱动力的频率逐渐增大时，该物体的振幅将：（ ）A逐渐增大B先逐渐减小后逐渐增大；C逐渐减小D先逐渐增大后逐渐减小解析：此题可以由受迫振动的共振曲线图来判断。受迫振动中物体振幅的大小和驱动力频率与系统固有频率之差有关。驱动力的频率越接近系统的固有频率，驱动力与固有频率的差值越小，作受迫振动的振子的振幅就越大。当外加驱动力频率等于系统固

7、有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。 由共振曲线可以看出，当驱动力的频率小于该物体的固有频率时，增大驱动力频率，振幅增大，直到驱动力频率等于系统固有频率时，振动物体发生共振，振幅最大。在此之后若再增大驱动力频率，则振动物体的振幅减小。所以本题的正确答案为D。【考点分析】 考点1：简谐运动模型及规律 1.简谐运动的两种模型模型比较项目弹簧振子单摆模型示意图特点(1)忽略摩擦力，弹簧对小球的弹力提供回复力(2)弹簧的质量可忽略(1)细线的质量、球的直径均可忽略(2)摆角很小(3)重力的切向分力提供回复力公式回复力Fkx(1)回复力Fx(2)周期T22.简谐运动的运动规律：xAsin t(1)变化

8、规律位移增大时(2)对称规律做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系、另外速度的大小、动能具有对称性，速度的方向可能相同或相反振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBCtCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如tBCtBC，如图1213所示图1213点拨：(1)简谐运动具有往复性，位移相同时，回复力、加速度、动能和势能等可以确定，但速度可能有两个方向(2)简谐运动具有周期性和对称性特点，往往会出现多解问题例题1.图1214一个质点在平衡位置O点附近做机械振动若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点(如图1214所示)；再继

9、续运动，又经过2 s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点还需要的时间是()A8 sB4 sC14 sD. s【解析】设图中a、b两点为质点振动过程的最大位移处，若开始计时时刻，质点从O点向右运动，OM过程历时3 s，MbM运动过程历时2 s，显然，4 s，T16 s质点第三次经过M点还需要的时间t3T2 s(162) s14 s，故选项C正确若开始计时时刻，质点从O点向左运动，OaOM运动过程历时3 s，MbM运动过程历时2 s，显然，4 s，Ts质点第三次经过M点还需要的时间t3T2 s(2) ss，故选项D正确综上所述，该题的正确答案是C、D.【答案】CD【拓展训练】固定圆弧轨道弧AB

10、所含度数小于5，末端切线水平。两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：tatb，Ea2Eb。解析：两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以ta= tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea2Eb。考点2：简谐运动的图像和应用 1.对简谐运动图象的认识(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图1215所示图1215(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹(3)任一时刻图线上过该点切线的斜率数值表示该时刻振子的速度大小正负表

11、示速度的方向，正时沿x正方向，负时沿x负方向2图象信息(1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期(2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移(3)可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向回复力和加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判断，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴例题2.一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度能正确反映振子位移x与时间

12、t关系的图像是()【解析】根据Fkx及牛顿第二定律得ax，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误【答案】A【拓展训练】劲度系数为20Ncm的弹簧振子，它的振动图象如图所示，在图中A点对应的时刻A 振子所受的弹力大小为05N，方向指向x轴的负方向B振子的速度方向指向x轴的正方向C 在04s内振子作了175次全振动D。在04s内振子通过的路程为035cm，位移为0解析：由图可知A在t轴上方，位移x025cm，所以弹力Fkx5N，即弹力大小为5N，方向指向x轴负方向，选项A不正确；由图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于9

13、0，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，选项B正确 由图可看出，t0、t4s时刻振子的位移都是最大，且都在t轴的上方，在04s内完成两次全振动，选项C错误由于t0时刻和t4s时刻振子都在最大位移处，所以在04s内振子的位移为零，又由于振幅为05cm，在04s内振子完成了2次全振动，所以在这段时间内振子通过的路程为24050cm4cm，故选项D错误综上所述，该题的正确选项为B考点3：受迫振动和共振自由振动、受迫振动和共振的比较自由振动受迫振动共振受力情况仅受回复力周期性驱动力作用周期性驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率由驱动力的周期或频率决定，即TT驱

14、或ff驱T驱T固或f驱f固振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(5)机械工作时底座发生的振动共振筛、转速计等例题3.如图1216所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频率为8 Hz，乙弹簧振子的固有频率为72 Hz，当支架受到竖直方向且频率为9 Hz的驱动力作用做受迫振动时，两个弹簧振子的振动情况是()图1216A甲的振幅较大，且振动频率为8 HzB甲的振幅较大，且振动频率为9 HzC乙的振幅较大，且振动频率为9 HzD乙的振幅较大，且振动频率为72 Hz【解析】据受迫振动发生共振的条件可知甲的振幅较大，因为甲的固有频

15、率接近驱动力的频率，做受迫振动物体的频率等于驱动力的频率，所以B选项正确【答案】B【拓展训练】如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有 a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。下列说法中正确的有：（ ）A各摆的振动周期与a摆相同 B各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大C各摆的振动周期不同，c摆的周期最长 D各摆均做自由振动解析：a摆做的是自由振动，周期就等于a摆的固有周期，其余各摆均做受迫振动，所以振动周期均与a摆相同。 c摆与a摆的摆长相同，所以c摆所受驱动力的频率与其固有频率相等，这样c摆产生共振，故c摆的振幅最大。此题正确

16、答案为A、B。考点4：实验用单摆测定重力加速度1.实验原理单摆在偏角很小(小于5)时的摆动，可看成简谐运动，其固有周期T2，可得g，通过实验方法测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度2实验步骤(1)组成单摆实验器材有：带有铁夹的铁架台，中心有孔的小钢球，约1 m长的细线在细线的一端打一个比小钢球的孔径稍大些的结，将细线穿过小钢球上的小孔，制成一个单摆；将单摆固定在带铁夹的铁架台上，使小钢球自由下垂(2)测摆长实验器材有：毫米刻度尺和游标卡尺让摆球处于自由下垂状态时，用刻度尺量出悬线长l线，用游标卡尺测出摆球的直径(2r)，则摆长为ll线r.(3)测周期实验仪器有：秒表把摆球拉离平衡位

17、置一个小角度(小于5)，使单摆在竖直面内摆动，测量其完成全振动30次(或50次)所用的时间，求出完成一次全振动所用的平均时间，即为周期T.(4)求重力加速度将l和T代入g42l/T2，求g的值；变更摆长3次，重新测量每次的摆长和周期，再取重力加速度的平均值，即得本地的重力加速度3数据处理(1)平均值法：用g(g1g2g3g4g5g6)/6求出重力加速度(2)图象法图1217由单摆的周期公式T2可得lT2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的lT2图象是一条过原点的直线，如图1217所示，求出斜率k，即可求出g值g42k，k.例题4.某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：(1)用游标

18、卡尺测定摆球的直径，测量结果如图1218所示，则该摆球的直径为_cm.图1218(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是()A把单摆从平衡位置拉开30的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为C用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小【解析】(1)游标卡尺读数为0.9 cm70.1 mm0.97 cm.(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5，并从平衡位置计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”则周期T，若第一次过平衡位置计为“1”则周期T，B错误；

19、由T2得g，其中L为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D错误【答案】(1)0.97(0.96、0.98均可)(2)C 【拓展训练】【针对训练】1一质点做简谐运动的图象如图1219所示，下列说法正确的是()图1219A质点振动频率是4 HzB在10 s内质点经过的路程是20 cmC第4 s末质点的速度为零D在t1 s和t3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同【解析】振动图象表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移，由图象可看出，质点运动的周期T4 s，其频率f0.25 Hz；10

20、 s内质点运动了T，其运动路程为s4A42 cm20 cm；第4 s末质点在平衡位置，其速度最大；t1 s和t3 s两时刻，由图象可看出，位移大小相等，方向相反由以上分析可知，B选项正确【答案】B2.图12110装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图12110所示，将试管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是()【解析】试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.【答案】D3铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都

21、必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过钢轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动普通钢轨长为12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s下列说法正确的是()A列车的危险速率为20 m/sB列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象C列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的D增加钢轨的长度有利于列车高速运行【解析】列车在钢轨上运动时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，当列车固有振动频率等于钢轨对它的冲击力的频率时，列车振动的振幅最大，因v40 m/s，故A错误；列车过桥做减速运动，是为了使驱动力频率远小于桥梁固有频率

22、，防止桥发生共振现象，而不是列车发生共振现象，B错，C错；增加钢轨的长度有利于列车高速运行，D对【答案】D4某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f.若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是_(填入选项前的字母，有填错的不得分)A当ff0时，该振动系统的振幅随f增大而减小B当ff0时，该振动系统的振幅随f减小而增大C该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0D该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f【解析】受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化规律如图所示，显然A错，B对稳定时系统的频率等于驱动力的频率，即C错，D对【答案】BD5如图12111所示为同一地点的

23、两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是()图12111A甲、乙两单摆的摆长相等B甲摆的振幅比乙摆大C甲摆的机械能比乙摆大D在t0.5 s时有正向最大加速度的是乙摆【解析】振幅可从题图上看出甲摆振幅大，故B对且两摆周期相等，则摆长相等，因质量关系不明确，无法比较机械能t0.5 s时乙摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度，所以正确答案为A、B、D.【答案】ABD6一质点做简谐运动的振动图象如图12112所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段是()图12112A00.3 sB0.3 s0.6 sC0.6 s0.9 s D0.9 s1.2 s【解析】质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同

24、，与位移方向相反，总是指向平衡位置；位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反，故位移减小时加速度与速度方向相同故B、D正确【答案】BD7.图12113一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图12113所示(1)求t0.25102 s时的位移；(2)在t1.5102 s到2102 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？(3)在t0至8.5102 s时间内，质点的路程多大？【解析】(1)由图可知A2 cm，T2102 s，振动方程为xAsin(t)Acos t2cost cm2cos(102t) cm当t0.25102 s时x2cos cmcm.(2)由图可

25、知在1.5102 s2102 s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大(3)从t0至8.5102 s的时间内质点的路程为s17A34 cm.【答案】(1)cm(2)位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大(3)34 cm8简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图12114甲所示，在弹簧振子的小球上安装一枝绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图象取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图12114乙所示甲乙图12114(1)为什么必须匀速拖动纸带？(2)刚开始

26、计时时，振子处在什么位置？t17 s时振子相对平衡位置的位移是多少？(3)若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是多少？(4)振子在_s末负方向速度最大；在_s末正方向加速度最大；2.5 s时振子正在向_方向运动(5)写出振子的振动方程【解析】(1)纸带匀速运动时，由xvt知，位移与时间成正比，因此在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间(2)由图乙可知t0时，振子在平衡位置左侧最大位移处；周期T4 s，t17 s时位移为零(3)由xvt，所以1、3间距x2 cm/s2 s4 cm.(4)3 s末负方向速度最大；加速度方向总是指向平衡位置，所以t0或t4 s时正方向加速

27、度最大；t2.5 s时，向x方向运动(5)x10sin(t) cm.【答案】(1)在匀速条件下，可以用纸带通过的位移表示时间(2)左侧最大位移零(3)4 cm(4)30或4x(5)x10sin(t) cm9将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物体将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T.【解析】单摆周期公式T2，且klmg解得T2.【答案】T2简谐运动的图象专项练习1一质点做简谐运动的振动图象如下图所示，由图可知t=4s时质点（ ）A速度为正的最大值，加速度为零

28、B速度为零，加速度为负的最大值C位移为正的最大值，动能为最小D位移为正的最大值，动能为最大2如下图中，若质点在A对应的时刻，则其速度v、加速度a的大小的变化情况为（ ）Av变大，a变小 Bv变小，a变小Cv变大，a变小 Dv变小，a变大3某质点做简谐运动其图象如下图所示，质点在t=3.5s时，速度v、加速度的方向应为（ ）Av为正，a为负 Bv为负，a为正Cv、a都为正 Dv、a都为负4如下图所示的简谐运动图象中，在t1和t2时刻，运动质点相同的量为（ ）A加速度 B位移 C速度 D回复力5如下图所示为质点P在04s内的振动图象，下列说法中正确的是（ ）A再过1s，该质点的位移是正的最大 B再过1s，该质点的速度方向向上C再过1s，该质点的加速度方向向上 D再过1s，该质点的加速度最大6一质点作简谐运动的图象如下图所示，