解析 ab－（a＋b）＝（a－1）（b－1）－1，由a>2及b>2得a－1>1，b－1>1，则（a－1）（b－1）>1，所以，ab－（a＋b）>0，即ab>（a＋b），答案为A．
3.1.40 设a、b、c是互不相等的正数，给出下列三个不等式：
①|a－b|≤|a－c|＋|b－c|；
②a2＋≥a＋；
③<，
其中一定成立的有（ ）．
（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
解析 |a－b|＝|（a－c）＋（c－b）|≤|a－c|＋|b－c|；
－2＝·≥0；
（）－（）＝（）－（）＝，而>，于是，<，所以，<，
答案为D．
3.1.41 设a、b、c都是正数，则三个数a＋、b＋、c＋的值中（ ）．
（A）至少有一个不大于2（B）至少有一个不小于2
（D）都小于2（D）都大于2
解析 设a＋、b＋、c＋都小于2，则<6．
由a、b、c都是正数得≥2＋2＋2＝6，矛盾，所以，a＋、b＋、c＋中至少有一个不小于2，答案为B．
3.1.42 已知不等式（x＋y）≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）．
（A）8（B）6（C）4（D）2
解析 由x、y都是正数可得（x＋y）＝1＋a＋≥1＋a＋2，则应有≥9，解得a≥4，答案为C．
3.1.43 设a、b、c都是正数，求证：
ab（a＋b）＋bc（b＋c）＋ca（c＋a）≥6abc．
解析 a2＋b2≥2ab，又c>0，则ca2＋cb2≥2abc，同理ba2＋bc2≥2abc，ab2＋ac2≥2abc，于是ca2＋cb2＋ba2＋bc2＋ab2＋ac2≥6abc，即ab（a＋b）＋bc（b＋c）＋ca（c＋a）≥6abc．
3.1.44 设a、b、c都是正数，求证：
≥a＋b＋c．
解析 由a、b都是正数可得≥2，又c>0，则≥2c，同理≥2b，≥2a，所以≥a＋b＋c．
3.1.45 已知a、b、c、d∈R＋，求证：
a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd．
解析 a4＋b4≥2a2b2，c4＋d4≥2c2d2，又a2b2＋c2d2≥2abcd，所以a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd．
3.1.46 已知x、y、z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：
>8．
解析 左边＝，由x、y、z是互不相等的正数得x＋y>2，y＋z>2，z＋x>2，于是（x＋y）（y＋z）（z＋x）>8··＝8xyz>0，所以>8，即>8．
3.1.47 已知a、b、c是不全相等的正数且abc＝1，求证：
<．
解析 右边＝＝ab＋bc＋ca，而ab＋bc≥2＝2，同理bc＋ca≥2，ca＋ab≥2，由a、b、c是不全相等的正数得其中的三个等号不能同时成立，于是，（ab＋bc）＋（bc＋ca）＋（ca＋ab）>2（），所以，<．
3.1.48 若a>b>c，求证：
≥．
解析 ＝2＋．
由a>b>c得>0，a－c>0，则≥2＋2＝4，所以，≥．
3.1.49 对于正数a、b、c，求证：
≥．
解析
－3≥2＋2＋2－3＝3．
所以，≥．
3.1.50 已知a、b、c都是正数，求证：
≥（a＋b＋c）．
解析 由a、b都是正数得a2＋b2≥2ab，则2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2．
于是，≥，同理可得≥≥，所以，≥，即≥（a＋b＋c）．
3.1.51 已知正数a、b、c、d满足a＋b＋c＋d＝1，
求证：
≤4．
解析 由a是正数得2×≤4a＋1＋2，即2≤4a＋3，同理可得2≤4b＋3，2≤4c＋3，2≤4d＋3，其中等号分别在a＝b＝c＝d＝时成立．
则2≤4（a＋b＋c＋d）＋3×4＝16，
所以，≤4．
3.1.52 已知a2＋b2＝x2＋y2＝1，求证：
|ax＋by|≤1．
解析 1＝（a2＋b2）（x2＋y2）＝a2x2＋b2y2＋a2y2＋b2x2≥a2x2＋b2y2＋2abxy＝（ax＋by）2，所以|ax＋by|≤1．
3.1.53 已知x≥0，y≥0，求证：
（x＋y）2＋（x＋y）≥x＋y．
解析 由已知得（x＋y）≥≥0，x＋≥，y＋≥，于是x＋y＋≥≥0，所以（x＋y）≥（），即（x＋y）2＋（x＋y）≥x＋y．
3.1.54 已知x、y都是正数，且xy－x－y＝1，求证：
x＋y≥2＋2．
解析 由已知得y＝>0，又x是正数，于是x>1．x＋y＝x＋＝x－1＋＋2≥2＋2．
3.1.55 若实数x、y满足1≤x2＋y2≤2，求x2＋xy＋y2的取值范围．
解析 由xy≤（x2＋y2）得x2＋xy＋y2≤（x2＋y2）≤3．
由－xy≤（x2＋y2）得x2＋xy＋y2≥x2＋y2－（x2＋y2）＝（x2＋y2）≥．
所以，x2＋xy＋y2的取值范围是≤x2＋xy＋y2≤3．
3.1.56 若对一切实数x，不等式≥m均成立，求实数m的取值范围．
解析 ＝x2＋2＋－2≥2×2－2＝2．其中等号当x2＋2＝，即x2＝0时成立，所以m的取值范围是m≤2．
3.1.57 若0b－b2<．
解析 由已知得ab<1，（b－b2）（a＋1）－1＝ab（1－b）＋b－b2－1＝（ab－1）（1－b）－b2，若1－b>0，则（ab－1）（1－b）－b2<0，于是b－b2<；若b≥1，则b－b2＝b（1－b）≤0，而>0，于是也有b－b2<，所以，若03.1.58 已知a>b>0，求证：
>a．
解析 由a>b>0得－2ab<－2b2，则a2－b2>a2－2ab＋b2＝（a－b）2，于是，>a－b，即b>a－，2ab>2a2－2a，2ab－b2>a2－b2－2a＋a2＝，而a>，所以，>a－，即
>a．
3.1.59 设a、b、c是△ABC的三边，求证：
（a＋b＋c）2<4（ab＋bc＋ca）．
解析 由a、b、c是△ABC的三边得a于是，a2＋b2＋c2<2（ab＋bc＋ca），则a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）<4（ab＋bc＋ca）．
所以，（a＋b＋c）2<4（ab＋bc＋ca）．
3.1.60 已知实数a、b、c满足a＋b＋c＝0，求证：
ab＋bc＋ca≤0．
解析 由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．
则a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3（ab＋bc＋ca），于是，3（ab＋bc＋ca）≤（a＋b＋c）2＝0，即ab＋bc＋ca≤0．
3.1.61 若a、b、c、d满足a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：
a、b、c、d中必有一个是负数．
解析 设a、b、c、d都是非负实数，由a＋b＝1，c＋d＝1可得（a＋b）（c＋d）＝1，即ac＋ad＋bc＋bd＝1，由ac＋bd>1得bc＋ad<0，而由a、b、c、d都是非负实数可得bc＋ad≥0，矛盾，所以，a、b、c、d中必有一个是负数．
3.1.62 已知a、b、c都是正数，求证：
ab＋ac－a2≤0，bc＋ab－b2≤0，ca＋bc－c2≤0不能同时成立．
解析 假设结论不成立，则有b＋c－a≤0，c＋a－b≤0，a＋b－c≤0，则（b＋c－a）＋（c＋a－b）＋（a＋b－c）≤0，即a＋b＋c≤0，与a、b、c都是正数矛盾，所以，当a、b、c都是正数时，ab＋ac－a2≤0，bc＋ab－b2≤0，ca＋bc－c2≤0不能同时成立．
3.1.63 证明：
“三个实数a、b、c都是正数”的充要条件是“a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0”．
解析 必要性：
由a、b、c都是正数显然有a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0．
充分性：
由abc>0可得a、b、c或者全为正数，或者是两个负数及一个正数．
若a<0，b<0，c>0，则由c>－（a＋b）得c（a＋b）<－（a＋b）2，又ac＋bc>－ab，则－ab<－（a＋b）2．
于是，a2＋ab＋b2<0，而根据a<0和b<0可得a2＋ab＋b2>0，矛盾，所以，只能a、b、c都是正数．
3.1.64 已知x∈R，求证：
x6－x5＋x2－x＋1>0．
解析 若x≥1，则x6－x5＋x2－x＋1＝x5（x－1）＋x（x－1）＋1>0；
若00；
若x≤0，则x6－x5＋x2－x＋1>0，所以，对任意x∈R，都有x6－x5＋x2－x＋1>0．
3.1.65 设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c，方程f（x）－x＝0的两根x1、x2满足0（1）当x∈（0，x1）时，证明：
x（2）设函数f（x）的图象关于直线x＝x0对称，证明：
x0<．
解析
（1）由已知可得f（x）－x＝a（x－x1）（x－x2），则当x∈（0，x1）时，x－x1<0，而已知00，可得a（x－x1）（x－x2）>0，则f（x）>x．
而f（x）－x1＝f（x）－x＋x－x1＝a（x－x1）（x－x2）＋x－x
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