普通高等学校招生全国统一考试数学理山东卷试题及答案.docx

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普通高等学校招生全国统一考试数学理山东卷试题及答案

绝密★启用前

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

答案写在试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）.

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

（1）若复数z满足

其中i为虚数单位，则z=

（A）1+2i（B）1

2i（C）

（D）

（2）设集合

则

=

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：

小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是

，样本数据分组为

.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

（A）56（B）60

（C）120（D）140

（4）若变量x，y满足

则

的最大值是

（A）4（B）9（C）10（D）12

（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（7）函数f（x）=（

sinx+cosx）（

cosx–sinx）的最小正周期是

（A）

（B）π（C）

（D）2π

（8）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=

.若n⊥（tm+n），则实数t的值为

（A）4（B）–4（C）

（D）–

（9）已知函数f（x）的定义域为R.当x<0时，

；当

时，

；当

时，

.则f（6）=

（A）−2（B）−1（C）0（D）2

（10）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质.下列函数中具有T性质的是

（A）y=sinx（B）y=lnx（C）y=ex（D）y=x3

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.

（12）若（ax2+

）3的展开式中x3的系数是—80，则实数a=_______.

（13）已知双曲线E1：

（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.

（14）在

上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆

相交”发生的概率为.

（15）已知函数

其中

，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.

三、解答题：

本答题共6小题，共75分。

（16）（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（Ⅰ）证明：

a+b=2c;

（Ⅱ）求cosC的最小值.

17.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O

的直径，FB是圆台的一条母线.

（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：

GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=

AC=

AB=BC.求二面角

的余弦值.

（18）（本小题满分12分）

已知数列

的前n项和Sn=3n2+8n，

是等差数列，且

（Ⅰ）求数列

的通项公式；

（Ⅱ）另

求数列

的前n项和Tn.

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分。

已知甲每轮猜对的概率是

，乙每轮猜对的概率是

；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响。

各轮结果亦互不影响。

假设“星队”参加两轮活动，求：

（

）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（

）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX

（20）（本小题满分13分）

已知

.

（

）讨论

的单调性；

（

）当

时，证明

对于任意的

成立

（21）本小题满分14分）

平面直角坐标系

中，椭圆C：

 的离心率是

，抛物线E：

的焦点F是C的一个顶点。

（

）求椭圆C的方程；

（

）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线

与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

（

）求证：

点M在定直线上;

（

）直线

与y轴交于点G，记△PFG的面积为

，△PFG的面积为

，求

的最大值及取得最大值时点P的坐标.