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D题NBA赛程的分析与评价

2008年D题NBA赛程的分析与评价

时间:

2009-03-2609:

37来源:

竞赛组委会作者:

海航青岛郑巨议点击:

646次

本文主要以评价NBA赛程安排的利弊及找出其安排方法为研究对象，在研究过程中建立了评价模型和非线性0-1规划模型，利用了lingo编程求解。

　　                                                         NBA赛程的分析与评价

                                             海军航空工程学院（青岛）郑巨议高自华聂文婷曹华林指导

【摘要】

本文主要以评价NBA赛程安排的利弊及找出其安排方法为研究对象，在研究过程中建立了评价模型和非线性0-1规划模型，利用了lingo编程求解。

对于问题一，主要通过考虑赛程安排对球队体能、士气和精神的影响，从中找出分析赛程利弊的主要因素为：

相邻两场比赛间隔时间、比赛的主客场情况、比赛对手实力、比赛具体时间和两场比赛场地间距离。

将赛程转换为数字格式时，利用“目标---手段”分析法和极差处理法对影响赛程利弊的各因素分类进行量化处理，具体转换结果见问题一求解。

在给出评价赛程利弊的数量指标时，通过模糊决策方法，定义上述主要影响因素为评价赛程利弊的准则，并利用层次分析法确定各准则对目标的权重，从而建立判断赛程安排利弊的综合评价模型，对模型求解可以得到30支球队08-09赛季的有利场次数及平均有利程度，对两者统一量纲加权求和得到每支球队赛程安排的评价值，并定义其为评价赛程安排利弊的数量指标，其中评价值越大则赛程安排越有利，反之则越不利。

对于第二问，根据问题一求解出的数量指标，得到该赛季的赛程对火箭队较有利，其中2月和4月份的赛程对火箭队最有利，11月和3月的赛程最不利，且08-09赛季的赛程对尼克斯，超音速，小牛三支球队最有利，对国王，快船，开拓者三支球队最不利。

对于第三问，通过对同部不同区赛程安排的分析，从中发现规律：

同部15支球队赛三场和赛四场的对手实力平均值皆保持基本均衡。

据此给出选取赛3场球队的方法为：

选取时要使同部15支球队基本满足上述规律，并且每支球队都应与不同区的各2支球队进行赛三场的比赛，且每支球队赛3场的比赛场次数应等于12场。

在满足上述条件的同时还应满足选取与被选取的球队间赛程保持对应，并以所得规律为目标，建立非线性0-1规划模型，并利用lingo编程求解，从而对该方法付诸实现，结果见模型求解，通过对求解出的安排与题目给出的实际安排进行一致性比较，说明该方法与题目中给出的方法接近程度较大。

定义对手实力、有利场次数和比赛有利程度为评价选取方法的准则，从而给出对该方法的综合评价详见模型求解。

从各球队有利比赛场次数保持均衡考虑，给出了我们认为合适的选取方法，并利用上述准则进行了评价，详见文中。

关键词：

“目标---手段”分析法层次分析法极差处理模糊决策0-1规划

1问题重述

NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。

NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。

对于2008~2009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（北京时间）直到2009年4月16日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛。

对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。

这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：

1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。

2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。

试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。

这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。

2问题分析

题目中已经给出NBA30支球队2007年分部、分区的排名情况和2008~2009新赛季的常规赛的赛程，根据对2007年的30支球队分布、分区的排名和新赛季每支球队赛程的具体安排情况的研究，分析以下各个问题。

针对问题一：

编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，因为赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，所以分析一个赛程的利弊应该从每支球队每场比赛的间隔时间、主客场、是否跨区比赛、比赛的具体时间、对手的实力等因素考虑。

1）如果一支球队每场比赛的时间间隔太小，队员的体力就不能完全恢复，进行下一场比赛时将直接影响队员能力的发挥，所以一个合理的赛程应该使每支球队的间隔时间尽量大且各球队的间隔时间应尽量均衡。

2）每场比赛中球队的人气、对场地的适应等因素都会影响队员能力的发挥，在主场比赛的球队一般人气比较旺盛且对场地比较适应，所以更利于队员能力的发挥，客场则反之。

3）美国的国土面积广大，区、部之间的距离都比较远，如果跨区比赛队员在乘坐飞机的途中会消耗很多体力，所以跨区比赛不利于队员能力的发挥。

4）每场比赛的时间一般都安排在1—12点之间，但每场比赛的具体时间各不相同。

一天之内人体的亢奋时间和疲惫时间都有一定的规律，对于一般的人来说下午2—5点和晚上7—11点为身体的亢奋时间，其余时间为疲惫时间，所以比赛具体时间的安排也是影响队员能力发挥的一个重要因素。

5）每支球队的整体实力都各不相同，两支球队在比赛时双方实力的悬殊在一定程度上会影响比赛的结果。

针对问题二：

在问题一研究的基础上分析火箭队在新赛季中的82场比赛赛程安排总体的有利程度，其次还应该考虑具体到每个月的有利程度，因为82场中比赛每个月的场次数目、主客场情况、是否跨区、比赛时间间隔、比赛时间和对手实力都各不相同具体到每个月的赛程安排对火箭队的利弊更能反应出火箭队在新赛季战绩的具体情况。

根据问题一中对每支球队赛程安排的利弊情况的研究，进行综合处理再作比较，找出赛程安排对30支球队最有利和最不利的球队。

针对问题三：

对新赛季赛程安排的具体情况进行研究，可以发现每支球队与同部不同区的10支球队中的4支（其余两区每区中的两支）比赛3场与其余的球队比赛4场，根据赛程找出比赛3场的4支球队的实力以及本球队在12场比赛中的有利场次数、每场比赛的有利程度等进行研究分析，找出影响每支球队选取的赛3场的球队的主要因素，由此推断出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法并对该方法进行验证，再从15支球队对手实力的平均值、比赛的有利场次数、每场比赛的有利程度等方面的均衡性对该方法的可行性进行评价，最后根据对赛程的研究找出一种比较合适的选取赛3场的球队的方法并对该方法进行验证。

3模型假设

[1]不考虑跨区进行比赛时的时差对队员的影响；

[2]不考虑环境因素的影响；

[3]每场比赛都能按时进行。

4符号说明

——第个球队的实力情况；

——第场比赛的赛程安排对第支球队的有利程度；

——第支球队的实力与在的对手实力差值对应的标准值；

——第个队有利场次数；

——体现赛程安排利弊的因素；

——第支球队第场和第场比赛场地之间的距离对应的要素值；

——第个球队第场比赛与第场比赛之间相隔的时间；

5模型的建立与求解

5.1问题一

5.1.1模型的准备与分析

㈠局部分析

赛程安排在一定程度上影响了比赛球队的发挥，赛程安排对某一球队有利，则该队的成绩就有会相应提高；安排对某一球队不利，则会降低球队为原应达到的成绩。

赛程安排中主要影响因素为比赛时间、比赛场地的主、客场、比赛的对手实力、两场比赛场地之间距离情况。

因此从这4个方向进行分析，首先细化到每支参赛球队的每场比赛，建立综合评价模型，然后将得到的一个队的各场比赛的评价结果求和得到针对于该队82场赛程安排对其利弊情况，同样道理得到赛程安排对各个队的影响。

⑴比赛时间

①时间间隔

由于NBA是参赛球队众多的大型赛事，因此比赛时间安排的非常紧凑，在有限的时间内某个球队两场比赛之间间隔的时间越长，该队的休息、调整状态的时间越长，该安排对该队越有利。

通过观察附件1，发现每个球队的两场比赛之间间隔的场次一般为1到3天，时间间隔较短，同时比赛处于不同的时段，因此将时间具体到小时。

每队的本场比赛时间减去上场比赛的时间即为时间间隔，可以叙述为本队开始进行该场比赛时已经得到的休息时间。

②比赛时段

从人体生物学的角度考虑，在一天24小时中，14点到17点是人体细胞最活跃的时间段，在该时间段，人的兴奋度最高，容易处于亢奋状态，利于参加各个体育活动；19点到22点是人体细胞次活跃的时段，兴奋度略低于14点到17点，参加体育活动同样能够较好的发挥；23点以后，人体细胞进入休眠状态，兴奋度开始进入24小时的最低点，不适于参加各种体育活动。

因此进行比赛的具体时间同样关系到球队的发挥，如恰好在细胞活跃期参加比赛，则球队发挥的越好甚至出现超常发挥，在细胞休眠期参加比赛，可能会出现失常发挥的现象。

明确题目中给出的比赛时间为北京时间，由于比赛是在美国进行的，因此判断比赛时间是否处于人体细胞的活跃期，需要将北京时间转化为美国时间。

已知中美时差为12小时，以此为标准进行转化，得到进行比赛的美国时间。

综合以上两方面分析，明确从两场比赛之间间隔的时间和比赛的具体时间这两个方面考虑赛程安排的时间对参赛球队的影响。

⑵比赛场地主、客场

在比赛的过程中，如球队在其主场进行比赛，由于本土优势，不需要适应新的场地、气候差异，减少了适应时间可以集中精力训练、准备比赛。

同时该球队得到的支持多，相应的人气远远高于客场比赛的球队，有利于实力的发挥，甚至超水平的表现。

如在客场进行比赛，各种情况均不熟悉需要一一习惯，人气也相对较低。

因此当比赛为客场时，对该队不利；当比赛为主场时，对该队有利。

⑶对手实力

已知当比赛时，与实力强的球队进行比赛，首先在一定程度上气势就输于对手，在开始状态就被对手压制。

同时由于实力较弱，无法从对手的压制中走出，会越打越差，原有的实力也无法发挥出，因此安排实力强的对手进行比赛，该种安排对其不利，与实力弱的对手进行比赛时，这种安排是有利的。

由于在整个赛程中，每个球队与全美所有NBA球队（本队除外）都进行2到4场的比赛，因此需要明确对手在全部球队中的水平情况，根据附件2中给出数据，首先利用“目标---手段”分析法进行定性分析，得到能够反应实力的具体指标，然后进行层次分析法，得到各个指标的权重，最后利用所得权值将归一后的数据加权求和，将实力这一模糊的概念进行量化。

①“目标---手段”分析法

1.构造分析图

在附件2中，该数据给出的指标较多，指标之间存在一定的交叉性，为找出独立的、能够反应出实力的指标，利用目标-手段分析法，将要达到的目标—判断对手实力和所需要的手段按照系统展开，得到层次分明、相互联系有逐渐具体化的分层目标系统。

利用该分析法的目的是得到为实现判断对手实力这一目标，需要采取的手段即可以反应实力的因素，因此判断对手实力为一级目标。

已知在现实生活中，最能反应实力的就是成功，对于体育竞技人员就是比赛的胜利；得分反应了该队的进攻能力，失分反映论该队的防守能力，两者结合即体现了该队的综合实力，因此将球队的胜负、综合实力定为实现一级目标的一级手段即二级目标。

附件2中给出了参赛队全部比赛的胜负情况、胜率、主场战绩、客场战绩、分区战绩、分部战绩，这些情况均可以反应球队的胜负情况，主场战绩和客场战绩综合起来即为全部比赛的胜负情况，分区战绩与分部战绩综合起来亦为全部比赛的胜负情况，只是为了表示不同方面的战绩向不同的方向整理数据分别表示，其中无论是分区比赛还是分部比赛均分为主场、客场；主场分为与区内球队、区间球队、部间球队进行的比赛，同样客场也分为与这3种情况的球队进行的比赛。

说明全部比赛的胜负情况、胜率、主场战绩、客场战绩、分区战绩、分部战绩这些因素是相互联系、交叉存在的。

研究以上因素发现，胜率为球队取得胜利的场次占其进行全部比赛的场次的百分比，该数值能够体现出在不考虑任何客观情况下其取得胜利的比重，最直观的体现出该队的实力情况，因此认为胜率是实现二级目标球队的胜负的二级手段即三级目标之一。

分区战绩为在区内进行比赛的胜负情况，体现了在区内该队的实力，分部战绩体现了在部内的实力情况，由于需要得到参赛球队在全部比赛球队的实力状况，因此根据分区战绩和分部战绩和全部比赛的战绩得到跨部比赛的战绩，战绩是叙述为胜利的场次数和输掉的场次数，较为繁琐，将战绩转化为胜率，该百分比直接体现出在区内、部内、跨部的实力情况。

明确分区胜率、分部胜率、跨部胜率是实现二级目标球队的胜负的二级手段即三级目标之一。

主、客场战绩主要强调了在主客场上球队的胜负情况，由于区内、部内、跨部比赛均为主、客场两种比赛，所以在此考虑主客场战绩的意义不大，可以在判断对手实力时不计。

得分越多说明该队的进攻能力越强，失分越少说明该队的防守能力越强，由于判断球队的实力需要从进攻、防守两方面考虑综合能力，进攻能力强而且防守能力强说明该队的实力很强，即该队的得分多、失分少，得分与失分的差值即分差越大，通过分差体现了该队的综合实力，因此将分差设为实现二级目标综合实力的二级手段即三级目标之一。

综合以上分析，明确各级目标为：

●一级目标：

判断对手实力

●二级目标（一级手段）：

球队的胜负、综合实力

●三级目标（二级手段）：

胜率、分区胜率、分部胜率、跨部胜率、分差

建立判断实力的目标-手段分析图：

2.分析图的合理性分析

（一）要素集：

根据已经建立的目标-判断对手实力，找出能够实现该目标的实体部分球队的胜负和综合实力，两者即为简陋要素集。

对该要素集进行价值分析，发现实现球队的胜负这一目标有多种要素，因此存在择优问题。

运用价值分析技术，以最直观的体现球队的胜负为标准，得到胜率、分区胜率、分部胜率、跨部胜率为对应要素，由于在筛选的过程中，考虑到了必要性和优选分析，因此该要素集即实现判断对手实力这一目标的手段（目标）集是较为合理的。

（二）相关性：

在确定了实现目标“判断对手实力”的手段（目标）集后，为确保该目标的顺利实现，需要进行各个手段（目标）之间的相关性分析。

从横向上分析，由于一级手段仅有两个要素组成，因此一级手段之间是最简单的二元关系，二级手段是在一级手段的基础上发展的多元关系。

由于球队的胜负是可以体现综合实力的，同时综合实力又可以决定比赛的胜负，分区胜率、分部胜率、跨步胜率是胜率的各个方面的体现，胜率说明分差，分差决定胜率，通过分析发现，本分析图中同级手段之间二元关系、多元关系是相互联合、相互协调的。

从纵向上分析，能够判断出对手实力的要素有很多，根据成功决定实力原则和综合实力决定最终实力，球队的胜负、综合实力最直接的说明了对手的实力状况，通过比赛的胜利的场次所占全部场次的百分比即胜率说明球队的胜负情况，已知得分与该队的进攻能力成正比，失分与该队的防守能力成反比，利用得分减去失分即为分差体现了该队进攻、防守两方面的综合实力。

纵向统观分析图，手段均能最直接的实现目标，信息传递的效率非常高。

从整体上分析，通过以上分析可知，横向上各目标（手段）之间是相互协调的，纵向上层次结构明显、信息传递效率高，说明该分析图的系统的相关性良好，该系统是合理的、便于控制的。

（三）整体性：

将各要素之间的关系即相关性综合为关系集，以整体最优的角度，考虑整个分析图要素集、关系集的协调性，发现分析图系统结构中没有不合理或薄弱的环节，基本上达到最优结合，整体上满足协调运行。

综合以上三个方面的分析，明确该判断对手实力的目标-手段分析图的合理性良好，基本符合实际情况，所得结果可以直接使用。

②层次分析法

1．构造判断矩阵

通过目标-手段分析法，得到判断对手实力合理的手段即应该考察的方面，在该定性分析指明方向后，利用层次分析法定量的得到判断对手实力的5个方面的权重。

在已知需要通过研究胜率、分区胜率、分部胜率、跨部胜率、分差这5个要素确定对手的实力，为了得到各个方面所占的权重，需要建立判断矩阵，设相关要素为，首先明确标度：

标度说明

1表示与两个要素同等重要

3表示比稍重要

5表示比明显重要

7表示比重要的多

2、3、6表示相邻两标度的中间值

设胜率为、分差为、分区胜率为、分部胜率为、跨部胜率为，根据以上标度及现实生活经验，建立判断矩阵：

2.计算权重

首先计算中每行所有的元素的几何平均值，得到向量，其中

然后得到相对权重向量，其中

经过计算得到各要素所占的权重为

判断对手实力的要素所占权重

胜率0.4981

分差0.2362

分区胜率0.0886

分部胜率0.0886

跨部胜率0.0886

3.一致性检验

利用特征向量法计算的最大特征值

计算得到，构造一致性检验指标如下：

CR<0.1，说明该矩阵的一致性良好。

③要素归一

明确各个要素所占的权重后，各要素值与其相应的权重相乘，将所得积求和得到的数值即可体现对手的实力。

由于在求和时，需要量纲、量级统一，所以在相乘、相加前将各要素利用极差处理进行归一。

1.极差处理说明

已知极差处理是通过极限思想，找出一个要素在全体参赛球队中的极大值和极小值，将极大值和极小值做差得到该要素的绝对差；将对手该要素的具体数值和极小值做差得到的为对于该对手的本要素的实际差值，实际差值与绝对差值做比，得到该对手本要素的相对差值。

相对差值是将原数值化为0-1之间的数，将整个要素数值的集合全部缩放到在0到1之间，集合中任意数据在集合中所占位置（大小情况）、重要性比重保持不变，同时将极大值化为1，极小值化为0，与其他值相比凸显出极值优势。

2.实现极差处理

首先统计出第个要素的第个球队的值，找出该要素的极大值和极小值。

极大值与极小值的差即为该要素不同球队之间的的最大差值，与极小值的差值，体现了第支球队与第个要素最少的球队的差距。

将与极小值的差值作为分子，极大值与极小值的差作为分母，两者做比：

值越大，说明的数量越大，第支球队的第个要素越强，当等于1时，即等于，此时为所有参赛球队第个要素最强的；越小，说明说明的数量越小，第支球队的第个要素越弱，当等于0时，即等于，此时第个要素最弱的球队即第支球队。

3．加权求和

使用极差处理将对手的胜率、分区胜率、分部胜率、跨部胜率、分差全部进行归一处理，由于对手实力是通过这5个要素体现的，因此将归一后数据与权重相乘，乘积相加即为对手实力情况：

⑷场地之间的距离

在整个赛程的过程中，一支球队需要与其他29支队全部比赛3到4场。

通过观察附件1发现，同一个球队相邻的两场比赛没有与相同球队在同样的场地进行比赛的，因此该数据说明当该队的这两场比赛不是主场时，球队相邻两场比赛的赛地不同，需要从一个比赛场地转战到下一比赛场地。

当相邻的两场比赛上一场为客场、下一场为主场，这样虽然该队为主场作战，仍然需要在路程上耽误时间、精力，本土优势在这里已无法发挥，如没有连续相邻的主场比赛，主客场已无法说明情况，因此引入场地之间的距离表现赛程安排对参赛球队的利弊。

当场地之间的距离越大时，在到下一个场地的路上耗费大量的时间，长时间的旅途会使人处于疲惫的状态，精神状态亦会不佳，在有限的时间内将身体和精神调整到最佳状态的难度性较大，对比赛时水平的发挥的影响较大，该种安排对该队是不利的；当场地之间的距离越小时，在到下一场地的路途上消耗的时间越少，对身体、精神状态的影响越小，越利于比赛时水平的发挥，这种安排对该队时有利的。

例如09年4月13日湖人与灰熊进行比赛，湖人的下一场比赛是4月15号与爵士进行的，两场比赛湖人均为主场，这种情况的安排在场地之间的距离上讲对湖人是最有利的；4月13日骑士主场对战凯尔特人，4月14日骑士客场对战步行者，由于骑士主场地和步行者主场地是一个区内，只需要在区内运动，因此该种安排仅从场地之间的距离方面考虑对骑士是较为有利的；09年4月15日老鹰以主场与热火进行比赛，4月16号老鹰以客场与灰熊进行比赛，老鹰的主场在东部，灰熊的主场在西部，一天的时间，老鹰比赛的场地横跨东部、西部，在旅途上消耗的大量的精力，影响比赛结果，这种安排对老鹰是最不利的。

已知美国国土面积广大，在近似对称轴的位置将美国分为东、西两部，东部分为东南区、大西洋区、中部区；西部分为西南区、西北区、太平洋区，已知两个区紧靠东西部划分线且在同一纬度上，两个球队的主场恰好在这两个区的中间位置，这两个队的主场虽然在不同部但是场地之间的距离较短；两个主场地在同一个部，但是处于部内的对角上，说明两个场地虽然在同一部内但是距离较远。

因此将场地之间的距离分为区内距离和区外距离。

㈡整体分析

⑴确定权重

通过以上局部分析，在将比赛时间分为相邻比赛时间间隔和比赛的具体时间之后，通过模糊决策方法，将体现出赛程安排对球队的利弊的因素定为相邻比赛时间间隔、比赛的具体时间、比赛的主、客场、对手实力、场地之间的距离（区内距离、区外距离），从整体的角度来看，各个因素相互协调，相互结合体现出赛程安排对球队的利弊情况。

这5个因素能够体现出赛程安排合理性的程度不同，因此需要确定各个因素所占的权重。

设相邻比赛时间间隔为、比赛的主、客场为、比赛的具体时间为、对手实力为、场地之间的距离（区内距离、区外距离）为。

建立的判断矩阵：

13557

1335

113

113

1

根据公式：

通过计算得到：

⑵根据利弊分类处理

观察各个因素发现只有时间间隔是具体数值。

为各个因素量纲保持统一，对时间间隔进行归一。

设全部球队相邻两场比赛之间间隔的最长时间为，最短时间为，第个球队第场比赛与第场比赛之间的时间为，利用极差处理，得到归一后的值：

明确相邻比赛时间间隔、比赛的具体时间、比赛的主、客场、对手实力、场地之间的距离（区内距离、区外距离）为需要考虑的5大因素，设比赛的具体时间、比赛的主客场、场地之间的距离的数值为1，已知时间间隔和对手实力的量纲统一后的数值，将各个因素的数值分别与其对应的权重相乘。

已知各个因素即为判断指标，当在一定的范围内时，该赛程安排是有利的，当超过一定范围时，该赛程是不利的。

针对时间间隔，当间隔小于等于48个小时，进行休息、调整的时间过短，会影响到下一场比赛的正常发挥，所以认为相邻两场比赛的时间间隔小于等于48小时该安排是不利的，在判断有利性时，减去时间间隔与对应权重之积；时间间隔大于48小时，该安排是有利的，应加上时间间隔与对应权重之积。

针对对手实力，将对手的实力值与本队的实力值做差，当该差值在0-0.1时，认为两队实力一致；当差值在0.1-0.2时，认为两队实力相差为1；当差值在0.2-0.3时，认为两队实力相差为