九年级数学第2讲 一元二次方程的解法公式法因式分解法教案.docx
《九年级数学第2讲 一元二次方程的解法公式法因式分解法教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学第2讲 一元二次方程的解法公式法因式分解法教案.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
九年级数学第2讲一元二次方程的解法公式法因式分解法教案
一元二次方程的解法（公式法、因式分解法）
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
通用
课时时长（分钟）
120
知识点
1、根的判别式
2、公式法解一元二次方程
3、因式分解法解方程
教学目标
1、掌握公式法解一元二次方程的方法.
2、掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．
教学重点
能根据题目的要求及特点用恰当的方法求解方程.
教学难点
因式分解法解一元二次方程.
教学过程
一、课堂导入
1、观察一元二次方程
，结合我们上节课学的知识解此方程.
2、思考这个一元二次方程还有没有其它的解法？
3、今天我们学习一元二次方程另外的解法：
公式法、因式分解法.
二、复习预习
1、一元二次方程定义：
我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”
2、一元二次方程的一般形式
注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x（x+5）=150，即x2+5x=150，
可化为：
x2+5x-150=0．
从而引导学生认识到：
任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为
ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．
其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．
三、知识讲解
考点/易错点1
求根公式
1、形成表象,提出问题
在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.
解下列一元二次方程:
（1）x2+4x+2=0;
（2）3x2-6x+1=0;
2、分析问题,探究本质，求根公式推导:
ax2+bx+c=0（a≠0）
ax2+bx=-c
x2+
x=-
x2+
x+
=-
+
（x+
）2=
再议开方过程（让学生结合前面四题方程来加以讨论）,使学生充分认识到“b2-4ac”的重要性.
当b2-4ac≥0时，
（x+
）2=
x+
=
x=-
即x=
x1=
, x2=
当b2-4ac<0时，
方程无实数根.
3、得出结论
由上面的探究过程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c确定.当b2-4ac≥0时，即求根公式为：
x=
;
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
考点/易错点2
因式分解法
1、提问
1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？
2．方程x2=4的解是多少？
引入新课
方程x2=4还有其他解法吗？
新课
众所周知，方程x2=4还可用公式法解．此法要比开平方法繁冗．
2、本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．
我们仍以方程x2=4为例．
移项，得x2-4=0，
对x2-4分解因式，得（x+2）（x-2）=0．
我们知道：
∴x+2=0，x-2=0．
即x1=-2，x2=2．
由上述过程我们知道：
当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．
考点/易错点3
方法分类：
提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方式）、十字相乘法）
●解下列方程：
（1）x2-3x-10=0；
（2）（x+3）（x-1）=5．
在讲例
（1）时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；
讲例
（2）时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．
●解下列方程：
（1）3x（x+2）=5（x+2）；
（2）（3x+1）2-5=0．
在讲本例
（1）时，要突出讲移项后提取公因式，形成（x+2）（3x-5）=0后求解；
再利用平方差公式因式分解后求解．
注意：
在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．
四、例题精析
【例题1】
【题干】方程（x−2）（3x+1）=0，则3x+1的值为（ ）
A. 7
B. 2
C. 0
D. 7或0
【答案】D
【解析】
方程（x−2）（3x+1）=0，
可得x−2=0或3x+1=0，
解得：
x1=2，x2=−13，
当x=2时，3x+1=3×2+1=7；当x=−13时，3x+1=3×（−13）+1=0.
故选D.
考点：
解一元二次方程-因式分解法
分析：
根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到x的值，将x的值代入3x+1中，即可求出值．
点评：
此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．
【例题2】
【题干】已知三角形的两边长是方程x2﹣5x+6的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（ ）
A．1＜L＜5B．2＜L＜6C．5＜L＜9D．6＜L＜10
【答案】D
【解析】先利用因式分解法解方程x2﹣5x+6=0，得到x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，再根据三角形三边的关系确定第三边的取值范围，从而得到三角形的周长L的取值范围．
解答：
解：
∵x2﹣5x+6=0，
∴（x﹣2）（x﹣3）=0，
∴x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，
∴第三边a的取值范围是：
1＜a＜5，
∴该三角形的周长L的取值范围是6＜L＜10．
故选D．
点评：
本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：
把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系：
三角形任意两边之和大于第三边．
【例题3】
【题干】方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ）
A、2B、3C、﹣1，2D、﹣1，3
【答案】D
【解析】先移项得到（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，然后利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可．
解：
（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，
∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，即（x+1）（x﹣3）=0，
∴x+1=0，或x﹣3=0，
∴x1=﹣1，x2=3．
故选D．
点评：
本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：
利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．
【例题4】
【题干】运用公式法解方程x2﹣4x+1=0．
【答案】解：
（1）移项得，x2﹣4x=﹣1，
配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，
（x﹣2）2=3，
由此可得x﹣2=±
，
x1=2+
，x2=2﹣
；
（2）a=1，b=﹣4，c=1．
b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×1=12＞0．
x=
=2±
，
x1=2+
，x2=2﹣
．
【解析】将原方程转化为完全平方的形式，利用配方法解答或利用公式法解答．此题考查了解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．
（1）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
（2）选择公式法解一元二次方程时，找准a、b、c的值是关键．
【例题5】
【题干】如果x2−x−1=（x+1）0,那么x的值为（）
A. 2或−1
B. 0或1
C. 2
D. −1
【答案】C
【解析】
∵x2−x−1=（x+1）0，
∴x2−x−1=1，
即（x−2）（x+1）=0，
解得：
x1=2,x2=−1，
当x=−1时，x+1=0，故x≠−1，
故选：
C.
考点：
解一元二次方程-因式分解法,零指数幂
分析：
首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．
【例题6】
【题干】已知关于x的方程mx 2+5x=2x 2+4是一元二次方程，试判断关于y的方程y（y+m-1）-2my+m=1-y的根的情况，并说明理由．
【答案】解：
∵关于x的方程mx 2+5x=2x 2+4是一元二次方程，
∴m≠2，
把方程y（y+m-1）-2my+m=1-y整理得：
y 2-my+m-1=0，
∵△=b 2-4ac=（-m）2-4（m-1）=（m-2）2＞0，
∴方程必有两个不相等的实数根．
【解析】
根据一元二次方程的定义求出m≠2，再把方程y（y+m-1）-2my+m=1-y整理得出△=b 2-4ac=（m-2）2＞0，即可得出方程必有两个不相等的实数根．
【例题7】
【题干】如果方程ax2-bx-6=0与方程ax2+2bx-15=0有一个公共根是3，求a、b的值，并分别求两个方程的另外一个根．
【答案】解：
把x=3分别代入两个方程，
得
．
把a=1，b=1代入ax2-bx-6=0得x2-x-6=0，
（x-3）（x+2）=0，
解得：
x1=3，x2=-2．
方程ax2-bx-6=0的另一个根为-2．
把a=1，b=1代入ax2+2bx-15=0得
x2+2x-15=0，
即（x-3）•（x+5）=0，
解得x1=3，x2=-5．
方程ax2+bx-15=0的另一个根为-5．
【解析】把x=3代入题中两个方程中，得到关于a、b的二元一次方程组，用适当的方法解答，求出a、b的值，再解方程即可求得．
【例题8】
【题干】解方程：
=2．
【答案】解：
设
=y，则
，
则原方程为：
y-
=2，即：
y2-2y-3=0，
解得y1=3，y2=-1．
当y1=3时，x=-1，当y2=-1时，x=
．
经检验，x1=-1，x2=
是原方程的根．
∴x1=-1，x2=
．
【解析】本题考查用换元法解分式方程的能力，观察方程可得
与
互为倒数，所以可采用换元法将方程转化．
【例题9】
【题干】解方程：
（1）x2-4x-5=O；
（2）（2x-3）2=（3x-2）2．
【答案】解：
（1）分解因式得：
（x-5）（x+1）=0，
可得x-5=0或x+1=0，
解得：
x1=5，x2=-1；
（2）开方得：
2x-3=3x-2或2x-3=-3x+2，
解得：
x1=-1，x2=1．
【解析】
（1）方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）利用平方根定义开方即可求出解．
【例题10】
【题干】我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知。
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程。
认识新方程：
像
=x这样,根号下含有未知数的方程叫做无理方程,可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2,解得x1=3,x2=−1.但由于两边平方,可能产生增根,所以需要检验,经检验,x2=−1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3.
运用以上经验，解下列方程：
（1）
=x；
（2）x+
=6.
【解析】
（1）两边平方，得
16−6x=x2，
整理得：
x2+6x−16=0，
解得x1=−8,x1=2；
经检验x=−8是增根，
所以原方程的根为x=2；
（2）移项得：
=6−x
两边平方，得
4x−12=x2−12x+36，
解得x1=4,x2=12（不符合题意,舍）.
考点：
[无理方程,分式方程的增根]
分析：
（1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；
（2）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
课程小结
1.本节课我们推导出了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式，即
这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.
要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b2-4ac≥0．
2.什么是因式分解法？
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
因式分解法的步骤：
1.移项：
将方程得右边化为0；
2.化积：
将方程得左边分解为两个一次式的乘积；
3.转化：
令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
4.求解：
解折两个一元一次方程，他们的解就是一元二次方程的解。
升级会员 