初三数学 二次函数专项练习.docx

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初三数学二次函数专项练习

2015年初三数学《二次函数综合题》归类复习

1．图像与性质：

例1．（2014年四川资阳，第24题12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

2．旋转问题：

例2.（2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+

的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．

（1）写出该函数图象的对称轴；

（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？

3．与三角形结合：

例3．（2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，

）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是

（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：

FM平分∠OFP；

（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

4．与四边形结合：

例4．（2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．

（1）已知：

DE∥AC，DF∥BC．①判断：

四边形DECF一定是什么形状？

②裁剪：

当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：

如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；

（2）折叠：

请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．

5．新定义题：

例5．（2014•安徽省,第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．

（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；

（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．

6．运动型问题：

例6．（2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：

四边形AEDF为菱形；

（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；

（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？

若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．

7．代数与几何综合：

例7.（2014•广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l：

y=kx，抛物线C：

y=ax2+bx+1．

（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；

（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：

OP=PQ．

8．面积问题：

例8．（2014•温州，第21题10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．

（2）求△EMF与△BNE的面积之比．

9．探究型问题：

例9．（2014•舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．

（1）当m=

时，求S的值．

（2）求S关于m（m≠2）的函数解析式．

（3）①若S=

时，求

的值；②当m＞2时，设

=k，猜想k与m的数量关系并证明．

10．存在性问题：

例10．（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=

x2﹣

x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

11．应用题型：

利润问题。

例11．（2014•武汉2014•武汉，第29题10分）九

（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：

时间x（天）

1≤x＜50

50≤x≤90

售价（元/件）

x+40

90

每天销量（件）

200﹣2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？

请直接写出结果．

12．求点的坐标问题：

例12．（2014•武汉，第25题12分）如图，已知直线AB：

y=kx+2k+4与抛物线y=

x2交于A，B两点．

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；

（2）当k=﹣

时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；

（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．

13．与一元二次方程结合：

例13．（10分）（2014•孝感，第22题10分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．

（1）求k的取值范围；

（2）试说明x1＜0，x2＜0；

（3）若抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．

14．双动点问题：

例14．（2014•襄阳，第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．

（1）填空：

点A坐标为　　；抛物线的解析式为　　．

（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？

（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？

最大值是多少？

15．与圆结合：

例15．（2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．

（1）求AD的长；

（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？

若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；

（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．