圆中基本图形及结论.docx
《圆中基本图形及结论.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆中基本图形及结论.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
圆中基本图形及结论
《圆的证明与计算》专题研究
圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发
挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
一、考点分析：
1.圆中的重要定理:
（1）圆的定义:
主要是用来证明四点共圆.
（2）垂径定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
（3）三者之间的关系定理:
主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
（4）圆周角性质定理及其推轮:
主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
（5）切线的性质定理:
主要是用来证明——垂直关系.
（6）切线的判定定理:
主要是用来证明直线是圆的切线.
（7）切线长定理:
线段相等、垂直关系、角相等.
2.圆中几个关键元素之间的相互转化:
弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.
二、考题形式分析：
主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：
①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
三、解题秘笈：
1、判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：
全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：
角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：
（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：
CD为⊙O的切线；
（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：
DE是⊙O的切线.
（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若
DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：
DE是⊙O的切线.
（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，
交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：
CD是⊙O的切线.
2、与圆有关的计算：
段或者角度的转化。
特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。
其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）构造思想：
如：
①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：
弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.
（2）方程思想：
设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
（3）建模思想：
借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图
形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
3、典型基本图型：
图形1：
如图1：
AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：
1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。
2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。
3）如图（4）：
若CK⊥AB于K，则：
1
①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;
2
②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD?
AB
4）在
（1）中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD
于E时（如图5），则：
12
①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD?
BG=DG2=DC24
图形2：
如图：
Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。
点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC
知一推三。
1
BO?
DE=CO?
CE=CE2；
2
2）①G是⊿BCD的内心；②CG=GD；③⊿BCO∽⊿CDE
3）在图
（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。
AE1
4）如图（3），若①BC=CE，则：
②AAED=12=tan∠ADE；③BC：
AC：
AB=3：
4：
5；（在
①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH
图形3：
如图：
Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：
如右图：
（1）DE切⊙OE是BC的中点；
（2）若DE切⊙O，则：
①DE=BE=CE；
②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE2,DECDBC
RBDBA
图形特殊化：
在
（1）的条件下
如图1：
DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；如图2：
若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：
图形4：
如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，
基本结论有：
（1）DE⊥ACDE切⊙O；
（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：
①⊿DFC是等腰三角形；BF
②EF=EC；③D是的中点。
④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD，产生母子三角形。
图形5：
：
以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ，基本结论有
A
O
C
图1
图3
1）如图1：
①AD+BC＝CD；②∠COD=∠AEB=90°；③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：
在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）
1
④AD·BC＝AB2=R2；
4
（2）如图2，连AE、CO，则有：
CO∥AE，CO?
AE=2R2（与基本图形2重合）
（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：
EG=FG.
图形6：
如图：
直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。
基本结论有：
1）PQ=PR（⊿PQR是等腰三角形）；
2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR
3）2PR·RE=BR·RQ=B·E2R=AB2
中，知二推一
图形7：
如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。
基本结论有：
1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；
1
③∠AIB=90°+∠ACB;
2
2）如图2，若∠BAC=60°，则：
BD+CE=BC.
A
OI
A
D
B
C
图2
图形8：
已知，AB是⊙O的直径，
C是BG中点，CD⊥AB于D。
BG交CD、AC
于E、F。
基本结论有：
1
（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE
2
1
（反之，由CD=2BG或BE=EF可得：
C是BG中点）
1
（2）OE=AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF
2
（3）BE·BG=B·DBA
（4）若D是OB的中点，则：
①⊿CEF是等边三角形；②
C
D
O
B
BC=CG=AG
四、范例讲解：
例题1：
△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧CF=CB，过C作
AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.
1）求证：
CD为⊙O的切线；
2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求EF的值。
AF
例题2：
直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、
BD交于F.
⑴求证：
CD为⊙O的切线；⑵若BE3，求BF的值。
AB5DF
1）求证：
PC为⊙O的切线。
2）过D点作DE⊥AB，E为垂足，连AD交BC于G，
例题4：
如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为的中
BD
点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。
1）求证：
AC与⊙O相切；
2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长
五、练习：
1．如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，BD=DE，过D作AE的垂线，
F为垂足.
（1）求证：
DF为⊙O的切线；
（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求tanBAC的值.
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，AD=DC，过D作直线BC的垂
线交直线AB于点E，F为垂足.
（1）求证：
EF为⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.
3．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切
线，E为切点，连结CE交AB于点F.
（1）求证：
DE=DF；
（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求tanA的值.
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两
点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.
（1）求证：
⊙O与AC相切；
（2）若EF=3，BC=4，求tanA的值.
5．如图，等腰△
ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.
1）求证：
DE为⊙O的切线；
2）若BC=45，AE=1，求cosAEO的值.
6．如图，BD为⊙O的直径，A为BC的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.
EDF的值.
（1）求证：
DF为⊙O的切线；
2）若AE=2，DE=4，△BDF的面积为83，求tan
7、如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，
交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．
（1）求证：
CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE3，求AM的长．
8、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.
（1）求证：
AD是⊙O的切线；
（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.
9、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD.
（1）求证：
BC是⊙O的切线；
（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交
BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.
10、如图，AB是半⊙O上的直径，E是B⌒C的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交
AD的平行线交OE的延长线于点F.∠ADO=∠B.
（1）求证：
CF为⊙O的⊙O切线；
（2）求sin∠BAD的值.
11、如图，⊿ABC中，
AB＝AC，以AC为直径的⊙
O与AB相交于点E，点F是BE的
中点．
（1）求证：
DF是⊙O的切线．
（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长
升级会员 