圆中基本图形及结论.docx

1、圆中基本图形及结论圆的证明与计算专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题， 此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1.圆中的重要定理 :(1)圆的定义 : 主要是用来证明四点共圆 .(2)垂径定理 : 主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等 .(3)三者之间的关系定理 : 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等 .(4)圆周角性质定理及其推轮 : 主要是用来证明直角、角相等、弧相等 .(5)切线的性质定理 : 主要是用来证明垂直关系 .(6)切线的判定定理 : 主要是用来证明直线是圆的切线 .(7)切线长定理 : 线段相等、垂

2、直关系、角相等 .2.圆中几个关键元素之间的相互转化 : 弧、弦、圆心角、 圆周角等都可以通过相等来 互相转化 . 这在圆中的证明和计算中经常用到 .二、考题形式分析 ：主要以解答题的形式出现 , 第 1 问主要是判定切线；第 2 问主要是与圆有关的计算： 求线段长(或面积) ；求线段比；求角度的三角函数值(实质还是求线段比) 。三、解题秘笈 ：1、判定切线的方法：( 1)若切点明确，则“连半径，证垂直” 。常见手法有： 全等转化； 平行转化； 直径转化； 中线转化等； 有时可通过计算结合相似、 勾股定理证垂直；( 2)若切点不明确，则“作垂直，证半径” 。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形

3、三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点) ；直 线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化 , 要善 于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线 . 例：( 1)如图， AB 是O 的直径， BCAB，ADOC 交O 于 D 点，求证： CD 为O 的切线；（2）如图，以 RtABC 的直角边 AB为直径作 O，交斜边 AC于 D，点 E为 BC的中 点，连结 DE ，求证： DE是 O的切线 .（ 3）如图，以等腰 ABC 的一腰为直径作 O，交底边 BC 于 D，交另一腰于 F，若DEAC 于 E（或 E

4、为 CF中点），求证： DE 是O 的切线 .（4）如图，AB是 O 的直径， AE平分 BAF，交 O 于点 E，过点 E作直线 EDAF，交 AF 的延长线于点 D，交 AB 的延长线于点 C，求证： CD 是O 的切线 .2、与圆有关的计算：段或者角度的转化。 特别是要借助圆的相关定理进行弧、 弦、 角之间的相互转化， 找出所求 线段与已知线段的关系， 从而化未知为已知， 解决问题。 其中重要而常见的数学思想方法有：（ 1）构造思想 ：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段（已知 任意两条线段可求其它所有线段长） ；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径； 构造勾股定理模

5、型；构造三角函数 .（ 2）方程思想： 设出未知数表示关键线段， 通过线段之间的关系，特别是发现其中的相 等关系建立方程，解决问题。（ 3）建模思想： 借助基本图形的结论发现问题中的线段关系， 把问题分解为若干基本图形的问题， 通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论， 进而找出隐藏的线段之间 的数量关系。3、典型基本图型：图形 1：如图 1：AB是O 的直径，点 E、C是O上的两点 ，基本结论有：1）在“ AC 平分 BAE”；“ADCD”；“DC 是 O 的切线”三个论断中，知二推一。2）如图 2、 3，DE 等于弓形 BCE 的高； DC=AE 的弦心距 OF（或弓形 BCE 的半

6、弦 EF）。3）如图（ 4）：若 CKAB于 K，则：1CK=CD ；BK=DE ；CK= BE=DC ；AE+AB= 2BK= 2AD;2ADC ACB AC2=AD?AB4）在 （1）中的条件、中任选两个条件，当 BGCD于 E 时（如图 5 ），则：12DE=GB ； DC=CG ； AD+BG=AB ； AD?BG= DG 2 =DC 2 4图形 2：如图：Rt ABC 中， ACB=90。点 O是 AC上一点，以 OC为半径作 O交 AC知一推三。1BO?DE=CO?CE= CE2；22）G是 BCD 的内心； CG = GD ； BCO CDE3）在图（ 1）中的线段 BC、CE、

7、AE、AD 中，知二求四。AE 14）如图（3），若BC=CE，则： AAED =12=tanADE；BC：AC：AB=3：4：5 ；（在、中知一推二）设 BE、CD 交于点 H， ,则 BH=2EH图形 3：如图： RtABC 中， ABC=90 ,以 AB 为直径作 O 交 AC 于 D ，基本结论有： 如右图：（1）DE 切O E是 BC的中点；（ 2）若 DE 切 O，则： DE=BE=CE ；D、O、B、E 四点共圆 CED=2A CDCA=4BE 2, DE CD BCR BD BA图形特殊化：在（ 1）的条件下如图 1： DEAB ABC、CDE 是等腰直角三角形； 如图 2：若

8、 DE 的延长线交 AB 的延长线于点 F，若 AB=BF ，则：图形 4：如图， ABC中， AB=AC ，以 AB为直径作 O，交 BC于点 D，交 AC于点 F，基本结论有：（1）DEAC DE 切 O；（2）在 DEAC 或 DE 切 O 下，有： DFC 是等腰三角形； BFEF=EC ；D 是 的中点。与 基本图形 1 的结论重合。连 AD ，产生母子三角形。图形 5：以直角梯形 ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于 ， 基本结论有AOC图1图31）如图 1： AD+BC CD； COD =AEB=90； OD 平分 ADC（或 OC 平 分 BCD ）；（注：在 、及“CD 是O的

9、切线 ”四个论断中，知一推三 ）1 ADBC AB2=R2；4（2）如图 2，连 AE、CO，则有： COAE，CO?AE=2R2（与基本图形 2重合 ）（3）如图 3，若 EFAB 于 F，交 AC 于 G，则： EG=FG.图形 6：如图：直线 PR O的半径 OB于 E，PQ切O于 Q， BQ交直线 PQ于 R。 基本结论有：1）PQ=PR （PQR 是等腰三角形 ）；2）在“ PROB ”、“ PQ 切 O”、“PQ=PR3）2PRRE=BRRQ=BE 2R=AB 2中，知二推一图形 7：如图， ABC内接于 O，I为 ABC的内心。 基本结论有：1）如图 1， BD=CD=ID ；

10、DI 2 DEDA ；1 AIB=90+ ACB;22）如图 2，若 BAC=60 ，则： BD+CE=BC.AO IADBC图2图形 8：已知， AB是O 的直径，C 是 BG 中点， CD AB 于 D。BG 交 CD 、AC于 E、F。 基本结论有：1（1）CD= BG；BE=EF=CE ；GF= 2DE21（反之，由 CD=2BG 或BE=EF 可得： C是 BG中点）1（2）OE= AF，OEAC； ODE AGF2（3） BEBG=BD BA（4）若 D 是 OB 的中点，则： CEF 是等边三角形；CDOBBC=CG=AG四、范例讲解： 例题 1： ABP中， ABP=90，以

11、AB为直径作 O交 AP于 C点，弧 CF =CB，过 C作AF 的垂线，垂足为 M ，MC 的延长线交 BP 于 D.1）求证： CD 为O 的切线；2）连 BF交 AP于E，若 BE=6，EF=2，求 EF 的值。 AF例题 2：直角梯形 ABCD 中， BCD=90，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交 BC 于 E，连 OC、BD 交于 F.求证： CD 为O 的切线； 若 BE 3 ，求 BF 的值。AB 5 DF1）求证： PC 为O 的切线。2）过 D 点作 DE AB， E 为垂足，连 AD 交 BC 于 G，例题 4：如图，已知 ABC 中，以边 BC 为直径的 O 与边

12、AB交于点 D，点 E为 的中BD点，AF 为ABC 的角平分线，且 AFEC。1）求证： AC 与O 相切；2）若 AC6，BC8，求 EC 的长五、练习：1如图， Rt ABC ，以 AB为直径作 O交 AC于点 D，BD=DE ，过 D 作 AE 的垂线，F 为垂足 .（ 1）求证： DF 为O 的切线；（2）若 DF =3 ， O 的半径为 5，求 tan BAC 的值.2如图， AB为 O的直径， C、D 为 O上的两点， AD=DC ，过 D作直线 BC的垂线交直线 AB 于点 E，F 为垂足 .（ 1）求证： EF 为O 的切线；（2）若 AC=6，BD=5，求sinE 的值.3

13、如图， AB为 O的直径，半径 OCAB，D 为AB延长线上一点，过 D作O的切线， E为切点，连结 CE交 AB于点 F.（ 1）求证： DE=DF ；（2）连结 AE，若 OF=1，BF=3，求 tan A 的值.4如图， RtABC 中， C=90，BD 平分 ABC，以 AB 上一点 O 为圆心过 B、D 两点作 O，O交 AB于点一点 E，EFAC于点 F.（1）求证： O 与 AC 相切；（2）若 EF=3，BC=4，求 tan A的值 .5如图，等腰ABC 中， AB=AC ，以 AB为直径作 O交 BC于点 D，DEAC于 E.1）求证： DE 为O 的切线；2）若 BC= 4

14、 5 ，AE=1，求 cos AEO的值 .6如图， BD 为 O的直径， A为BC 的中点， AD 交 BC于点 E，F 为 BC 延长线上 一点，且 FD=FE.EDF 的值 .（ 1）求证： DF 为O 的切线；2）若 AE=2，DE=4， BDF 的面积为 8 3 ，求 tan7、如图， AB是O的直径，M 是线段 OA 上一点，过 M 作 AB的垂线交 AC于点 N，交 BC 的延长线于点 E，直线 CF 交 EN 于点 F，且 ECF= E（1）求证： CF 是O 的切线；（2）设 O的半径为 1，且 AC=CE 3，求 AM 的长8、如图， AB 是 O的直径， BCAB，过点

15、C 作 O的切线 CE，点 D 是 CE 延长线 上一点，连结 AD ，且 AD+BC=CD .（1）求证： AD 是O 的切线；（2）设 OE 交 AC 于 F，若 OF=3，EF=2，求线段 BC 的长 .9、如图， ABC中， AB=BC ，以 AB 为直径的 O交 AC于点 D，且 CD=BD .（1）求证： BC 是O 的切线；（2）已知点 M、N分别是 AD、CD的中点， BM延长线交 O于 E，EFAC，分别交BD、BN的延长线于 H、F，若 DH =2，求 EF 的长.10、如图， AB 是半 O 上的直径， E是BC的中点， OE 交弦 BC 于点 D，过点 C 作交AD 的平行线交 OE 的延长线于点 F. ADO= B. （1）求证： CF 为O 的O 切线； （ 2）求 sinBAD 的值 .11、如图， ABC 中，ABAC ，以 AC 为直径的O 与 AB相交于点 E，点 F 是 BE 的中点（1）求证： DF 是 O 的切线（2）若 AE 14，BC 12，求 BF 的长