第十章粘性流体的一元流动.docx

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第十章粘性流体的一元流动

第十章粘性流体的一元流动

问题：

同学们到开水房打开水，水龙头离锅炉的距离近还是短，灌满一壶水所花的时间短

本章内容

1．粘性流体流动的两种流动状态

2．等截面圆管内的定常层流（泊肃叶流动）

3．等截面圆管内的定常湍流

4．水头损失

5.湍流基本特征

6.管路水力计算

本章重点：

1.两种流动状态的概念及其判别准则，临界雷诺数，转捩的概念。

2.平均速度，最大速度，摩擦速度，粘性底层的概念。

3.等截面圆管内定常层流的速度分布，切应力分布规律。

4.等截面圆管内定常湍流的速度分布，切应力分布规律。

5.湍流特征，湍流切应力在近壁面处的特征。

6.湍流度，时间平均值的概念。

7.沿程阻力、局部阻力产生的原因。

8.沿程阻力系数与雷诺数和粗糙度的关系。

10.水力光滑管的概念，平方阻力、自动模拟的概念。

11.简单管路的水力计算。

本章难点：

1.湍流特征

2.湍流应力的概念

§10-1管路计算的基本方程式

第四章中已经将伯努利方程推广到有限大流束（粘性流体的伯努利方程）：

（10--1）

推导如下：

若设流线上1～2两点之间的水头损失为hw，

理想流体伯努利方程改写为：

上式各项乘于γdQ在整个过流断面上积分：

（10--2）

缓变流：

过流断面上流线几乎为相互平行的直线。

否则称为急变流。

如下图所示，

缓变流特性：

在缓变流断面上，沿流线的法线方向有（证明略）

（10--3）

则积分

（10--4）

现令积分

（10--5）

U为过流断面上平均流速，v为微小流束上流速。

由连续性方程Q=AU，及dQ=vdA，则

为简便起见令

（10--6）

代表过流断1～2之间单位重量流体的平均能量损失.

将式（10--4），（10--5），（10--6）代入式（10--2），并通除以γQ，则有

若取α1=α2=，则

（10--7）

证毕

粘性流体伯努利方程的应用条件：

（1）粘性、不可压缩粘体

（2）定常流动

（3）流动处于重力场中

（4）过流断面1、2应取在缓变流断面上，断面1～2之间是否为缓变流断面不影响方程的应用。

§10--2流体的两种流动状态，判别方法

粘性流体流动与固壁之间产生摩擦，转化为不可逆的热能，形成机械能的损失。

英国物理学家雷诺（O·Reynolds）通过大量实验，发现流动分两种流动状态。

（在此处插入动画，同学们也可在校园网上精品课程《流体力学》实验录象观看）

1）层流流动：

流线为平稳的直线，流体质点互不掺混地做平行分层流动。

2）湍流流动：

流体质点做不规则运动，在空间存在剧烈掺混。

3）过度状态：

从层流流动状态到湍流流动状态，之间存在一个发展过程，这一过程称为过渡状态。

4）临界雷诺数：

当雷诺数大于某一值后，流动处于向湍流的过度状态或者到达湍流状态，

工程上将这一雷诺数称为临界雷诺数。

对于圆管Re=2300

上临界速度：

由层流过渡到湍流的速度的极限值，上临界雷诺数可达13800，甚至更高。

下临界速度：

速度由大到小逐渐降低比上临界速度更低时。

下临界雷诺数总是稳定在2300左右。

转捩：

由层流向湍流的转变。

判别标准：

采用临界雷诺数作为判别标准，对于圆管内的流动，Re2300流动为层流。

Re2300流动为湍流。

§10--３圆管中的层流运动

Ｒｅ≤2300为层流运动。

例如油液流动，轴承润滑油膜内的流动，低速水流；人体毛细血管中的血液流动雷诺数为，大动脉血流雷诺数为200。

研究层流运动具有一定实际意义。

研究内容：

管道截面上的速度分布，压力降（沿程损失）

设圆管半径为ｒ０，圆管中心线与水平轴线相合。

现在考虑半径为ｒ，长度为ｌ的一段流体脱离体，其两端的压力分别为ｐ１和ｐ２。

根据实际流体的柏努利方程式，有

水平等截面圆管，ｚ１＝ｚ２，Ｕ１＝Ｕ２，因管段内没有局部阻力，有ｈｖ＝ｈｆ，

于是

（10--13）

结论：

脱离体两端面的压力水头差等于该段中间的沿程阻力水头损失。

于该脱离体的平衡方程：

对于层流，故根据牛顿内摩擦定律整理得：

即

或

积分，得半径ｒ处的速度：

Ｃ为积分常数，由边界条件：

ｒ＝ｒ０，而ｕ＝０，

所以

抛物线分布（１０--14）

如图１０--4所示。

在整个管内的速度分布是将该抛物线绕管轴旋转而得到的旋转抛物面。

图１０--4

最大速度：

圆管中心处，ｒ＝０，

（１０--15）

平均流速Ｕ：

圆环的流量为

ｄＱ＝ｕ·２πｒｄｒ

沿半径积分得圆管的流量

（１０--１6）

所以平均流速

（１０--１7）

比较（10--15）和（10--１7）两式，可知：

（１０--１8）

说明在层流运动中，沿管截面的速度分布是很不均匀的。

问题：

怎样用前面学到的知识测得管内的最大速度又如何求得流量

沿程损失：

由（10--17）解出ｈｆ，有

（１０--１9）

层流状态ｈｆ和U的一次方成正比。

习惯上经常应用的达西公式进行比较：

可得

即

（１０--20）

应用条件：

管中流动为层流。

§10—4湍流流动及其特征

自然界及工程实际中多为湍流，层流流动范围较窄，例如管内流动，海洋环流、大气环流、航空和造船工程等等。

研究湍流有十分重要的理论和实用意义。

湍流十分复杂，是流体力学中著名的难题。

原因：

流体质点在运动中不断地相互掺混，其物理量在时间和空间上都作随机地变化。

学者们长期不懈地努力湍流的起因及内部结构等最基本的物理本质的认识迄今仍未揭示清楚。

湍流的研究：

主要沿着两种不同的方向进行：

一、应用概率分布的方法研究湍流的统计规律性，以期建立普遍适用的湍流理论；

二、着重解决工程实际问题，针对某些流动现象提出半径验理论。

本节仅介绍湍流现象的一些基本概念和半径验理论。

湍流基本特征：

湍流的不规则性，湍流的扩散性，湍流的耗散性。

不规则性：

“湍动”（或“紊动”），即在空间和时间上都是随机的脉动，其速度场和压力场也都是随机的。

时间平均值：

工程上采用对湍流场的流动参数对时间进行平均后得出的值，例如时间平均速度，时间平均压力等。

图10—6所示

脉动速度ｕ′：

（１０--21）

因为

所以

（１０--22）图10--6

类似地，在湍流中，流体的压力也处于脉动状态，瞬时压力等于时均压力与脉动压力之和，即

时均值不随时间而变，称为“准定常湍流”，或时均定常流动。

普通的测速管（例如皮托管等）和普通的测压计（例如压力表、液柱比测压计等）所能够测量的是速度和压力的时间平均值。

某些问题中要研究脉动的程度，例如大气中粉尘的扩散规律，结构物风致振动，以及风洞试验的结果等。

定义湍流度ε

（10―23）

衡量脉动大小的尺度。

它是脉动速度的“方均根值”相对于时均值而言所占的百分比。

对于旧式风洞，ε＝％，新式风洞ε＝％。

对于800米高处的自由大气ε＝％。

风洞的湍流度对阻力和边界层的试验均有很大的影响，要尽量降低湍流度，使之与天然气流的湍流度接近。

扩散性：

湍流场中涡体的掺混过程中将增加动量、能量（热量）和质量的交换。

如泥沙、粉尘或污物等的迁移、扩散。

又如热量、动量等扩散到流场其它位置的特性。

湍流过程中伴随传质、传热及传递动量。

最简单且直观的例子是杯中沸水被快速搅动后可加快冷却；沙尘暴，沙丘迁移等。

耗散性：

小湍体脉动消耗能量，维持涡体运动需补充所需的能量，粘性切应力不断地将湍动能转化成流体的内能而耗散掉。

拟序结构（又称相干结构）：

尽管湍流形成机理至今仍是一大难题，但近代研究发现湍流场中存在某种序列的大尺度运动，其在湍流场中的触发时间和位置是不确定的，但一经触发便以某种确定的序列发展特定的运动状态。

这一重大发现改变了对湍流的传统认识，相干结构表明湍流场中既存在小尺度结构的不规则运动，又存在若干有序大尺度运动。

湍流的半径验理论：

1）湍流中的附加切应力，普朗特混合长理论

湍流附加切应力：

液体粘性切应力引起的原因要流为层分子之间的内聚力作用。

对于气体则主要是流层间无规则运动的动量交换所引起的。

除上述两种情形而外，流体微团的大规模迁移运动，引起相邻流层间质量交换与动量交换，而动量交换就要导致附加的切应力。

普朗特混合长度理论：

普朗特假设ｙ层的纵向脉动速度：

（10―24）

普朗特还假设：

横向脉动速度ｖ′与纵向脉动速度成比例，即

（10―25）

ｙ层与ｙ＋ｌ层的动量交换

ｙ＋ｌ层ｘ方向的动量变化

ｙ＋ｌ层上的切向力

相邻流层之间的附加切应力

（10--２6）

将（１０--24）式和（１０--25）式代入上式，得

（10--２7）

令μｔ＝ρｋｌ２

有

（10--２8）

（10--２9）

μｔ：

湍流运动的粘性系数。

上式和牛顿内摩擦定律类似

μ是物性参数，而μｔ却不是物性参数，是与流动情况有关的量，它只决定于流体的密度、速度梯度和混合长度。

因此流动中总的切应力为

（１0--30）

第一项称为分子粘性应力，第二项称为湍流附加应力或为雷诺应力。

在粘性底层中湍流附加应力项很小，分子粘性应力起主导作用，在固壁上为零。

在湍流部分中，分子粘性应力可以忽略，湍流附加应力项起主导作用。

（播放动画）

湍流近壁特征和壁面剪切湍流时均速度分布：

湍流场中充满了不同尺度的大小涡体在时间和空间上都作非线性随机运动。

大的尺度与物体的特征尺度同量级，小的尺度约为10mm。

小涡体靠近边界，大涡体则远离边界。

边壁附近速度梯度较大，切向力也较大，壁面粗糙度的干扰，形成涡体受空间限制故涡体尺度小。

涡体上升进行掺混过程中从流场中获得能量加速旋转，尺度增大，形成大涡体。

大涡体在掺混过程中传递能量，同时不断分解成尺度不同的小涡体。

小涡体尺度小脉动频率较高，小涡体耗散湍动能。

紧靠壁面附近极薄的流层内，边壁的约束流体质点基本上不作横向脉动，速度梯度较大，称为粘性底层。

故边壁处湍流附加切应力为零，主要为时均速度梯度确定的粘性摩擦切应力，即与层流的计算相同：

（10--31）

定义切应力速度（或称摩阻速度）：

实验给出层流底层的厚度：

（10--32）

层流以外为湍流区，它包括湍流发展状态的过渡层和湍流充分发展的湍流核心区，

湍流过渡层内，粘性切应力和湍流附加切应力都不能忽略，即流体的切应力应为式（10--30）

D）

实验给出这一厚度为：

（10--33）

充分发展湍流（湍流核心区）：

可忽略粘性切应力，主要为湍流附加切应力，即

普朗特的假定，在近壁处

（K称为卡门通用常数，K=～（由实验确定），y为距壁面的垂直距离。

在近壁处则（10--27）为

或为

积分上式得

（10--36）

这便是光滑壁面近壁处湍流的时均速度分布，式中常数c由边界条件确定。

§10—5直圆管内的湍流流动

圆管中湍流的时均速度分布不同于层流。

由于湍流中横向脉动所进行的流层之间的动量交换，

使得管流中心部分的速度分布比较均匀。

靠近固体壁面由于脉动运动受到壁面的限制，粘性的阻滞作用使流速急剧下降。

便形成了中心部分较平坦而近壁面处速度梯度较大的速度分布剖面，如下图所示。

普朗特得出的结果是湍流的速度分布可以用一条对数曲线来表示，即

（１０--38）

该式表明湍流的速度分布是对数曲线规律，特征是中间部

分趋向于平均，而在管壁附近速度梯度很大。

普朗对数分

布与实际情况符合得很好，仅在ｙ＝０处有ｕ→－∞，

（１０--38）式不能用，实际上应该是ｙ＝０时ｕ＝０。

圆管中湍流的速度分布还可以近似表达为指数分布形式，即

（１０--39）

指数律形式比对数律简单，其缺点是指数ｎ要随雷诺数而改变。

试验指数ｎ与雷诺数的关系如下：

由表可见，当Ｒｅ＝１．１×１０５时，ｎ＝１／７，则

（１０--40）

这就是通常采用的勃拉修斯七分之一次方规律公式。

层流底层：

紧贴固体壁面有一薄层流体，受壁面限制脉动运动完全消失，保持着层流状态，约几分之一毫米。

湍流流动可以分为三部分，即紧靠壁面的层流底层部分，湍流充分发展的中心部分以及由层流到湍流的过渡部分。

“光滑管”：

管壁粗糙凸出部分的平均高度Δ叫做管壁的绝对粗糙度，Δ与管径ｄ的比值Δ／ｄ称为管壁的相对粗糙度，当δ＞Δ，即层流底层完全淹没了管壁的粗糙凸出部分，层流底层以外的湍流区完全感受不到管壁粗糙度的影响，流体好像在完全光滑管内流动。

称作是“水力光滑”的。

“粗糙管”：

当δ＜Δ，即管壁的粗糙凸出部分有一部分或大部暴露在湍流区中，流体流过凸出部分，将引起旋涡，造成附加的能量损失，管壁粗糙度将对湍流流动发生影响，称作是“水力粗糙”。

同一根管子在不同的雷诺数下可能是“水力光滑的”，也可能是“水力粗糙的”。

两个计算层流底层厚度δ的半径验公式。

（mm）（１０--41）

或

（mm）（１０--42）

§10—6沿程阻力系数,局部水头损失系数

在实际管路中水头损失可以分为两类：

（１）沿程阻力水头损失：

沿水流的长度上单位重量的流体因与管壁发生摩擦，以及流体之间的内摩擦而损失的能量。

一般说，在不同直径的管段上，沿程损失是不同的。

总的沿程损失为各分段损失之和，即

（１０--8）

（２）局部阻力水头损失：

在某些局部地方由于管径的改变（突扩、突缩、渐扩、渐缩等），以及方向的改变（弯头），或者由于装置了某些配件（阀门、量水表等）而产生的额外的能量损失。

原因在于水流中要产生大量的旋涡，这些旋涡的能量不断地转变为热能而逸散于流体中，从而使流体的总机械能减少。

总的局部损失为各个局部损失之和，即

（１０--9）

总水头损失为

（１０--10）

采用第九章量纲分析获得的通用公式（达西公式）计算沿程损失：

（１０--11）

局部损失的计算，也采用类似于达西公式的计算公式：

（１０--12）

ζ称为局部损失系数，由实验来决定，Ｕ通常取损失完了以后的速度。

常见局部装置的局部损失系数见表（10--3）。

局部损失系数的计算式（10--12），可由管道截面突然扩大流段应用动量定理推导，留给读者来完成。

一、尼古拉兹实验

１．层流区Ｒｅ＜2000

管壁的粗糙度对沿程阻力系数没有影响，

２．过渡区２０００＜Ｒｅ＜３１６０

过渡区是层流向湍流过渡的不稳定区域。

研究得还不够充分，富兰凯尔得出：

（１０--4３）

λ仍然与相对粗糙度无关。

３．湍流光滑管区３１６０＜Ｒｅ＜２３d/图10—13尼古拉兹实验

勃拉休斯（）光滑管公式：

（１０--44）

适用于３１６０＜Ｒｅ＜１０５区段。

Ｒｅ＝１０５～３×１０6，则普朗特的阻力定律与实验符合很好。

（１０--45）

λ只是Ｒｅ的函数，与Δ／ｄ无关。

４．湍流粗糙管过渡区２３d/＜Ｒｅ＜５６０d/，

柯列布洛克（）公式:

（１０--46）

Δ对于工业用管并非均匀的，其值查表（10--２）（见教材）。

５．湍流粗糙管阻力平方区Ｒｅ＞５６０d/

尼古拉兹公式

（１０--47）

在这一区域内沿程损失与流速平方成正比，故称阻力平方区，或者叫“完全湍流区”。

另外，因为这时阻力规律与Ｒｅ无关，做管路实验时，可以认为自动满足了雷诺相似律，因此该区域又称为“自动模拟区”。

二、莫迪图

对于新的工业管道，使用莫迪图查找λ是很方便的，

λ＝λ（Ｒｅ，Δ／ｄ）。

绘制该图湍流流动过渡区部分

的基础是柯列布洛克公式，即（１０--46）式。

分五个区域，图10—14莫迪图

皮勾（Ｒ．Ｊ．Ｓ．Ｐｉｇｏｔｔ）推荐的过渡区同完全粗糙区之间分界线的雷流数为

（１０--48）

§10—10管路水力计算

简单管路：

管径沿程不变的管道。

一、锅炉供水管路

如图10-22所示的管路可以看作是船舶锅炉

系统从给水加热器到水泵的一段，假定水箱水面

上的压力是ｐ０（不一定是大气压力），管口处的压

力是ｐ１，管口在水面以下的垂直高度是Ｈ，管径图10-22

是ｄ，管长为ｌ，管路上有两个阀门及一个弯头。

由于管道和容器相接，容器内的水在高Ｈ及ｐ０的作用下就沿着管道流出来（如果阀门开放），设流量是Ｑ。

通常，Ｑ，Ｈ，ｄ是有一定联系的，现在的问题是，在给定其中两个量的情况下，求出第三个量来。

我们先来看，如果已给Ｑ和ｄ，问水头高Ｈ是多少，才能保证所要求的流量。

列０－０截面和１－１截面的柏努利方程式，同时考虑到沿程损失和局部损失ｈｖ＝Σｈｆ＋Σｈｊ。

取１－１作为基准线；则有

式中因为水箱水面面积很大,U０可以略去；则可解出

（１０--62）

按上式反解出Ｑ，得

（10--63）问题：

λ＝λ（Ｒｅ，Δ／ｄ）＝λ（Ｑ，Δ／ｄ），在Ｑ未知之前，λ就未知，采用“逐次逼近法”，就是先假定λ和Ｒｅ无关（即与Ｑ无关），根据平方区的阻力系数公式，求出一个近似的λ１并将它代入到公式中去，得到第一个近似的Ｑ１，按照Ｑ１计算相应的Ｒｅ，然后再根据阻力系数公式求出新的λ2，进而再求Ｑ2。

直到这样的程度：

前一次求得的流量和后一次求得的流量很接近，就得到了正确解答。

采用计算机编程计算更简单。

三、管路联水泵

船上的污水泵把舱底水排出船外，取污水水面为

基准面０－０，从它到２－２截面的高度为ｈ，从

０－０到泵的一段管长为ｌ１（称为吸水管），从泵

到２－２一段管长为ｌ2（称为压水管）。

并假定，

两段直径均相等，为ｄ，管路有一些局部阻力，如拦物栅、阀门、弯头等。

图10--23

出表示能量关系的柏努利方程式，就有

Ｕ０就可略而不计，解出Ｈｐ得

（１０--64）

可见，泵供给单位重量的水的能量用于：

（１）把水举起ｈ高；

（２）克服两个截面的压力差。

通常ｐ２＝ｐ0＝ｐa（大气压），故此项就化为零。

（３）克服整个管路上（包括吸水管和压水管）的总水头损失。

由此不难算出泵的功率：

每秒钟重量流量＝γＱ（Ｎ／ｓ）

每秒钟供给水的能量＝γＱＨｐ（Ｗ）（Ｊ／ｓ）

即泵的功率为

例水平放置的15m长的新铸铁管，管子内径25mm，管内水温为１５℃，平均流速为5m/s，相对粗糙度为，求：

（１）体积流量；（２）沿程阻力系数。

解：

由莫迪曲线查得摩擦阻力系数λ＝。

例有一新的无涂层的铸铁管，长305m，内径305，１５．６℃的水以1.525m/s的速度流经该管道，求水头损失，这里相对粗糙度为。

解：

１５．６℃的水的运动粘度ν＝１．１３×１０－６ｍ２／ｓ，流动雷诺数

流动为湍流，由Δ／ｄ＝和Ｒｅ＝４．１１×１０５查图得λ＝。

水头损失：

例如图所示的水泵取水装置，已知管长Ｌ１＝20ｍ，管径ｄ１＝150mm，水泵的吸水管长Ｌ2＝12ｍ，管径ｄ2＝150ｍｍ，假定管路的阻力

系数λ＝，水泵位于水池水平上2ｍ处，若水泵

入口处的真空度不得超过６ｍ水柱。

求极限情况下（

最大许可的流量）水池与水井液面高差Ｈ为多少最大

流量为多少

解：

列水井液面至水泵入口处的柏努利方程

解得：

（１）

再列水池液面到水井液面的柏努力利方程：

（２）

由（１）和（２）式联立解得

则

例已知管径为d=200mm，流量Q=5L/s，水的运动粘性系数v=×10-5m2/s，管壁绝对粗糙度△=0.2mm，试求管流的沿程阻力系数λ和当管长为20m时的沿程损失hf。

解：

首先应判别管流流态

故为湍流状态。

因Re=21333＞105，可采用布拉修斯公式

（水柱）

例如图所示的并联管路（两根或两根以上的简单管路

在同一点分叉然后又在另一点汇合的管路），A、B两点之

间有1、2、3根管道，直径分别为d1、d2、d3，长度分别

为L1、L2、L3，流量分别为Q1、Q2、Q3，沿程损失分别为

hf1、hf2、hf3。

在A、B两处安装的测压管其液面

差为hf。

解：

不难理解A、B两处的压力差就是任意一条管道的水头损失，即

（10--66）

或

（10--67）

连续性方程

则

（10--68）

若令

从而总流量

或

则沿程损失

（10--69）

hf求出后代入（10--68）便可求出Qi。

需要指出的是尽管各管道的沿程损失相同，但由于各管长、管径、粗糙度不一样，因而流量也不一样，那么各管道的总机械能损失是不相同的。

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