圆周角和圆心角的关系 练习题.docx
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圆周角和圆心角的关系练习题
第3章第4节圆周角和圆心角的关系
同步检测
一.选择题
1.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上,点P在CD上不同于点C的任意一点,则∠BPC的度数是( )
A.45°B.60°C.75°D.90°
答案:
A
解析:
解答:
连接OB,OC,
∵正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC=
∠BOC=45°.
故选A.
分析:
首先连接OB,OC,由正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上,可得∠BOC=90°,然后由圆周角定理,即可求得∠BPC的度数.
2.如图,AB.CD都是⊙O的弦,且AB⊥CD.若∠CDB=62°,则∠ACD的大小为( )
A.28°B.31°C.38°D.62°
答案:
A
解析:
解答:
∵AB⊥CD,
∴∠DPB=90°,
∵∠CDB=62°,
∴∠B=180°-90°-62°=28°,
∴∠ACD=∠B=28°.
故选A.
分析:
利用垂直的定义得到∠DPB=90°,再根据三角形内角和定理求出∠B=180°-90°-62°=28°,然后根据圆周角定理即可得到∠ACD的度数.
3.如图,AB是⊙O的直径,若∠BAC=35°,则∠ADC=( )
A.35°B.55°C.70°D.110°
答案:
B
解析:
解答:
:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠BAC=35°,
∴∠ABC=180°-90°-35°=55°,
∴∠ADC=∠ABC=55°.
故选B.
分析:
先根据圆周角定理求出∠ACB=90°,再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数,根据圆周角定理即可得出结论.
4.下列命题中,正确的命题个数是( )
①顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角度数等于圆心角度数的一半;
③90°的圆周角所对的弦是直径;④圆周角相等,则它们所对的弧也相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
答案:
A
解析:
解答:
解:
①中,该角还必须两边都和圆相交才行.错误;
②中,必须是同弧或等弧所对,错误;
③正确;
④中,必须在同圆或等圆中,错误.
故选A.
分析:
根据圆周角的概念和定理,逐条分析判断.
5.如图,已知A,B,C在⊙O上,
为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是( )
A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C
答案:
A
解析:
解答:
如图,由圆周角定理可得:
∠AOB=2∠C.
故选:
A.
分析:
圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.根据圆周角定理,可得∠AOB=2∠C.
6.如图,⊙O的弦CD与直径AB相交,若∠ACD=35°,则∠BAD=( )
A.55°B.40°C.35°D.30°
答案:
A
解析:
解答:
∵∠ACD与∠B是AD对的圆周角,
∴∠B=∠ACD=35°,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90°-∠B=55°.
故选A.
分析:
由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠B的度数,又由AB是⊙O的直径,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角,即可求得∠ADB=90°,继而可求得∠BAD的度数.
7.如图,⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=40°,则∠AOC的度数为( )
A.20°B.40°C.60°D.80°
答案:
D
解析:
解答:
∵⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=40°,
∴∠AOC=2∠ABC=80°.
故选:
D.
分析:
由⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=40°,根据圆周角定理,即可求得答案.
8.如图所示,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠AED的正切值等于( )
A.
B.
C.2D.
答案:
D
解析:
解答:
∵∠E=∠ABD,
∴tan∠AED=tan∠ABD=
.
故选D.
分析:
根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解.
9.如图,△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=90°,则∠AOC的大小是( )
A.30°B.45°C.60°D.70°
答案:
C
解析:
解答:
∵∠ABC=
∠AOC,
而∠ABC+∠AOC=90°,
∴
∠AOC+∠AOC=90°,
∴∠AOC=60°.
故选:
C.
分析:
先根据圆周角定理得到∠ABC=
∠AOC,由于∠ABC+∠AOC=90°,所以
∠AOC+∠AOC=90°,然后解方程即可.
10.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,连接AC.AD,若∠CAB=35°,则∠ADC的度数为( )
A.35°B.45°C.55°D.65°
答案:
C
解析:
解答:
连接BC,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵∠CAB=35°,
∴∠B=55°,
∴∠ADC=55°.
故选C.
分析:
连接BC,推出Rt△ABC,求出∠B的度数,即可推出∠ADC的度数.
11.若四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且∠A:
∠B:
∠C=1:
3:
8,则∠D的度数是( )
A.10°B.30°C.80°D.120°
答案:
D
解析:
解答:
设∠A=x,则∠B=3x,∠C=8x,
因为四边形ABCD为圆内接四边形,
所以∠A+∠C=180°,
即:
x+8x=180,
∴x=20°,
则∠A=20°,∠B=60°,∠C=160°,
所以∠D=120°,
故选D.
分析:
本题可设∠A=x,则∠B=3x,∠C=8x;利用圆内接四边形的对角互补,可求出∠A.∠C的度数,进而求出∠B和∠D的度数,由此得解.
12.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是( )
A.115°B.l05°C.100°D.95°
答案:
B
解析:
解答:
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
而∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD,
而∠BAD=105°,
∴∠DCE=105°.
故选B.
分析:
根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°,而∠BCD与∠DEC为邻补角,得到∠DCE=∠BAD=105°.
13.如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A.点B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内
上一点,∠BMO=120°,则⊙C的半径长为( )
A.6B.5C.3D.3
答案:
C
解析:
解答:
∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°,
∴∠BAO=60°,
∵AB是⊙C的直径,
∴∠AOB=90°,
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°,
∵点A的坐标为(0,3),
∴OA=3,
∴AB=2OA=6,
∴⊙C的半径长=
=3.
故选:
C.
分析:
先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数,由圆周角定理可知∠AOB=90°,故可得出∠ABO的度数,根据直角三角形的性质即可得出AB的长,进而得出结论.
14.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若它的一个外角∠DCE=70°,则∠BOD=( )
A.35°B.70°C.110°D.140°
答案:
D
解析:
解答:
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠A=∠DCE=70°,
∴∠BOD=2∠A=140°.
故选D.
分析:
由圆内接四边形的外角等于它的内对角知,∠A=∠DCE=70°,由圆周角定理知,∠BOD=2∠A=140°.
15.如图,已知经过原点的⊙P与x.y轴分别交于A.B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=( )
A.80°B.90°C.100°D.无法确定
答案:
B
解析:
解答:
∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,
∴∠AOB=∠ACB,
∵∠AOB=90°,
∴∠ACB=90°.
故选B.
分析:
由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,根据圆周角定理,即可求得∠ACB=∠AOB=90°.
二.填空题
16.如图,△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上,∠OAC=20°,则∠B的度数是
答案:
70°
解析:
解答:
解:
∵OA=OC,∠OAC=20°,
∴∠ACO=∠OAC=20°,
∴∠AOC=180°-∠ACO-∠OAC=180°-20°-20°=140°,
∴∠B=
∠AOC=
×140°=70°.
故答案为:
70°.
分析:
先根据等腰三角形的性质求出∠ACO的度数,再由三角形内角和定理求出∠AOC的度数,由圆周角定理∠B的度数即可.
17.如图,△ABC内接于⊙O,∠ABC=70°,∠CAB=50°,点D在⊙O上,则∠ADB的
大小为.
答案:
60°
解析:
解答:
∵∠ABC=70°,∠CAB=50°,
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=60°,
∴∠ADB=∠ACB=60°.
故答案为60°.
分析:
先根据三角形内角和定理计算出∠ACB的度数,然后根据圆周角定理求解.
18.如图,A.B.C.D都在⊙O上,∠B=130°,则∠AOC的度数是
答案:
100°
解析:
解答:
∵A.B.C.D都在⊙O上,即四边形ABCD为⊙O内接四边形,
∴∠D+∠B=180°,又∠B=130°,
∴∠D=180°-∠B=180°-130°=50°,
又∠D为⊙O的圆周角,∠AOC为⊙O的圆心角,且两角所对的弧都为
,
则∠AOC=2∠D=100°.
故答案为:
100°
分析:
由A.B.C.D四个点都在圆O上,得到四边形ABCD为圆O的内接四边形,根据圆内接四边形的对角互补得到∠B与∠D互补,由∠B的度数求出∠D的度数,∠D为圆O的圆周角,所求的角∠AOC是圆O的圆心角,且两角所对的弧为同一条弧,根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,由∠D的度数可求出∠AOC的度数.
19.如图,A.B.C.D四点在⊙O上,OC⊥AB,∠AOC=40°,则∠BDC的度数是
答案:
20°
解析:
解答:
∵OC⊥AB,
∴
∴∠CDB=
∠AOC,
而∠AOC=40°,
∴∠CDB=20°.
故答案为20°.
分析:
由OC⊥AB,根据垂径定理得到弧AC=弧BC,再根据圆周角定理得∠CDB=
∠AOC,而∠AOC=40°,即可得到∠BDC的度数.
20.如图,在△ABC中,∠B=60°,∠C=70°,若AC与以AB为直径的⊙O相交于点D,则∠BOD的度数是度.
答案:
100
解析:
解答:
∵在△ABC中,∠B=60°,∠C=70°,
∴∠A=50°,
∵∠BOD=2∠A,
∴∠BOD=100°.
故答案为:
100.
分析:
先根据三角形内角和定理求出∠A的度数,再根据圆周角定理即可求得∠BOD的度数.
三.解答题
21.请用科学的方法证明圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
答案:
①如图
(1),当点O在∠BAC的一边上时,
∵OA=OC,
∴∠A=∠C,
∵∠BOC=∠A+∠C,
∴∠BAC=
∠BOC;
②如图
(2)当圆心O在∠BAC的内部时,延长BO交⊙O于点D,连接CD,则
∠D=∠A(同弧或等弧所对的圆周角都相等),
∵OC=OD,
∴∠D=∠OCD,
∵∠BOC=∠D+∠OCD(三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和),
∴∠BOC=2∠A,
即∠BAC=
∠BOC.
③如图(3),当圆心O在∠BAC的外部时,延长BO交⊙O于点E,连接CE,则
∠E=∠A(同弧或等弧所对的圆周角都相等),
∵OC=OE,
∴∠E=∠OCE,
∵∠BOC=∠E+∠OCE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴∠BOC=2∠A,
即∠BAC=
∠BOC.
解析:
分析:
分别从当点O在∠BAC的一边上时,当圆心O在∠BAC的内部时与当圆心O在∠BAC的外部时,去分析证明,即可证得结论.
22.如图所示,∠BAC是⊙O的圆周角,且∠BAC=45°,BC=2
,试求⊙O的半径大小.
答案:
∵∠BAC=45°,
∴∠B0C=90°,
∵BC=2
,
∴OB=OC=2.
即⊙O的半径为2.
解析:
分析:
根据圆周角定理,可求∠B0C=90°,即可知△BOC为等腰直角三角形,故可求0B=OC=1.
23.已知⊙O中,弦AB的长等于⊙O的半径,求弦所对的圆心角和圆周角的度数.
答案:
画出图形:
连接OA.OB,
∵AB=OA=OB,
∴∠AOB=60°.
分两种情况:
①在优弧上任取一点C,连接CA,CB,
则∠C=
∠AOB=30°,
②在劣弧上任取一点D,连接AD.BD,
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形,
∴∠C+∠ADB=180°,
∴∠ADB=180°-∠C=150°.
综上所述,弦AB所对的圆心角是60°,圆周角是30°或150°.
解析:
分析:
根据已知条件得出△OAB是等边三角形,则∠AOB=60°,再根据弦AB所对的弧有两段,一段是优弧,一段是劣弧,然后分类讨论,即可得出答案.
24.如图,在⊙O中,弦AB=3cm,圆周角∠ACB=60°,求⊙O的直径.
答案:
2
解析:
解答:
过A点作直径AD,连接BD,如图,
∠ABD=90°,
又∵∠ADB=∠ACB=60°,
∴∠BAD=30°,
而AB=3cm,
∴BD=
,
∴AD=2BD=2
(cm),
即⊙O的直径为2
cm.
故答案为:
2
.
分析:
过A点作直径AD,则∠ABD=90°,∠ADB=∠ACB=60°,在Rt△ABD中,AB=3cm,利用三边的数量关系可求出AD.
25.如图,在半径为6cm的圆中,弦AB长6
cm,试求弦AB所对的圆周角的度数.
答案:
如图,
设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P,劣弧上所对的圆周角为∠P′,
连接OA,OB,过O点作OC⊥AB,垂足为C,
由垂径定理,得AC=
AB=3
,
在Rt△AOC中,OA=6,sin∠AOC=
,
解得∠AOC=60°,
所以,∠AOB=2∠AOC=120°,
根据圆周角定理,得∠P=
∠AOB=60°,
又APBP′为圆内接四边形,
所以,∠P′=180°-∠P=120°,
故弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°
解析:
分析:
设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P,劣弧上所对的圆周角为∠P′,连接OA,OB,过O点作OC⊥AB,垂足为C,由垂径定理可知AC=
AB=3
,解直角三角形得∠AOC的度数,由垂径定理可知,∠AOB=2∠AOC,由圆周角定理得∠P=
∠AOB,利用∠P与∠P′的互余关系求∠P′.