三角形的证明.docx

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三角形的证明

三角形的证明

等腰三角形

1、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，这个等腰三角形的底和腰长分别为

2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BP=CE，BD=CP，则∠DPE=

3、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点。

已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数有个。

4、如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（10,0）、（0,4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为

5、等腰三角形底边上的高为18，一腰上的中线长为15，则等腰三角形的面积为

6、等腰三角形的底角为15°，腰上的高为16,那么腰长为________

2题图3题图4题图

7、等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为_______

8、如图1，点C为线段AB上一点，△ACM， △CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点E。

（1）求证：

AN=BM；

（2）求证：

 △CEF为等边三角形；

（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第

（1）、

（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）

9、如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：

AE=CD.

10、如图，在△ABC的外部，分别以AB、AC为直角边，点A为直角顶点，作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，CD与BE交于点P．

求证：

（1）CD=BE；

（2）∠BPC=90°．

11、如图：

在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

求证：

①△ADC≌△BEA；②BP=2PQ．

12、如图，点M、N分别在正三角形ABC的边BC、CA边上，且BM=CN，又AM、BN交于点O，

（1）求证∠BQM=60°.

（2）做完

（1）后，请完成以下问题：

①若将题中的条件“BM=CN”与结论“∠BQM=60°”交换，得到的命题是否正确？

②若将题中的点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？

③若将题中的条件“点M、N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M、N分别在正方形ABCD的BC、CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？

请证明②③。

13、

（1）如图

（1），已知：

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：

DE=BD+CE．

（2）如图

（2），将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？

如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：

如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

14、如图所示，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF也是等边三角形。

除已知相等的边外，请你猜想有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。

15、数学课上，李老师出示了如下的题目：

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：

AEDB．

（2）特例启发，解答题目

解：

题目中，AE与DB的大小关系是：

AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

16、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在

（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，

（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．

17、如图所示，△ABC是正三角形，△BDC是∠BDC=120°的等腰三角形，以点D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。

探究：

线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明。

直角三角形

1、在锐角△ABC中，高AD、CE相交于H，且CH=AB，则∠ACB=度。

2、如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．

（1）求证：

△AOC≌△BOD；

（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．

3、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）若PA：

PB：

PC=3：

4：

5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

线段的垂直平分线

1、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，则EF的长为

1题图2题图3题图

2、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD=

3、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为

4、A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．

（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？

请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标；

（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场的位置，并求出它的坐标．

5、如图，在△ABC中，AB=8，AC=4，G为BC的中点，DG⊥BC交∠BAC的平分线AD于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线与F。

（1）求证：

BE=CF；

（2）求AE的长。

角平分线

1、如图所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路．现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有             处.

2、如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB=10cm，BC=8cm，CA=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离分别为

3、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，∠ABD=∠CBD，且BD=2，则四边形ABCD的面积为。

1题图2题图3题图

4、如图所示，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且点E是CD的中点，问AD、BC和AB之间有何关系？

5、在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD.

（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．