④等腰三角形的三角关系：
设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2、等腰三角形的判定
（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：
等角对等边）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形.
三、等边三角形
性质：
（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）三线合一
判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形
（3）：
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
四、直角三角形
（一）、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、勾股定理：
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
其它性质：
1、直角三角形斜边上的高线将直角三角形分成的两个三角形和原三角形相似。
2、常用关系式：
由三角形面积公式可得：
两直角边的积=斜边与斜边上的高的积
（二）、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系
，那么这个三角形是直角三角形。
（三）直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
五、角的平分线及其性质与判定
1、角的平分线：
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
2、角的平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理：
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
3、角的平分线的判定定理：
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
六、线段垂直平分线的性质与判定
1、线段的垂直平分线：
垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
定理：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
七、反证法
八、互逆命题、互逆定理
1、在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
2、如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
讲解
（一）选择题：
1.设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（）
2.具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）
A.顶角、一腰对应相等B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等D.一底角、底边对应相等
3.△ABC中，∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，CD⊥AB于点D，若BC=a，则AD等于（）
4.下列命题的逆命题是真命题的是（）
A.对顶角相等B.若a=b，则|a|=|b|
C.末位是零的整数能被5整除D.直角三角形的两个锐角互余
5.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）
A.30°B.36°C.45°D.70°
6.下列说法错误的是（）
A.任何命题都有逆命题B.定理都有逆定理
C.命题的逆命题不一定是正确的D.定理的逆定理一定是正确的
（二）填空题：
1.如果等腰三角形的一个角是80°，那么另外两个角是____________度。
2.等腰三角形底角15°，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是__________。
3.在△ABC和△ADC中，下列论断：
①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：
____________。
4.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知：
AB=8cm，BC=10cm，则△EFC的周长=____________cm。
（三）作图题：
已知：
如图，△ABC中，AB=AC。
（1）按照下列要求画出图形：
①作∠BAC的平分线交BC于点D；
②过D作DE⊥AB，垂足为点E；
③过D作DF⊥AC，垂足为点F。
（2）根据上面所画的图形，求证：
EB=FC。
（四）阅读下题及其证明过程：
已知：
如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：
∠BAE=∠CAE。
证明：
在△AEB和△AEC中，
∴△AEB≌△AEC（第一步）
∴∠BAE=∠CAE（第二步）
问：
上面证明过程是否正确？
若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪？
（五）解答题：
1.已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，求△ODE的周长；
2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD=4cm，求AC的长；
（2）求证：
AB=AC+CD。
3.已知：
如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。
（1）当D点在什么位置时，DE=DF？
并加以证明。
（2）探索DE、DF与等腰△ABC的高的关系。
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。
求证：
AD垂直平分EF。
5.如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形，直线AN，MB交于点F。
图1图2
（1）求证：
AN=BM；
（2）求证：
△CEF为等边三角形；
（3）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第
（1）、
（2）两小题的结论是否仍然成立。
（不要求证明）
【模拟试题】
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列判断正确的是（）
A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B.有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2.具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（）
A.顶角、一腰对应相等B.底边、一腰对应相等
C.两腰对应相等D.一底角、底边对应相等
3.在平面直角坐标系xoy中，已知A（2，－2），在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
4.到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）
A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点
C.三边上高的交点D.三边中垂线的交点
5.角平分线的尺规作图，其根据是构造两个全等三角形，由作图可知：
判断所构造的两个三角形全等的依据是（）
A.SSSB.ASAC.SASD.AAS
6.一架长2.5m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将滑动（）
A.0.9mB.1.5mC.0.5mD.0.8m
7.△ABC中，∠A：
∠B：
∠C=1：
2：
3，CD⊥AB于点D，若BC=a，则AD等于（）
A.
B.
C.
aD.
8.如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）
A.30°B.36°C.45°D.70°
9.如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）
A.45°B.55°C.60°D.75°
二、填空题：
（每小题3分，共30分）
10.如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是________或________。
11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，
分别表示这三个正方形的面积，
，则
________。
12.等腰三角形的腰长为2cm，面积等于1平方cm，则它的顶角的度数为________。
13.已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，则△ODE的周长________。
14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于D点，则∠BCD的度数是________。
15.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为________。
16.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是________。
17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：
①AC⊥BD；②BC=DE；③
；④△ABC是正三角形。
请写出正确结论的序号________（把你认为正确结论的序号都填上）。
三、（每小题6分，共12分）
18.已知：
如图，D是等腰△ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。
当D点在什么位置时，DE=DF？
并加以证明。
19.如图是第七届国际数学教育大会的会徽。
它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。
设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且
，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积。
OA1
OA2
OA3
OA4
OA5
OA6
OA7
OA8
四、（每小题8分，共18分）
20.如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：
（1）AD=CB；
（2）AE=CF；
（3）∠B=∠D；
（4）AD∥BC。
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编出一道题。
21.如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD、CD的长。
22.如图
（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c。
图
（2）是以c为直角边的等腰直角三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图
（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图
（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？
在图（3）中画出拼后的示意图（无需证明）。
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