三角形证明.docx

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三角形证明

三角形证明

1、等腰三角形

1．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是　　．

2．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为　　．

3．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为　　．

4．等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是　　．

5．等腰三角形的一个外角度数为100°，则顶角度数为　　．

6．如图，在△ABC中，∠ABC=120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE=ED=DB=BC，则∠A的度数为　　°．

7．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为　　．

8．如图：

在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=　　．

9．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有　　个．

2、直角三角形

10．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为　　．

11．如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，∠BAC=120°，过点A作AD⊥AC交BC于点D，则AD=　　cm．

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且EC=5，则AE的长为　　．

13．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　　分钟后△CAP与△PQB全等．

14．如果等腰三角形的一个内角为30°，腰长为10，那么腰上的高长为　　．

三、垂直平分线

15．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=　　．

16．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　　cm．

17．在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交BC与点M，AC的垂直平分线交BC于点N，则△AMN的周长=　　．

18．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=　　．

19．如图，已知在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AC于点D，且∠CBD：

∠ABD=4：

3，那么∠A=　　度．

20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=16°，则∠C的度数为　　度．

四、角平分线

21．如图，已知：

BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC=36cm2；，AB=12cm，BC=18cm，则DE的长为　　cm．

22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：

DC=3：

2，则点D到AB的距离为　　．

23．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB、BC、AC的距离相等，连接BO、CO，则∠BOC=　　°．

24．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　　处．

25．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于　　．

五、综合题

26．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：

△ABD是等腰三角形；

（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；

（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

27．在△ABC中，AB=AC．

（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　　

（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　　

（3）思考：

通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？

请用式子表示：

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？

如有，请你写出来，并说明理由．

2018年03月09日150****1260的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共25小题）

1．已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是　12cm　．

【解答】解：

等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，

当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，2cm，5cm+2cm＞5cm，满足三角形的三边关系，三角形的周长是12cm；

当腰长是2cm时，三角形的三边是2cm，2cm，5cm，2cm+2cm＜5cm，不满足三角形的三边关系．

故答案为：

12cm．

2．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为　7.5cm或11cm　．

【解答】解：

①当11cm为腰长时，则腰长为11cm，底边=26﹣11﹣11=4cm，因为11+4＞11，所以能构成三角形；

②当11cm为底边时，则腰长=（26﹣11）÷2=7.5cm，因为7.5+7.5＞11，所以能构成三角形．

故答案为：

7.5cm或11cm．

3．已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角为　50°或130°　．

【解答】解：

当为锐角时，如图

∵∠ADE=40°，∠AED=90°，

∴∠A=50°，

当为钝角时，如图

∠ADE=40°，∠DAE=50°，

∴顶角∠BAC=180°﹣50°=130°．

故答案为：

50°或130°．

4．等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是　40°或70°　．

【解答】解：

①70°是底角，则顶角为：

180°﹣70°×2=40°；

②70°为顶角；

综上所述，顶角的度数为40°或70°．

故答案为40°或70°

5．等腰三角形的一个外角度数为100°，则顶角度数为　80°或20°　．

【解答】解：

当100°的角是顶角的外角时，顶角的度数为180°﹣100°=80°；

当100°的角是底角的外角时，底角的度数为180°﹣100°=80°，所以顶角的度数为180°﹣2×80°=20°；

故顶角的度数为80°或20°．

故答案为：

80°或20°．

6．如图，在△ABC中，∠ABC=120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE=ED=DB=BC，则∠A的度数为　15　°．

【解答】解：

设∠A=x°，

∵AE=ED，

∴∠ADE=∠A=x°，

∴∠BED=∠A+∠ADE=2x°，

∵ED=DB，

∴∠ABD=∠BED=2x°，

∴∠BDC=∠A+∠ABD=3x°，

∵DB=BC，

∴∠C=∠BDC=3x°，

∵∠ABC+∠A+∠C=180°，∠ABC=120°，

∴120+x+3x=180，

解得：

x=15，

∴∠A=15°．

7．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=∠B，AB=2cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABP要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为　2s或6s　．

【解答】解：

当AB=AP时，点P与点C重合，如图1所示，

过点A作AD⊥BC于点D，

∵∠B=30°，AB=2cm，

∴BD=AB•cos30°=2×=3cm，

∴BC=6cm，即运动的时间6s；

当AB=BP时，

∵AB=2cm，

∴BP=2cm，

∴运动的时间2s．

故答案为：

2s或6s．

8．如图：

在△ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，则∠A=　45°　．

【解答】解：

∵DE=EB

∴设∠BDE=∠ABD=x，

∴∠AED=∠A=2x，

∴∠BDC=∠C=∠ABC=3x，

在△ABC中，3x+3x+2x=180°，

解得x=22.5°．

∴∠A=2x=22.5°×2=45°．

故答案为：

45°．

9．如图，在4×3的正方形网格中，点A、B分别在格点上，在图中确定格点C，则以A、B、C为顶点的等腰三角形有　3　个．

【解答】解：

如图，

则符合要求的有：

C1，C2，C3共3个点；

故答案为：

3．

10．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为　4cm　．

【解答】解：

如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，

∵∠B=15°，AB=AC，

∴∠DAC=30°，

∵CD为AB上的高，AC=8cm，

∴CD=AC=4cm．

故答案为：

4cm．

11．如图，△ABC中，AB=AC，BC=12cm，∠BAC=120°，过点A作AD⊥AC交BC于点D，则AD=　4　cm．

【解答】解：

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∵AD⊥AC，

∴∠CAD=90°，

∴∠DAC=30°，AD=BD，

∴DA=DC，

∴DC+2DC=12，

解得AD=CD=4，

故答案为4．

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且EC=5，则AE的长为　10　．

【解答】解：

连接BE，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴∠A=∠ABE=30°，

∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∴BE是∠ABC的角平线，

∴DE=CE=5，

在△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，

∴AE=2DE=10．

故答案为：

10．

13．如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动　4　分钟后△CAP与△PQB全等．

【解答】解：

∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，

∴∠A=∠B=90°，

设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；

则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12﹣x）m，

分两种情况：

①若BP=AC，则x=4，

AP=12﹣4=8，BQ=8，AP=BQ，

∴△CAP≌△PBQ；

②若BP=AP，则12﹣x=x，

解得：

x=6，BQ=12≠AC，

此时△CAP与△PQB不全等；

综上所述：

运动4分钟后△CAP与△PQB全等；

故答案为：

4．

14．如果等腰三角形的一个内角为30°，腰长为10，那么腰上的高长为　5或5　．

【解答】解：

（1）等腰三角形ABC的顶角是30°，BD⊥AC于D，如图所示：

在Rt△ABD中，∵∠A=30°，AB=AC=10，

∴BD=5；

（2）等腰三角形ABC的底角，是30°，BD⊥AC的反向延长线于D，

在Rt△ABD中，∵AB=AC=10，

∴∠C=∠ABC=30°，

∴∠BAD=60°，

∴∠ABD=30°，

∴AD=5．

由勾股定理得BD==5．

综上所述，这个等腰三角形腰上的高是5或5．

故答案为：

5或5．

15．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=　32°　．

【解答】解：

∵△ABC中，∠BAC=106°，

∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，

∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，

即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，

∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．

故答案为32°．

16．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是　19　cm．

【解答】解：

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=CD，AC=2AE=6cm，

又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，

∴AB+BD+CD=13cm，

即AB+BC=13cm，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．

故答案为19．

17．在△ABC中，BC=9，AB的垂直平分线交BC与点M，AC的垂直平分线交BC于点N，则△AMN的周长=　9　．

【解答】

解：

∵直线MP为线段AB的垂直平分线（已知），

∴MA=MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），

又直线NQ为线段AC的垂直平分线（已知），

∴NA=NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），

∴△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代换），

又BC=9，

则△AMN的周长为9．

故答案为：

9

18．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF=　48°　．

【解答】解：

∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，

∴∠ABC=2∠ABD=48°，∠DBC=∠ABD=24°，

∵∠A=60°，

∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣60°﹣48°=72°，

∵FE是BC的中垂线，

∴FB=FC，

∴∠FCB=∠DBC=24°，

∴∠ACF=∠ACB﹣∠FCB=72°﹣24°=48°，

故答案为：

48°．

19．如图，已知在Rt△ABC中，斜边AB的垂直平分线交边AC于点D，且∠CBD：

∠ABD=4：

3，那么∠A=　27　度．

【解答】解：

∵AB的垂直平分线DE，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD，

设∠CBD=4x，∠ABD=3x，则∠A=3x，

∵∠C=90°，

∴∠A+∠ABC=3x+4x+3x=90°，

∴10x=90°，

∴x=9°，

∴∠A=3x=27°，

故答案为：

27．

20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=16°，则∠C的度数为　37　度．

【解答】解：

∵ED是AC的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴∠1=∠C，

又∵∠BAE=16°，

∠B=90°，

∴∠1+∠C+∠BAE+∠B=180°，

即：

2∠C+16°+90°=180°，

解得∠C=37°．

故答案为：

37．

21．如图，已知：

BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC=36cm2；，AB=12cm，BC=18cm，则DE的长为　2.4　cm．

【解答】解：

如图，过点D作DF⊥AB于F，

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，

∴DE=DF，

S△ABC=S△ABD+S△BCD，

=AB•DF+BC•DE，

=×12•DE+×18•DE，

=15DE，

∵△ABC=36cm2，

∴15DE=36，

解得DE=2.4cm．

故答案为：

2.4．

22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=10cm，BD：

DC=3：

2，则点D到AB的距离为　4cm　．

【解答】解：

∵BC=10cm，BD：

DC=3：

2，

∴DC=4cm，

∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，

∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．

故答案为4cm．

23．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB、BC、AC的距离相等，连接BO、CO，则∠BOC=　125　°．

【解答】解：

∵点O到AB、BC、AC的距离相等，

∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∴∠OBC=ABC，∠OCB=∠ACB，

∵∠A=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，

∴∠OBC+∠OCB=110°=55°，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=125°．

故答案为：

125．

24．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　4　处．

【解答】解：

∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

∴△ABC内角平分线的交点满足条件；

如图：

点P是△ABC两条外角平分线的交点，

过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，

∴PE=PF，PF=PD，

∴PE=PF=PD，

∴点P到△ABC的三边的距离相等，

∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；

综上，到三条公路的距离相等的点有4个，

∴可供选择的地址有4个．

故答案为：

4．

25．如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于　8　．

【解答】解：

作PE⊥OA于E，

∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，

∴PE=PD=4，

∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，

∴∠AOB=30°，

∵PC∥OB，

∴∠ECP=∠AOB=30°，

∴PC=2PE=8，

故答案为：

8．

二．解答题（共2小题）

26．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：

△ABD是等腰三角形；

（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；

（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．

【解答】解：

（1）证明：

∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，

∴DB=DA，

∴△ABD是等腰三角形；

（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，

∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°﹣40°）÷2=70°

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°；

（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，

∴AB=2AE=12，

∵△CBD的周长为20，

∴AC+BC=20，

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．

27．在△ABC中，AB=AC．

（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　15°　

（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=　20°　

（3）思考：

通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？

请用式子表示：

　∠EDC=∠BAD　

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？

如有，请你写出来，并说明理由．

【解答】解：

（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BAD=30°，

∴∠BAD=∠CAD=30°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=75°，

∴∠EDC=15°．

（2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BAD=40°，

∴∠BAD=∠CAD=40°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED=70°，

∴∠EDC=20°．

（3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=∠BAD）

（4）仍成立，理由如下

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，

∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC

=2∠EDC+∠C

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C

∴∠BAD=2∠EDC．

故分别填15°，20°，∠EDC=∠BAD