函数单调性.docx

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函数单调性

2.1《函数的单调性》教学设计

教学基本信息

课题

函数的单调性

学科

数学

学段

高中

年级

高一

教学辅助设备

多媒体辅助教学

教材

书名：

《普通高中课程标准实验教科书数学1·必修B》

出版社：

北京师范大学教育出版社     

1.教学背景分析（教学内容分析，学情分析）

学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其它性质有着示范性的作用，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础。

单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。

另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的联系。

通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。

在此学习单调性，有助于学生从感性思维到理性思维的过渡。

 2.教学目标（含重、难点）

知识与技能目标：

（1）从形与数两方面理解单调性的概念

（2）初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法

过程与方法目标：

（1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力

（2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法

（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程

情感态度价值观目标：

通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题

教学重点：

函数单调性的概念形成和初步运用

教学难点：

函数单调性的概念形成

3.学习环境选择与学习资源设计

1．学习环境选择（打√）

（1）WEB教室√

（2）局域网

（3）城域网

（4）校园网

（5）因特网

（6）其他

2．学习资源类型（打√）

（1）课件√

（2）工具√

（3）专题学习网站

（4）多媒体资源库

（5）案例库

（6）题库

（7）网络课程

（8）其他

3．学习资源内容简要说明

（1）、多媒体课件里面包含了这节课的学习主题、学习目标、重点难点、具有对称性的一些图片、函数的图像，函数的单调性的定义，函数单调性判断方法、练习题、学习拓展等。

（2）、充分利用几何画板分析函数图象，引导学生发现函数图像的特征。

4.学习情境创设

1．学习情境类型（打√）

（1）真实情境√

（2）问题性情境√

（3）虚拟情境

（4）其他√

2．学习情境设计

（1）、真实情境：

创设了之前学过的简单函数，激起学生学习这节课的兴趣和热情。

（2）、问题情境：

创设了观察函数图像，说出函数的变化趋势。

（3）、其他情境：

给学生提供了交流、展示自己的平台。

5.流程图

6.教学过程

环节

教师活动

学生活动

设计意图

课前引入

问题1：

分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律？

描述完前两个图象后让学生们对递增和递减有一个认识。

二次函数的增减性要分段说明

老师引导学生：

在y轴的左侧，任意x1,x2∈[0，+∞）,且x1

那么在y轴右侧是什么情况呢？

大家描述一下。

让学生们学会用数学符号语音对递增的图像和递减的图像进行描述，为给出函数的单调性概念，学生更容易理解做铺垫。

提问：

能否用自己的理解说说什么函数是单调递增的，什么函数是单调递减的？

通过PPT放映，让学生观察图象，对函数增减性质进行描述

学生回答：

函数y=2x是呈上升趋势的，y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大

 函数y=-2x是呈下降趋势的，y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小

 y=x2+1在y轴左侧呈下降趋势，y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小

y=x2+1在y轴右侧呈上升趋势，在（0，+∞）上y随x增大而增大

学生根据函数左侧的情况描述函数右侧的情况：

在y轴的左侧，任意x1,x2∈[0，+∞）且x1f（x2）,那么y=x2+1就说在[0，+∞）上是单调递减的.

结合单调性是局部性质，用直观描述回答：

在一个区间里，y随x增大而增大，则函数是单调递增的；y随x增大而减小，则函数是单调递减的。

数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。

通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。

环节

教师活动

学生活动

设计意图

新知识的讲解

提问：

（以y=x2+1在（0，+∞）上单调性为例）如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？

老师给出函数单调递增和递减的定义

在函数y=f（x）的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1,x2，∈A，当x1

让学生们类似的总结递减的定义

老师继续总结：

如果函数y=f（x）在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间，在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的，如果函数是减少的，那么它的图像是下降的。

下面给出子集单调性的定义

一般的，对于函数y=f（x）的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1,x2，∈A，当x1

那么类似的在数集A上是减少的定义是什么呢？

如果函数y=f（x）在某个子集

上是增加的或是减少的，那么就称函数y=f（x）在这个子集上具有单调性。

如果函数y=f（x）在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数还是减函数，统称为单调函数。

学生分组讨论，互相提出观点，有不同见解，疑问，先组内解决，解决不了老师补充。

根据刚才新课的课前引入，已引导学会用数学符号语音对递增的图像和递减的图像进行描述，学生有了基础，让学生用类比推理，将特殊的函数性质推广到一般的函数。

得出函数单调递增和单调递减的定义。

在函数y=f（x）的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1,x2，∈A，当x1f（x2）,那么就称函数y=f（x）在区间A上是减少的的，有时也称函数y=f（x）在区间A上是递减的。

学生一起回答：

一般的，对于函数y=f（x）的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x1,x2，∈A，当x1f（x2）,那么就称函数y=f（x）在数集A上是减少的

通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到“文字语言”到“符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。

另外，在此强调“任意性”的理解，从而达到突破难点，突出重点的目的。

例题1：

能否说f（x）=

在它的定义域上是减函数？

从这个例子能得到什么结论？

给出例子进行说明：

进一步提问：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数

再一次回归定义，强调任意性

思考、讨论，提出自己观点

学生提出反例，如x1=-1，x2=1

进一步得出结论：

函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，函数在A∪B上不一定是增（减）函数

将函数图象进行变形（如x<0时图象向下平移）

通过上面的问题，学生已经从描述性语言过渡到严谨的数学语言。

而对严谨的数学语言学生还缺乏准确理解，因此在这里通过问题深入研讨加深学生对单调性概念的理解。

环节

教师活动

学生活动

设计意图

例题2：

证明函数

在（0，+

）上是增函数

证明：

任取

且

∴函数

在（0，+

）上是增函数

例2：

判断函数

在（0，+∞）上的单调性

进一步提问：

如果把（0，+∞）条件去掉，如何解这道题？

（作业）

根据单调性定义进行证明

讨论，规范步骤

取值 

作差

变形

定号 

判断 

根据定义进行判断

体会判断可转化成证明

课后思考

本环节是对函数单调性概念的准确应用，本题采用前面出现过的函数，一方面希望学生体会到函数图象和数学语言从不同角度刻画概念，另一方面避免学生遇到障碍，而是把注意力都集中在单调性定义的应用上。

从知识、方法两个方面引导学生进行总结.

作业（1、2、4必做，3选做）

1、 证明：

函数

在区间

[0，+∞）上是增函数。

2、课上思考题

3、求函数

的单调区间

4、思考P46探索与研究

回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法

完成课堂反馈

使学生对单调性概念的发生与发展过程有清晰的认识，体会到数学概念形成的主要三个阶段：

直观感受、文字描述和严格定义

作业实现分层，满足学生需求

6.学习效果评价设计

学习效果预测：

   在本节课学习中，学生能理解单调性的定义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性

学习效果评价方式：

1、 课堂反馈：

证明：

函数

在（0，+∞）上是减函数

2、 教师评价：

课堂发言反映的思维深度；课堂发现问题的角度、能力；课堂练习的正确性；课堂学习的积极性

3、 学生自评：

本节课学习兴趣；独立思考的习惯；合作交流的意识；对知识、方法等收获的程度