运筹学第1章答案doc.docx
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运筹学第1章答案doc
1.2工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．
表1－23
产品
资源
A
B
C
资源限量
材料（kg）
1.5
1.2
4
2500
设备（台时）
3
1.6
1.2
1400
利润（元/件）
10
14
12
根据市场需求,预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：
表1－24窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
数量（根）
长度（m）
数量（根）
A1：
1.7
2
B1：
2.7
2
A2：
1.3
3
B2：
2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得
（1）用料最少；
（2）余料最少．
【解】第一步：
求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:
2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:
2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:
1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
400
A2:
1.3m
0
1
1
2
0
0
1
0
1
3
0
2
3
4
600
余料
0.6
0
0.3
0.7
0
0.3
0.7
0.6
1
0.1
0.9
0
0.4
0.8
第二步：
建立线性规划数学模型
设xj（j=1,2,…，14）为第j种方案使用原材料的根数，则
（1）用料最少数学模型为
用单纯形法求解得到两个基本最优解
X
（1）=（50,200,0,0,84,0,0,0,0,0,0,200,0,0）;Z=534
X
（2）=（0,200,100,0,84,0,0,0,0,0,0,150,0,0）;Z=534
（2）余料最少数学模型为
用单纯形法求解得到两个基本最优解
X
（1）=（0,300,0,0,50,0,0,0,0,0,0,200,0,0）;Z=0，用料550根
X
（2）=（0,450,0,0,0,0,0,0,0,0,0,200,0,0）;Z=0，用料650根
显然用料最少的方案最优。
1.4某企业需要制定1～6月份产品A的生产与销售计划。
已知产品A每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。
1～6月份产品A的单件成本与售价如表1－25所示。
表1－25
月份
123456
产品成本（元/件）
销售价格（元/件）
300330320360360300
350340350420410340
（1）1～6月份产品A各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；
（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。
【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.5某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：
方案一：
在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；
方案二：
在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；
方案三：
在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
方案四：
在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.
【解】是设xij为第i年投入第j项目的资金数，变量表如下
项目一
项目二
项目三
项目四
第1年
第2年
第3年
x11
x21
x31
x12
x23
x34
数学模型为
最优解X=（30000，0，66000，0，109200，0）；Z＝84720
1.6炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。
表1－26
成品油
高级汽油
一般汽油
航空煤油
一般煤油
半成品油
中石脑油
重整汽油
裂化汽油
中石脑油
重整汽油
裂化汽油
轻油、裂化油、重油、残油
轻油、裂化油、重油、残油按10:
4:
3:
1调合而成
辛烷值
≥94
≥84
蒸汽压：
公斤／平方厘米
≤1
利润（元/桶）
5
4.2
3
1.5
半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表1－27。
表1－27
半成品油
1中石脑油
2重整汽油
3裂化汽油
4轻油
5裂化油
6重油
7残油
辛烷值
80
115
105
蒸汽压：
公斤／平方厘米
1.0
1.5
0.6
0.05
每天供应数量（桶）
2000
1000
1500
1200
1000
1000
800
问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。
解设xij为第i（i＝1,2,3,4）种成品油配第j（j=1,2,…,7）种半成品油的数量（桶）。
总利润：
高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
航空煤油蒸气压约束
一般煤油比例约束
即
半成品油供应量约束
整理后得到
1.8将下列线性规划化为标准形式
（1）
【解】
（1）令
为松驰变量，则标准形式为
（2）
【解】
（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为
（3）
【解】方法1：
方法2：
令
则标准型为
（4）
【解】令
，线性规划模型变为
标准型为
1.9设线性规划
取基
分别指出
对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明
是不是可行基．
【解】B1：
x1，x3为基变量，x2，x4为非基变量,基本解为X=（15，0，20，0）T，B1是可行基。
B2：
x1,x4是基变量，x2,x3为非基变量，基本解X=（25，0，0，－40）T，B2不是可行基。
1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．
（1）
【解】单纯形法：
C（j）
1
3
0
0
b
Ratio
C（i）
Basis
X1
X2
X3
X4
0
X3
-2
[1]
1
0
2
2
0
X4
2
3
0
1
12
4
C（j）-Z（j）
1
3
0
0
0
3
X2
-2
1
1
0
2
M
0
X4
[8]
0
-3
1
6
0.75
C（j）-Z（j）
7
0
-3
0
6
3
X2
0
1
0.25
0.25
7/2
1
X1
1
0
-0.375
0.125
3/4
C（j）-Z（j）
0
0
-0.375
-0.875
45/4
对应的顶点：
基可行解
可行域的顶点
X
（1）=（0，0，2，12）、
X
（2）=（0，2，0，6，）、
X（3）=（
、
（0，0）
（0，2）
最优解
（2）
【解】
单纯形法：
C（j）
-3
-5
0
0
0
b
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X3
0
1
2
1
0
0
6
3
X4
0
1
[4]
0
1
0
10
2.5
X5
0
1
1
0
0
1
4
4
C（j）-Z（j）
-3
-5
0
0
0
0
X3
0
[0.5]
0
1
-0.5
0
1
2
X2
-5
0.25
1
0
0.25
0
2.5
10
X5
0
0.75
0
0
-0.25
1
1.5
2
C（j）-Z（j）
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C（j）-Z（j）
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C（j）-Z（j）
0
0
2
0
1
-16
对应的顶点：
基可行解
可行域的顶点
X
（1）=（0，0，6，10，4）、
X
（2）=（0，2.5，1，0，1.5，）、
X（3）=（2，2，0，0，0）
X（4）=（2，2，0，0，0）
（0，0）
（0，2.5）
（2，2）
（2，2）
最优解：
X=（2，2，0，0，0）；最优值Z＝－16
该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。
1.11用单纯形法求解下列线性规划
（1）
【解】单纯形表：
C（j）
3
4
1
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
2
[3]
1
1
0
1
1/3
X5
0
1
2
2
0
1
3
3/2
C（j）-Z（j）
3
4
1
0
0
0
X2
4
[2/3]
1
1/3
1/3
0
1/3
1/2
X5
0
-1/3
0
4/3
-2/3
1
7/3
M
C（j）-Z（j）
1/3
0
-1/3
-4/3
0
-4/3
X1
3
1
3/2
1/2
1/2
0
1/2
X5
0
0
1/2
3/2
-1/2
1
5/2
C（j）-Z（j）
0
-1/2
-1/2
-3/2
0
-3/2
最优解：
X=（1/2，0，0，0，5/2）；最优值Z＝3/2
（2）
【解】单纯形表：
C（j）
2
1
-3
5
0
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X5
0
1
5
3
-7
1
0
0
30
M
X6
0
3
-1
[1]
1
0
1
0
10
10
X7
0
2
-6
-1
[4]
0
0
1
20
5
C（j）-Z（j）
2
1
-3
5
0
0
0
X5
0
9/2
-11/2
5/4
0
1
0
7/4
65
M
X6
0
5/2
[1/2]
5/4
0
0
1
-1/4
5
10
X4
5
1/2
-3/2
-1/4
1
0
0
1/4
5
M
C（j）-Z（j）
-1/2
17/2
-7/4
0
0
0
-5/4
X5
0
32
0
15
0
1
11
-1
120
M
X2
1
5
1
5/2
0
0
2
-1/2
10
10
X4
5
8
0
7/2
1
0
3
-1/2
20
M
C（j）-Z（j）
-43
0
-23
0
0
-17
3
因为λ7＝3>0并且ai7<0（i=1,2,3），故原问题具有无界解，即无最优解。
（3）
【解】
C（j）
3
2
-0.125
0
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
-1
2
3
1
0
0
4
M
X5
0
[4]
0
-2
0
1
0
12
3
X6
0
3
8
4
0
0
1
10
10/3
C（j）-Z（j）
3
2
-1/8
0
0
0
0
X4
0
0
2
5/2
1
1/4
0
7
3.5
X1
3
1
0
-1/2
0
1/4
0
3
M
X6
0
0
[8]
11/2
0
-3/4
1
1
1/8
C（j）-Z（j）
0
2
11/8
0
-3/4
0
9
X4
0
0
0
9/8
1
7/16
-1/4
27/4
6
X1
3
1
0
-1/2
0
1/4
0
3
M
X2
2
0
1
[11/16]
0
-3/32
1/8
1/8
0.181818
C（j）-Z（j）
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
X3进基、X2出基，得到另一个基本最优解。
C（j）
3
2
-0.125
0
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
0
-18/11
0
1
13/22
-5/11
72/11
6
X1
3
1
8/11
0
0
2/11
1/11
34/11
M
X3
-0.125
0
16/11
1
0
-3/22
2/11
2/11
0.1818
C（j）-Z（j）
0
0
0
0
-9/16
-1/4
37/4
原问题具有多重解。
基本最优解
最优解的通解可表示为
即
（4）
【解】单纯形表：
C（j）
3
2
1
0
0
R.H.S.
Ratio
Basis
C（i）
X1
X2
X3
X4
X5
X4
0
5
4
6
1
0
25
5
X5
0
[8]
6
3
0
1
24
3
C（j）-Z（j）
3
2
1
0
0
0
X4
0
0
1/4
33/8
1
-5/8
10
X1
3
1
3/4
3/8
0
1/8
3
C（j）-Z（j）
0
-1/4
-1/8
0
-3/8
9
最优解：
X=（3，0，0，10，0）；最优值Z＝9
1.13在第1.9题中，对于基
求所有变量的检验数
并判断B是不是最优基．
【解】
B不是最优基，可以证明B是可行基。
1.14已知线性规划
的最优基为
，试用矩阵公式求
（1）最优解；
（2）单纯形乘子；（3）
（4）
【解】
则
（1）
（2）
（3）
（4）
注：
该题有多重解：
X
（1）=（0，5，0，5/2）
X
（2）=（0，10/3，10/3，0）
X（3）=（10，0，0，0），x2是基变量，X（3）是退化基本可行解
Z＝50
1.15已知某线性规划的单纯形表1－28,求价值系数向量C及目标函数值Z．
表1－28
Cj
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
3
x4
0
1
2
1
－3
0
2
4
4
x1
1
0
－1
0
2
0
－1
0
0
x6
0
－1
4
0
－4
1
2
3/2
λj
0
－1
－1
0
1
0
－2
【解】由
有
c2＝－1＋（3×1＋4×0＋0×（－1））＝2
c3＝－1＋（3×2＋4×（－1）＋0×4）＝1
c5＝1＋（3×（－3）＋4×2＋0×（－4））＝0
则λ＝（4,2,1,3,0,0,0,），Z=CBXB=12
1.16已知线性规划
的最优单纯形表如表1－29所示，求原线性规划矩阵C、A、及b，最优基B及
．
表1－29
Cj
c1
c2
c3
c4
c5
b
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
c1
x1
1
0
4
1/6
1/15
6
c2
x2
0
1
－3
0
1/5
2
λj
0
0
－1
－2
－3
【解】
，c4＝c5＝0，
仿照第15题方法可求出c1＝12，c2＝11，c3＝14
由
得
由
得
则有
，
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