大学概率论习题答案韩概7.docx
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大学概率论习题答案韩概7
大学概率论习题答案（韩）概（7）
习题七 1.设总体X服从二项分布b，n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计. 【解】E（X）?
np,E（X）?
A1?
X,因此np=X 所以p的矩估计量 p?
?
Xn2.设总体X的密度函数 ?
f=?
2?
?
2（?
?
x）,0?
x?
?
?
?
0,其他.X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计.【解】E（X）?
2x（?
?
x）dx?
2?
x2x3?
?
?
?
2?
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0?
2?
?
?
2?
3?
?
0?
3, 令E（X）=A1=X,因大似然估计量为?
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?
1X. 1
（2）似然函数L?
?
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n?
x?
ii?
1n?
1,0?
xi?
1,i=1,2,…,n. nlnL?
nln?
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（?
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1）ln?
xi i?
1ndlnLn?
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ln?
xi?
0知 d?
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i?
1?
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nln?
xii?
1n?
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n?
lnxi?
1n i?
?
?
所以θ的极大似然估计量为 ?
n?
lnxi?
1n i5.随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：
,,,,,,， 求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.【解】
（1）E（X）?
?
2,令E（X）?
X，则 ?
?
2X且E（?
?
）?
2E（X）?
2E（X）?
?
?
?
?
2x?
2?
?
且?
?
?
2X是一个无偏估计.所以θ的矩估计值为?
?
1?
（2）似然函数L?
?
f（xi,?
）?
?
?
i=1,2,…,8. ?
?
?
i?
1显然L=L（θ）↓（θ>0），那么?
?
max{xi}时，L=L（θ）最大, 1?
i?
888所以θ的极大似然估计值?
?
= 因为E（?
?
）=E（max{xi}）≠θ,所以?
?
=max{xi}不是θ的无偏计. 1?
i?
81?
i?
84.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下：
序号收益率123-4-5-6-78-9-10--求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.【解】 x?
?
43n?
9s?
9 ?
?
x?
?
EXxi2?
）]2?
A,即有?
2?
[E（X E（X）?
D（X）?
[E（X）],E（X）?
A2?
?
知?
2i?
1n222n2 101?
）]?
?
?
A2?
[E（X?
[?
Xi2?
10（X）2]10i?
12?
?
于是 ?
9s?
?
?
10所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-和 ?
=k6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E=μ，D=σ，?
2 2?
（Xi?
1n?
1i?
1?
Xi）2, ?
为σ2的无偏估计.问k为何值时?
【解】令 Yi?
Xi?
1?
Xi,i=1,2,…,n-1, 则 E（Yi）?
E（Xi?
1）?
E（Xi）?
?
?
?
?
0,D（Yi）?
2?
2, 2 ?
?
E[k（于是 E?
2?
Yi?
1n?
12i）]?
k（n?
1）EY12?
2?
2（n?
1）k, ?
2）?
?
2,即2?
2（n?
1）k?
?
2时,那么当E（?
有 k?
1. 2（n?
1）7.设X1，X2是从正态总体N中抽取的样本 ?
1?
?
211311?
2?
X1?
X2;?
?
3?
X1?
X2;X1?
X2;?
334422?
1,?
?
2,?
?
3都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.试证?
?
1）?
E?
【证明】E（?
?
2）?
E（?
1?
2121?
2X1?
X2?
?
E（X1）?
E（X2）?
?
?
?
?
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3?
3333?
313E（X1）?
E（X2）?
?
4411?
3）?
E（X1）?
E（X2）?
?
E（?
22?
1,?
?
2,?
?
3均是μ的无偏估计量.所以?
45?
2?
2?
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1?
2?
1）?
?
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D（X1）?
?
?
D（X2）?
X?
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（2）D（?
99?
3?
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3?
5?
2?
1?
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3?
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2）?
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D（X1）?
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D（X2）?
D（?
448?
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3 2222 ?
2?
1?
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3）?
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D（X1）?
D（X2）?
?
D（?
2?
2?
8.某车间生产的螺钉，其直径X~N，过去的经验知道σ2=,今随机抽取6枚， 测得其长度如下：
试求μ的置信概率为的置信区间.【解】n=6,σ2=,α==, 2x?
ua?
?
, 2μ的置信度为的置信区间为 ?
?
?
x?
u?
/2?
?
?
（?
?
）?
（,）. n?
?
9.总体X~N（μ,σ2），σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α， 且置信区间的长度不大于L？
【解】σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为?
x?
u?
/2?
?
?
?
?
n?
于是置信区间长度为2?
?
u?
/2,n4?
2（u?
/2）22?
?
u?
/2≤L,得n≥那么2Ln10.设某种砖头的抗压强度X~N，今随机抽取20块砖头，测得数据如下：
64694992559741848899846610098727487844881求μ的置信概率为的置信区间.求σ2的置信概率为的置信区间.【解】x?
s?
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1?
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n?
20, t?
/2（n?
1）?
（519?
）,2?
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/2（n?
1）?
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（19?
）?
520,.975?
（19）
（1）μ的置信度为的置信区间 ?
?
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x?
t（n?
1）?
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/2?
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（,） n20?
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（2）?
的置信度为的置信区间 2 ?
（n?
1）s2（n?
1）s2?
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191922?
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2?
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（,）?
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/2（n?
1）?
1?
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/2（n?
1）?
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4 11.设总体X~f（x）=?
?
（?
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1）x?
0?
x?
1;其中?
?
?
1?
0,其他. X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量. 【解】
（1） E（X）?
?
?
?
1?
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xf（x）dx?
?
（?
?
1）x?
?
1?
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10dx?
?
?
2,又 X?
E（X）?
?
?
1?
?
2,故 ?
?
?
2X?
11?
X 所以θ的矩估计量 ?
?
?
2X?
11?
X.
（2）似然函数 n?
L?
L（?
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f（x?
（?
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1）ni）?
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nx?
i0?
xi?
1（i?
1,2,?
n）i?
1.i?
1?
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0其他取对数 nlnL?
nln（?
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1）?
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lnxi（0?
xi?
1;1?
i?
n）,i?
1dlnLnd?
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n ?
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1?
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lnxi?
0,i?
1所以θ的极大似然估计量为?
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?
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1?
n?
n. lnXii?
1?
12.设总体X~f（x）=?
6x?
?
3（?
?
x）,0?
x?
?
; ?
?
0,其他.X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本 求θ的矩估计量； 求D（?
?
）.【解】
（1）E（X）?
?
?
?
?
?
xf（x）dx?
?
6x20?
3（?
?
x）dx?
?
2, 5
令 EX?
X?
?
2, ?
?
2X.所以θ的矩估计量 ?
?
）?
D（2X）?
4D（X）?
（2）D（?
又 4DX,，n?
E（X）?
?
于是 26x3（?
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x）0?
36?
23?
2dx?
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20103?
2?
2?
2D（X）?
E（X）?
（EX）?
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, 1042022所以 ?
）?
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.D（?
5n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为 2?
2e?
2（x?
?
）,x?
?
;f（x,θ）=?
0,x?
?
.?
其中θ（θ>0）为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估计 值. 【解】似然函数 ?
?
2（xi?
?
）?
2n?
e?
i?
1L?
L（?
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0?
ni?
1nxi?
0;i?
1,2,?
n;其他. lnL?
nln2?
2?
（xi?
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）,xi?
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;i?
1,2,?
n,dlnL?
2n?
0知lnL（?
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d?
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min{x}时lnL（?
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）?
maxlnL（?
）那么当?
1?
i?
ni?
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0?
?
min{x}所以θ的极大似然估计量?
i1?
i?
n14.设总体X的概率分布为XP0 1 2 3θ2 2θ（1-θ） θ2 1-2θ其中θ（0 1）是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估2计值和极大似然估计值.【解】 6 ?
?
3?
x
（1）E（X）?
3?
4?
令E（X）?
x得?
48xi又 x?
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2i?
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所以θ的矩估计值?
83?
x1?
.44似然函数L?
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P（x,?
）?
4?
6i（1?
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2）（1?
2?
）4. i?
1lnL?
ln4?
6ln?
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2ln（1?
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）,dlnL6286?
28?
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（1?
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）（1?
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0,解6?
28?
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24?
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0 得 ?
7?
131,2?
2.于 7?
1312?
12,所以θ的极大似然估计值为 ?
?
?
7?
132.15.设总体X的分布函数为 ?
F=?
?
?
?
?
1?
x?
?
?
x?
0,x?
?
.其中未知参数β>1,α>0，设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本 当α=1时，求β的矩估计量； 当α=1时，求β的极大似然估计量；当β=2时，求α的极大似然估计量.【解】 ?
?
当α=1时，f（x,?
）?
F1?
x?
1;x（x,1,?
）?
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x?
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1 ?
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0,x?
1.?
2?
2当β=2时,f（x,?
）?
F1?
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;x（x,?
2）?
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x3 ?
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0,x?
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.7
（1）E（X）?
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x?
1dx?
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x1?
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1 ?
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令E（X）?
X,于是?
X,X?
1X.X?
1?
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所以?
的矩估计量?
（2）似然函数 L?
L（?
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i?
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n?
n?
（?
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1）?
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xi?
xi?
1,（i?
1,2,?
n）;f（xi,?
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i?
1?
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0,其他.?
nlnL?
nln?
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1）?
lnxi,i?
1 dlnLnn?
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lnxi?
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i?
1?
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所以?
的极大似然估计量?
n. i?
lnxi?
1n（3）似然函数 nL?
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i?
1?
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2n,xi?
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（i?
1,2,?
n）;?
n3?
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f（xi,?
）?
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xi?
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i?
1?
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0,其他.?
显然L?
L（?
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min{xi}时,L?
L（?
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）?
maxL（?
）,那么当?
1?
i?
na?
0?
?
min{xi}.所以?
的极大似然估计量?
1?
i?
n16.从正态总体X~N中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间 内的概率不小于，问n至少应取多大？
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（z）?
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z?
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t2/2edt2π X?
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【解】X~N?
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则Z?
~N（0,1）, 6/nn?
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于是?
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3?
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3?
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n?
则?
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3?
3?
∴n≥35. 17.设总体X的概率密度为 ?
?
?
f（x，θ）=?
1?
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0,?
0?
x?
1,1?
x?
2,其他.其中θ是未知参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,…,xn中小于1的个数.求：
θ的矩估计； θ的最大似然估计.解
（1）于 EX?
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xf（x;?
）dx?
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xdx?
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（1-?
）xdx 0112133?
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（1?
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.22233?
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X，解得?
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X，22所以参数?
的矩估计为 令 ?
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（2）似然函数为 3?
X.2L（?
）?
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f（xi;?
）?
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N（1?
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）n?
N， i?
1n取对数，得 lnL（?
）?
Nln?
?
（n?
N）ln（1?
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）, 两边对?
求导，得 dlnL（?
）Nn?
N?
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.d?
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1?
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dlnL（?
）N?
0,得?
?
，令 d?
n所以?
的最大似然估计为 9 ?
?
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N.n10
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