大学概率论习题答案韩概7.docx

1、大学概率论习题答案韩概7大学概率论习题答案（韩）概(7)习题七 1.设总体X服从二项分布b，n已知，X1，X2，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计. 【解】E(X)?np,E(X)?A1?X,因此np=X 所以p的矩估计量p?Xn 2.设总体X的密度函数 ?f=?2?2(?x),0?x?, ?0,其他.X1，X2，Xn为其样本，试求参数的矩法估计. 【解】E(X)?2x(?x)dx?2?x2x3?2?0?2?2?3?0?3, 令E(X)=A1=X,因大似然估计量为?1X. 1 (2) 似然函数L?n?x?ii?1n?1,0?xi?1,i=1,2,n. nlnL?nln?(?1)ln?xi

2、i?1ndlnLn?ln?xi?0知 d?i?1?nln?xii?1n?n?lnxi?1n i?所以的极大似然估计量为?n?lnxi?1n i5.随机变量X服从0，上的均匀分布，今得X的样本观测值：,，求的矩法估计和极大似然估计，它们是否为的无偏估计. 【解】(1) E(X)?2,令E(X)?X，则 ?2X且E(?)?2E(X)?2E(X)?, ?2x?2?且?2X是一个无偏估计. 所以的矩估计值为?1?(2) 似然函数L?f(xi,?)?,i=1,2,8. ?i?1显然L=L()(0)，那么?maxxi时，L=L()最大, 1?i?888所以的极大似然估计值?= 因为E(?)=E(maxxi

3、),所以?=maxxi不是的无偏计. 1?i?81?i?84.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下： 序号 收益率 1 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 8 - 9 - 10 - - 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 x? 43n?9 s? 9 ?x? EXxi2?)2?A,即有 ?2?E(XE(X)?D(X)?E(X),E(X)?A2?知?2i?1n222n 2 101?)?A2?E(X?Xi2?10(X)2 10i?12?于是 ?9s? 10所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-和 ? =k6.设X1

4、，X2，Xn是取自总体X的样本，E=，D=，?22?(Xi?1n?1i?1?Xi)2,?为2的无偏估计. 问k为何值时?【解】令Yi?Xi?1?Xi,i=1,2,n-1, 则E(Yi)?E(Xi?1)?E(Xi)?0,D(Yi)?2?2, 2?Ek(于是E?2?Yi?1n?12i)?k(n?1)EY12?2?2(n?1)k, ?2)?2,即2?2(n?1)k?2时, 那么当E(?有k?1. 2(n?1)7.设X1，X2是从正态总体N中抽取的样本 ?1?211311?2?X1?X2;?3?X1?X2; X1?X2;?334422?1,?2,?3都是的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 试证?1

5、)?E?【证明】E(?2)?E(?1?2121?2X1?X2?E(X1)?E(X2)?, 3?3333?313E(X1)?E(X2)?, 4411?3)?E(X1)?E(X2)?, E(?22?1,?2,?3均是的无偏估计量. 所以?45?2?2?1?2?1)?D(X1)?D(X2)?X?(2) D(?, 99?3?3?5?2?1?3?2)?D(X1)?D(X2)?D(?, 448? 3 2222 ?2?1?3)?D(X1)?D(X2)?D(?, 2?2?8.某车间生产的螺钉，其直径XN，过去的经验知道2=,今随机抽取6枚，测得其长度如下： 试求的置信概率为的置信区间. 【解】n=6,2=,=

6、, 2x?,ua?, 2的置信度为的置信区间为 ?x?u?/2?(?)?(,). n?9.总体XN(,2)，2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使的置信概率为1-，且置信区间的长度不大于L？ 【解】2已知可知的置信度为1-的置信区间为?x?u?/2?, n?于是置信区间长度为2?u?/2, n4?2(u?/2)22?u?/2L,得n那么 2Ln10.设某种砖头的抗压强度XN，今随机抽取20块砖头，测得数据如下： 64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 求的置信概率为的置信区间. 求2的置信概率为的置信区间. 【

7、解】x?,s?,?1?,n?20, t?/2(n?1)?(519?),2?/2(n?1)?(19?)?520,.975?(19) (1) 的置信度为的置信区间 ?x?t(n?1)?/2?(,) n20?(2)?的置信度为的置信区间 2?(n?1)s2(n?1)s2?191922?,?,?2?(,) ?/2(n?1)?1?/2(n?1)? 4 11.设总体Xf(x)=?(?1)x?,0?x?1;其中?1?0,其他. X1,X2,Xn是X的一个样本，求的矩估计量及极大似然估计量. 【解】(1) E(X)?1?xf(x)dx?(?1)x?1?10dx?2, 又 X?E(X)?1?2, 故 ?2X?1

8、1?X 所以的矩估计量 ?2X?11?X. (2) 似然函数 n?L?L(?)?f(x?(?1)ni)?nx?i 0?xi?1(i?1,2,?,n)i?1. i?1?0其他取对数 nlnL?nln(?1)?lnxi(0?xi?1;1?i?n),i?1dlnLnd?n ?1?lnxi?0,i?1所以的极大似然估计量为?1?n?n. lnXii?1?12.设总体Xf(x)= ?6x?3(?x),0?x?; ?0,其他.X1,X2,Xn为总体X的一个样本 求的矩估计量； 求D(?). 【解】(1) E(X)?xf(x)dx?6x20?3(?x)dx?2, 5 令 EX?X?2, ?2X. 所以的矩估

9、计量?)?D(2X)?4D(X)?(2)D(?又 4DX,， n?E(X)?于是 26x3(?x)0?36?23?2dx?, 20103?2?2?2D(X)?E(X)?(EX)?, 1042022所以 ?)?. D(?5n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为 2?2e?2(x?), x?;f(x,)= ? 0,x?.?其中(0)为未知参数，又设x1,x2,xn是总体X的一组样本观察值，求的极大似然估计值. 【解】似然函数 ?2(xi?)?2n?e?i?1L?L(?)?0?ni?1nxi?0;i?1,2,?,n;其他. lnL?nln2?2?(xi?),xi?;i?1,2,?,n,d

10、lnL?2n?0知lnL(?)?, d?minx时lnL(?)?maxlnL(?) 那么当?1?i?ni?0?minx 所以的极大似然估计量?i1?i?n14. 设总体X的概率分布为 X P 0123 22(1-) 21-2 其中(01)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估2计值和极大似然估计值. 【解】 6 ?3?x(1)E(X)?3?4?,令E(X)?x得?4 8xi又 x?2i?18?所以的矩估计值?83?x1?. 44 似然函数L?P(x,?)?4?6i(1?2)(1?2?)4. i?1lnL?ln4?6ln?2ln(1?)?4ln(1?),dlnL

11、6286?28?24?2d?1?1?2?(1?)(1?2?)?0,解6?28?24?2?0 得?7?131,2?2. 于 7?1312?12, 所以的极大似然估计值为?7?132. 15.设总体X的分布函数为 ?F=?1?,x?, ?x?0,x?.其中未知参数1,0，设X1,X2,Xn为来自总体X的样本 当=1时，求的矩估计量； 当=1时，求的极大似然估计量； 当=2时，求的极大似然估计量. 【解】 ?当=1时，f(x,?)?F1?,x?1;x(x,1,?)?x?1 ?0,x?1.?2?2当=2时, f(x,?)?F1?,x?;x(x,?,2)?x3 ?0,x?. 7 (1) E(X)?x?1

12、dx?1?x1?1?1 ?令E(X)?X,于是?X, X?1X. X?1?所以?的矩估计量?(2) 似然函数 L?L(?)?i?1n?n?n?(?1)?xi?,xi?1,(i?1,2,?,n);f(xi,?)?i?1?0,其他.?nlnL?nln?(?1)?lnxi,i?1 dlnLnn?lnxi?0,d?i?1?所以?的极大似然估计量?n. i?lnxi?1n(3) 似然函数 nL?i?1?2n?2n,xi?,(i?1,2,?,n);?n3? f(xi,?)?xi?i?1?0,其他.?显然L?L(?)?, ?minxi时,L?L(?)?maxL(?) , 那么当?1?i?na?0?minxi

13、. 所以?的极大似然估计量?1?i?n16.从正态总体XN中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间内的概率不小于，问n至少应取多大？ ?(z)?z ?z? z?1?t2/2edt 2 X?62?【解】XN?,?,则Z?N(0,1), 6/nn? 8 ?Z?P?X?P?6/n?6/n?P?n?Z?3?n?3?于是?n?3?n?2?n?1?3?3? n?n?则?, ?3?3? n35. 17. 设总体X的概率密度为 ?,?f(x，)=?1?,?0,?0?x?1,1?x?2, 其他.其中是未知参数,X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,xn中小于1的个数.求： 的矩估计； 的最大似然估计. 解 (1) 于 EX?xf(x;?)dx?xdx?(1-?)xdx 0112133?(1?)?. 22233?X，解得?X， 22所以参数?的矩估计为 令?(2) 似然函数为 3?X. 2L(?)?f(xi;?)?N(1?)n?N， i?1n取对数，得 lnL(?)?Nln?(n?N)ln(1?), 两边对?求导，得 dlnL(?)Nn?N?. d?1?dlnL(?)N?0,得 ?， 令 d?n所以?的最大似然估计为 9 ? N. n 10