概率论与数理统计.docx

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概率论与数理统计

概率论与数理统计:

总习题一:

习题5、

习题15

习题21

2、2

习题4

一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5、在袋中同时取3只,以X表示取出得3只球中得最大号码,写出随机变量X得分布律、

解答:

随机变量X得可能取值为3,4,5、

P{X=3}=C2,2⋅1C5,3=1/10, P{X=4}=C3,2⋅1C5,3=3/10, P{X=5}=C4,2⋅1C5,3=3/5,

所以X得分布律为

1/10

3/10

3/5

习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务,每出租一辆汽车,可从出租公司得到3元、因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元,设每天出租汽车数X就是一个随机变量,它得概率分布如下:

0、15

0、25

0、45

0、15

求因代营业务得到得收入大于当天得额外支出费用得概率、

解答:

因代营业务得到得收入大于当天得额外支出费用得概率为:

P{3X>60}, 即P{X>20},

P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0、6、

就就是说,加油站因代营业务得到得收入大于当天得额外支出费用得概率为0、6、

习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头得概率为0、005, 在τ这段时间内断头次数不大于2得概率、

解答:

以X记纺锭断头数, n=800,p=0、005,np=4,

应用泊松定理,所求概率为:

P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b（k;800,0、005）

≈∑k=02P（k;4）=e-4（1+4^1/1!

+4^2/2!

）≈0、2381、

2、4

习题2已知X∼f（x）={2x,0

解答:

P{X≤0、5}=∫-∞,0、5;f（x）dx=∫-∞,0;0dx+∫0,0、5;2xdx=x2∣0,0、5=0、25,

P{X=0、5}=P{X≤0、5}-P{X<0、5}=∫-∞,0、5;f（x）dx-∫-∞,0、5;f（x）dx=0、

当X≤0时,F（x）=0;

当0

当X≥1时,F（x）=∫-∞,x;f（t）dt=∫-∞,0;0dt+∫0,x;2tdt+∫1,x;0dt=t2∣0,1=1,故

F（x）={0,x≤0;x2,0

习题3设连续型随机变量X得分布函数为

F（x）={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求:

（1）A,B得值;

（2）P{-1

解答:

（1）\becauseF（+∞）=limx→+∞（A+Be-2x）=1, ∴A=1;

又 \becauselimx→0+（A+Be-2x）=F（0）=0, ∴B=-1、

（2） P{-1

（1）-F（-1）=1-e-2、

（3）f（x）=F′（x）={2e-x,x>00,x≤0、

习题5某型号电子管,其寿命（以小时计）为一随机变量,概率密度

f（x）={100x2,x≥1000,其它,

某一电子管得使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换得概率、

解答:

设电子管得使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上得概率为

P{X>150}=∫150,+∞;f（x）dx=∫150,+∞;100x2dx

=-100x∣150,+∞=100/150=2/3,

从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换得概率为 p=（2/3）3=8/27、

习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定、根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N（4000,3600）、假定车间主任希望10%得工人获得超产奖,求:

工人每月需完成多少件产品才能获奖？

解答:

用X表示工人每月需装配得产品数,则X∼N（4000,3600）、

设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=0、1, 即

1-P{X

所以1-F（x）=0、1, 即 1-Φ（（x-4000）/60）=0、1, 所以Φ（（x-4000）/60）=0、9、

查标准正态人分布表得Φ（1、28）=0、8997, 因此（x-4000）/60≈1、28, 即x=4077件,

就就是说,想获超产奖得工人,每月必须装配4077件以上、

2、5随机变量函数得分布

习题1已知X得概率分布为

-2

-1

1/10

试求:

（1）a;

（2）Y=X2-1得概率分布、

解答:

（1）\because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,

∴a=1/10、

（2）

-1

3/10

1/5

3/10

1/5

习题6设连续型随机变量X得概率密度为f（x）, 分布函数为F（x）, 求下列随机变量Y得概率密度:

（1）Y=1X;

（2）Y=∣X∣、

解答:

（1）FY（y）=P{Y≤y}=P{1/X≤y}、

①当y>0时,FY（y）=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}

=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F（0）+1-F（1/y）,

故这时fY（y）=[-F（1/y）]′=1/y2f（1/y）;;

②当y<0时,FY（y）=P{1/y≤X<0}=F（0）-F（1/y）,

故这时fY（y）=1/y2f（1/y）;

③当y=0时,FY（y）=P{1/X≤0}=P{X<0}=F（0）,

故这时取fY（0）=0, 综上所述

fY（y）={1/y2⋅f（1/y）,y≠0;0,y=0、

（2）FY（y）=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}、

①当y>0时,FY（y）=P{-y≤X≤y}=F（y）-F（-y）

这时fY（y）=f（y）+f（-y）;

②当y<0时,FY（y）=P{∅}=0, 这时fY（y）=0;

③当y=0时,FY（y）=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,

故这时取FY（y）=0, 综上所述 fY（y）={f（y）+f（-y）,y>0;0,y≤0、

习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上得概率均大于0, 其分布函数为FY（x）, 又Y在[0,1]上服从均匀分布,证明:

Z=FX-1（Y）得分布函数与X得分布函数相同、

解答:

因X在任一有限区间[a,b]上得概率均大于0, 故FX（x）就是单调增加函数,其反函数FX-1（y）存在,又Y在[0,1]上服从均匀分布,故Y得分布函数为

FY（y）=P{Y≤y}={0,y<0;y,0≤y≤1;1,y>0,

于就是,Z得分布函数为

FZ（z）=P{Z≤z}=P{FX-1（Y）≤z}=P{Y≤FX（z）}

={0,FX（z）<0FX（z）,0≤FX（z）≤1,1,FX（z）>1

由于FX（z）为X得分布函数,故0≤FX（z）≤1、

FX（z）<0与FX（z）>1均匀不可能,故上式仅有FZ（z）=FX（z）, 因此,Z与X得分布函数相同、

总复习题二

习题3在保险公司里有2500名同一年龄与同社会阶层得人参加了人寿保险,在1年中每个人死亡得概率为0、002,每个参加保险得人在1月1日须交120元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金,求:

（1）保险公司亏本得概率;

（2）保险公司获利分别不少于100000元,200000元得概率、

解答:

1）以“年”为单位来考虑,在1年得1月1日,保险公司总收入为

2500×120元=300000元、

设1年中死亡人数为X, 则X∼b（2500,0、002）, 则保险公司在这一年中应付出200000X（元）,要使保险公司亏本,则必须 200000X>300000即X>15（人）、

因此,P{保险公司亏本}=P{X>15}

=∑k=162500C2500k（0、002）k×（0、998）2500-k

≈1-∑k=0,15;e-5*5^k/k!

≈0、000069,

由此可见,在1年里保险公司亏本得概率就是很小得、

（2）P{保险公司获利不少于100000元}

=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}

=∑k=010C2500k（0、002）×（0、998）2500-k≈∑k=0,10;e-5*5^k/k!

≈0、986305,

即保险公司获利不少于100000元得概率在98%以上、

P{保险公司获利不少于200000元}

=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}

=∑k=05C2500k（0、002）k×（0、998）2500-k≈∑k=0,5;e-5*5k/k!

≈0、615961,

即保险公司获利不少于200000元得概率接近于62%、

习题6设X为一离散型随机变量,其分布律为

-101

1/2,1-2q,q2

试求:

（1）q得值;

（2）X得分布函数、

解答:

（1）\because离散型随机变量得概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1, 且0≤pi≤1,

∴ {1/2+1-2q+q2=1;0≤1-2q≤1q2≤1,

解得q=1-1/2、从而X得分布律为下表所示:

-101

1/22-13/2-2

（2）由F（x）=P{X≤x}计算X得分布函数

F（x）={0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1≤x<00≤x<0x≥1、

习题11

已知X∼f（x）={cλe-λx,x>a0,其它（λ>0）, 求常数c及P{a-1

解答:

由概率密度函数得性质知∫-∞+∞f（x）dx=1, 而

∫-∞+∞f（x）dx=∫-∞,a;0dx+∫a,+∞;cλe-λxdx

=c∫a,+∞;e-λxd（λx）=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,

所以ce-λa=1, 从而c=eλa、于就是

P{a-1

=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa（e-λ（a+1）-e-λa）=1-e-λ、

注意,a-1

习题19设随机变量X得分布律为

-2-1013

1/51/61/51/1511/30

试求Y=X2得分布律、解答:

1/51/61/51/1511/30

-2-1013

41019

所以

0149

1/57/301/511/30

注:

随机变量得值相同时要合并,对应得概率为它们概率之与、

习题20设随机变量X得密度为

fX（x）={0,x<02x3e-x2,x≥0,求Y=2X+3得密度函数、

解答:

由Y=2X+3, 有 y=2x+3,x=y-32,x′=12,

由定理即得 fY（x）={0,y<3（y-32）3e-（y-32）,y≥3、

3、1

习题2

（1）2、设（X,Y）得分布函数为F（x,y）,试用F（x,y）表示:

（1）P{a

P{a

习题2

（2）2、设（X,Y）得分布函数为F（x,y）,试用F（x,y）表示:

（2）P{0

解答:

P{0

习题2（3）2、设（X,Y）得分布函数为F（x,y）,试用F（x,y）表示:

（3）P{X>a,Y≤b}、

解答:

P{X>a,Y≤b}=F（+∞,b）-F（a,b）、

习题4设X,Y为随机变量,且 P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}、

解答:

P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}

=47+47-37=57、

习题5（X,Y）只取下列数值中得值:

（0,0）,（-1,1）,（-1,13）,（2,0）

且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出（X,Y）得概率分布表,并写出关于Y得边缘分布、

解答:

（1）因为所给得一组概率实数显然均大于零,且有16+13+112+512=1, 故所给得一组实数必就是某二维随机变量（X,Y）得联合概率分布、因（X,Y）只取上述四组可能值,故事件:

{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}

均为不可能事件,其概率必为零、因而得到下表:

X\Y

01/31

-1

01/121/3

1/600

5/1200

（2）P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=7/12,

同样可求得 P{Y=13=112,P{Y=1}=1/3,

关于得Y边缘分布见下表:

01/31

7/121/121/3

习题7设随机变量（X,Y）得概率密度为f（x,y）={k（6-x-y）,0

（1）确定常数k;

（2）求P{X<1,Y<3}; （3）求P{X<1、5}; （4）求P{X+Y≤4}、

解答:

如图所示

（1）由∫-∞,+∞∫-∞,+∞;f（x,y）dxdy=1, 确定常数k、∫0,2∫2,4;k（6-x-y）dydx=k∫0,2;（6-2x）dx=8k=1,

所以K=18、

（2）P{X<1,Y<3}=∫0,1;dx∫2,3;18（6-x-y）dy=3/8、（3）P{X<1、5}=∫0,1、5;dx∫2,4;18（6-x-y）dy=27/32、（4）P{X+Y≤4}=∫0,2;dx∫2,4-x;18（6-x-y）dy=2/3、

习题9设二维随机变量（X,Y）得概率密度为 f（x,y）={4、8y（2-x）,0≤x≤1,x≤y≤1;0,其它,

求边缘概率密度fY（y）、

解答:

fX（x）=∫-∞,+∞;f（x,y）dy ={∫0,x;4、8y（2-x）dy,0≤x≤1;0,其它={2、4x2（2-x）,0≤x≤1;0,其它、

fY（y）=∫-∞+∞f（x,y）dx ={∫0y4、8y（2-x）dx,0≤y≤10,其它={2、4y（4y-y2）,0≤y≤1;0,其它、

总习题三

习题4设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量（X,Y）得联合分布律及关于X与Y得边缘分布律中得部分数值,试将其余数值填入表中得空白处:

X\Y

pi⋅

1/8

p⋅j

1/6

解答:

由题设X与Y相互独立,即有pij=pi⋅p⋅j（i=1,2;j=1,2,3）,p⋅1-p21=p11=1/6-1/8=1/24,

又由独立性,有p11=p1⋅p⋅1=p1⋅1/6

故p1=1/4、从而p13=1/4-1/24-1/8,又由p12=p1⋅p2,即1/8=1/4⋅p2、

从而p2=1/2、类似得有p3=1/3,p13=1/4,p2⋅=3/4、

将上述数值填入表中有

X\Y

pi⋅

1/24

1/8

1/12

1/4

1/8

3/8

1/4

3/4

p⋅j

1/6

1/2

1/3

习题5设随机变量（X,Y）得联合分布如下表:

求:

（1）a值;

（2）（X,Y）得联合分布函数F（x,y）;（3）（X,Y）关于X,Y得边缘分布函数FX（x）与FY（y）、

解答:

（1）\because由分布律得性质可知∑i⋅jPij=1,故1/4+1/4+1/6+a=1,

∴a=1/3、

（2）因F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}

①当x<1或y<-1时,F（x,y）=0;②当1≤x<2,-1≤y<0时,F（x,y）=P{X=1,Y=-1}=1/4;

③当x≥2,-1≤y<0时,F（x,y）=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;

④当1≤x<2,y>0时,F（x,y）=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;

⑤当x≥2,y≥0时,F（x,y）=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=1;

综上所述,得（X,Y）联合分布函数为

F（x,y）={0,x<1或y<-1;1/4,1≤x<2,-1≤y<0;5/12,x≥2,-1≤y<0;1/2,1≤x<2,y≥0;1,x≥2,y≥0、

（3）由FX（x）=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi

FX（x）={0,x<1;1/4+1/4,1≤x<2;1/4+1/4+1/6+1/3,x≥2={0,x<1;1/2,1≤x<2;1,x≥2,

同理,由FY（y）=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij,得（X,Y）关于Y得边缘分布函数为

FY（y）={0,y<-1;2/12,-1≤y<0;1,y≥0、

习题13已知随机变量X1与X2得概率分布为

且P{X1X2=0}=1、

（1）求X1与X2得联合分布律;

（2）问X1与X2就是否独立？

解答:

（1）本题就是已知了X1与X2得边缘分布律,再根据条件P{X1X2=0}=1,求出联合分布、列表如下:

X2\X1

-101

P{X2=j}

1/401/401/20

1/21/2

P{X1=i}

1/41/21/4

由已知P{X1X2=0}=1, 即等价于P{X1X2≠0}=0, 可知P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0、

再由p⋅1=p-11+p11+p01,得p01=1/2,p-10=p-1⋅=p-11=1/4,p10=p1⋅-p11=1/4,

从而得p00=0、

（2）由于p-10=14≠p-1⋅⋅p⋅0=14⋅12=1/8,所以知X1与X2不独立、

4、1数学期望

习题4

据统计,一位60岁得健康（一般体检未发生病症）者,在5年之内仍然活着与自杀死亡得概率为p（0a）, 应如何确定b才能使公司可期望获益,若有m人参加保险,公司可期望从中收益多少？

解答:

令X=“从一个参保人身上所得得收益”,由X得概率分布为

∴E（X）=ap+（a-b）（1-p）=a-b（1-p）>0, 即a

对于m个人,有E（mX）=mE（X）=ma-mb（1-p）、

习题8

设随机变量X得概率密度为f（x）={1-∣1-x∣,0

解答:

f（x）={x,0

习题10

设随机变量X得概率密度为f（x）={e-x,x>00,x≤0,求:

（1）Y=2X得数学期望;

（2）Y=e-2X得数学期望、

解答:

（1）E（Y）=E（2X）=∫-∞,+∞;2xf（x）dx=∫0,+∞;2xe-xdx=2、

（2）E（e2X）=∫-∞,+∞;e-2xf（x）dx=∫0,+∞;e-3xdx=1/3、

复变函数与积分变换

习题一

7、将下列复数表示为指数形式或三角形式

①解:

其中.

②解:

其中.

③解:

④解:

、

∴

⑤解:

解:

∵.

∴

8、计算:

（1）i得三次根;

（2）-1得三次根;（3）得平方根、

⑴i得三次根.

解:

∴.　

⑵-1得三次根

解:

∴

⑶得平方根.

解:

∴

习题二

1、求映射下圆周得像、

解:

设则

因为,所以

所以,

所以即,表示椭圆、

6、试判断下列函数得可导性与解析性、

（1）;

解:

在全平面上可微、

所以要使得

只有当z=0时,

从而f（z）在z=0处可导,在全平面上不解析、

（2）、

解:

在全平面上可微、

只有当z=0时,即（0,0）处有,、

所以f（z）在z=0处可导,在全平面上不解析、

（3）;

解:

在全平面上可微、

所以只有当时,才满足C-R方程、

从而f（z）在处可导,在全平面不解析、

（4）、

解:

设,则

所以只有当z=0时才满足C-R方程、

从而f（z）在z=0处可导,处处不解析、

7、证明区域D内满足下列条件之一得解析函数必为常数、

（1）;

证明:

因为,所以,、

所以u,v为常数,于就是f（z）为常数、

（3）Ref（z）=常数、

证明:

因为Ref（z）为常数,即u=C1,

因为f（z）解析,C-R条件成立。

故即u=C2

从而f（z）为常数、

5、|f（z）|=常数、

证明:

因为|f（z）|=C,对C进行讨论、

若C=0,则u=0,v=0,f（z）=0为常数、

若C0,则f（z）0,但,即u2+v2=C2

则两边对x,y分别求偏导数,有

利用C-R条件,由于f（z）在D内解析,有

所以所以

即u=C1,v=C2,于就是f（z）为常数、

13、计算下列各值

（1）e2+i=e2∙ei=e2∙（cos1+isin1）

15、计算下列各值.

（1）

（2）

（3）ln（ei）=ln1+iarg（ei）=ln1+i=i

（4）

17、计算下列各值.

（2）

18、计算下列各值

（1）

（2）

习题三

1、计算积分,其中C为从原点到点1+i得直线段、

解设直线段得方程为,则、

故

17、计算积分,其中积分路径为

（1）中心位于点,半径为得正向圆周

（2）中心位于点,半径为得正

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