概率论与数理统计.docx

1、概率论与数理统计概率论与数理统计:总习题一:习题5、习题15习题21习题212、2习题4一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5、在袋中同时取3只,以X表示取出得3只球中得最大号码,写出随机变量X得分布律、解答:随机变量X得可能取值为3,4,5、PX=3=C2,21C5,3=1/10,PX=4=C3,21C5,3=3/10,PX=5=C4,21C5,3=3/5,所以X得分布律为X345pk1/103/103/5习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务,每出租一辆汽车,可从出租公司得到3元、因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元,设每天出租汽车数X就是一个随机变量,它得概率分布如下:

2、X10203040pi0、150、250、450、15求因代营业务得到得收入大于当天得额外支出费用得概率、解答:因代营业务得到得收入大于当天得额外支出费用得概率为:P3X60,即PX20,PX20=PX=30+PX=40=0、6、就就是说,加油站因代营业务得到得收入大于当天得额外支出费用得概率为0、6、习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间内断头得概率为0、005,在这段时间内断头次数不大于2得概率、解答:以X记纺锭断头数,n=800,p=0、005,np=4,应用泊松定理,所求概率为:P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0、005)k=02P(k;4)=e

3、-4(1+41/1!+42/2!)0、2381、2、4习题2已知Xf(x)=2x,0x10,其它,求PX0、5;PX=0、5;F(x)、解答:PX0、5=-,0、5;f(x)dx=-,0;0dx+0,0、5;2xdx=x20,0、5=0、25,PX=0、5=PX0、5-PX0、5=-,0、5;f(x)dx-,0、5;f(x)dx=0、当X0时,F(x)=0;当0x1时,F(x)=-,x;f(t)dt=-,0;0dt+0,x;2tdt=t20,x=x2;当X1时,F(x)=-,x;f(t)dt=-,0;0dt+0,x;2tdt+1,x;0dt=t20,1=1,故F(x)=0,x0;x2,0x00

4、,x0,试求:(1)A,B得值;(2)P-1X1;(3)概率密度函数F(x)、解答:(1)because F(+)=limx+(A+Be-2x)=1,A=1;又because limx0+(A+Be-2x)=F(0)=0, B=-1、(2)P-1X00,x0、习题5某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度f(x)=100x2,x1000,其它,某一电子管得使用寿命为X,则三个电子管使用150小时都不需要更换得概率、解答:设电子管得使用寿命为X,则电子管使用150小时以上得概率为PX150=150,+;f(x)dx=150,+;100x2dx =-100x150,+=100/150

5、=2/3,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换得概率为p=(2/3)3=8/27、习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定、 根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600)、假定车间主任希望10%得工人获得超产奖,求:工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答:用X表示工人每月需装配得产品数,则XN(4000,3600)、设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得PXx=0、1,即 1-PX0时,FY(y)=P1/X0+P01/Xy=PX0+PX1/y=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=-F(1/y)=1/y2f(1/y);当y

6、0时,FY(y)=P1/yX0=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1/y2f(1/y);当y=0时,FY(y)=P1/X0=PX0时,FY(y)=P-yXy=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);当y0;0,y0、习题8设随机变量X在任一区间a,b上得概率均大于0,其分布函数为FY(x),又Y在0,1上服从均匀分布,证明:Z=FX-1(Y)得分布函数与X得分布函数相同、解答:因X在任一有限区间a,b上得概率均大于0,故FX(x)就是单调增加函数,其反函数FX-1(y)存在,又Y在0,1上服从均匀分布,故Y得分布函数为FY(y)=PYy=0,y0,于就是,Z得分布函数

7、为FZ(z)=PZz=PFX-1(Y)z=PYFX(z)=0,FX(z)1由于FX(z)为X得分布函数,故0FX(z)1、FX(z)1均匀不可能,故上式仅有FZ(z)=FX(z),因此,Z与X得分布函数相同、总复习题二习题3在保险公司里有2500名同一年龄与同社会阶层得人参加了人寿保险,在1年中每个人死亡得概率为0、002,每个参加保险得人在1月1日须交120元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金,求:(1)保险公司亏本得概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元得概率、解答:1)以“年”为单位来考虑,在1年得1月1日,保险公司总收入为2500120

8、元=300000元、设1年中死亡人数为X,则Xb(2500,0、002),则保险公司在这一年中应付出200000X(元),要使保险公司亏本,则必须200000X300000即X15(人)、因此,P保险公司亏本=PX15=k=162500C2500k(0、002)k(0、998)2500-k1-k=0,15;e-5*5k/k!0、000069,由此可见,在1年里保险公司亏本得概率就是很小得、(2)P保险公司获利不少于100000元=P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k(0、002)(0、998)2500-kk=0,10;e-5*5k/k!0、986305,

9、即保险公司获利不少于100000元得概率在98%以上、 P保险公司获利不少于200000元=P300000-200000X200000=PX5=k=05C2500k(0、002)k(0、998)2500-kk=0,5;e-5*5k/k!0、615961,即保险公司获利不少于200000元得概率接近于62%、习题6设X为一离散型随机变量,其分布律为X-1 0 1pi1/2,1-2q,q2试求:(1)q得值;(2)X得分布函数、解答:(1)because离散型随机变量得概率函数PX=xi=pi,满足ipi=1,且0pi1,1/2+1-2q+q2=1;01-2q1q21,解得q=1-1/2、从而X得

10、分布律为下表所示:X-1 0 1pi1/22-13/2-2(2)由F(x)=PXx计算X得分布函数F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x-1-1x00xa0,其它(0),求常数c及Pa-1Xa+1、解答:由概率密度函数得性质知-+f(x)dx=1,而-+f(x)dx=-,a;0dx+a,+;ce-xdx=ca,+;e-xd(x)=-ce-xvlinea+=ce-a,所以ce-a=1,从而c=ea、于就是 Pa-1Xa+1=a-1a+1f(x)dx=a-1a0dx+aa+1eae-xdx=-eae-xvlineaa+1=-ea(e-(a+1)-e-a)=1-e-、注意,a-1a,而当xa时,f

11、(x)=0、习题19设随机变量X得分布律为X-2 -1 0 1 3pi1/5 1/6 1/5 1/15 11/30试求Y=X2得分布律、解答:pi1/5 1/6 1/5 1/15 11/30X-2 -1 0 1 3X2 4 1 0 1 9所以X2 0 1 4 9pi1/5 7/30 1/5 11/30注:随机变量得值相同时要合并,对应得概率为它们概率之与、习题20设随机变量X得密度为fX(x)=0,x02x3e-x2,x0,求Y=2X+3得密度函数、解答:由Y=2X+3,有y=2x+3,x=y-32,x=12,由定理即得fY(x)=0,y3(y-32)3e-(y-32),y3、3、1习题2(1

12、)2、设(X,Y)得分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(1)PaXb,Yc;解答:PaXb,Yc=F(b,c)-F(a,c)、习题2(2)2、设(X,Y)得分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(2)P0Yb;解答:P0a,Yb、解答:PXa,Yb=F(+,b)-F(a,b)、习题4设X,Y为随机变量,且PX0,Y0=37,PX0=PY0=47,求PmaxX,Y0、解答:PmaxX,Y0=PX,Y至少一个大于等于0=PX0+PY0-PX0,Y0 =47+47-37=57、习题5(X,Y)只取下列数值中得值:(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为

13、16,13,112,512,请列出(X,Y)得概率分布表,并写出关于Y得边缘分布、解答:(1)因为所给得一组概率实数显然均大于零,且有16+13+112+512=1,故所给得一组实数必就是某二维随机变量(X,Y)得联合概率分布、 因(X,Y)只取上述四组可能值,故事件:X=-1,Y=0,X=0,Y=13,X=0,Y=1,X=2,Y=13,X=2,Y=1均为不可能事件,其概率必为零、 因而得到下表:XY0 1/3 1-10 1/12 1/30 1/6 0 025/12 0 0(2)PY=0=PX=-1,Y=0+PX=0,Y=0+PX=2,Y=0=0+16+512=7/12,同样可求得PY=13=

14、112,PY=1=1/3,关于得Y边缘分布见下表:Y 0 1/3 1pk7/12 1/12 1/3习题7设随机变量(X,Y)得概率密度为f(x,y)=k(6-x-y),0x2,2y4;0,其它,(1)确定常数k;(2)求PX1,Y3;(3)求PX1、5;(4)求PX+Y4、解答:如图所示(1)由-,+-,+;f(x,y)dxdy=1,确定常数k、0,22,4;k(6-x-y)dydx=k0,2;(6-2x)dx=8k=1,所 以K=18、(2)PX1,Y3=0,1;dx2,3;18(6-x-y)dy=3/8、(3)PX1、5=0,1、5;dx2,4;18(6-x-y)dy=27/32、(4)P

15、X+Y4=0,2;dx2,4-x;18(6-x-y)dy=2/3、习题9设二维随机变量(X,Y)得概率密度为f(x,y)=4、8y(2-x),0x1,xy1;0,其它,求边缘概率密度fY(y)、解答:fX(x)=-,+;f(x,y)dy=0,x;4、8y(2-x)dy,0x1;0,其它=2、4x2(2-x),0x1;0,其它、fY(y)=-+f(x,y)dx=0y4、8y(2-x)dx,0y10,其它=2、4y(4y-y2),0y1;0,其它、总习题三习题4设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)得联合分布律及关于X与Y得边缘分布律中得部分数值,试将其余数值填入表中得空白处:

16、XYy1y2y3pix11/8x21/8pj1/61解答:由题设X与Y相互独立,即有 pij=pipj(i=1,2;j=1,2,3), p1-p21=p11=1/6-1/8=1/24,又由独立性,有 p11=p1p1=p11/6故p1=1/4、从而p13=1/4-1/24-1/8, 又由p12=p1p2, 即1/8=1/4p2、从而p2=1/2、 类似得有 p3=1/3,p13=1/4,p2=3/4、将上述数值填入表中有XYy1y2y3pix11/241/81/121/4x21/83/81/43/4pj1/61/21/31习题5设随机变量(X,Y)得联合分布如下表:求:(1)a值;(2)(X,

17、Y)得联合分布函数F(x,y);(3)(X,Y)关于X,Y得边缘分布函数FX(x)与FY(y)、解答:(1)because由分布律得性质可知ijPij=1, 故1/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3、(2)因F(x,y)=PXx,Yy当x1或y-1时,F(x,y)=0;当1x2,-1y0时,F(x,y)=PX=1,Y=-1=1/4;当x2,-1y0时, F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1=5/12;当1x0时, F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=1,Y=0=1/2;当x2,y0时, F(x,y)=PX=1,Y=-1+PX=2,Y=-1 +PX=1,Y=0+PX=2,

18、Y=0 =1;综上所述,得(X,Y)联合分布函数为 F(x,y)=0,x1或y-1;1/4,1x2,-1y0;5/12,x2,-1y0;1/2,1x2,y0;1,x2,y0、(3)由FX(x)=PXx,Y+=xixj=1+pij, 得(X,Y)关于X得边缘分布函数为: FX(x)=0,x1;1/4+1/4,1x2;1/4+1/4+1/6+1/3,x2=0,x1;1/2,1x2;1,x2,同理,由FY(y)=PX+,Yy=yiyi=1+Pij, 得(X,Y)关于Y得边缘分布函数为 FY(y)=0,y-1;2/12,-1y0;1,y0、习题13已知随机变量X1与X2得概率分布为且PX1X2=0=1

19、、(1)求X1与X2得联合分布律; (2)问X1与X2就是否独立？解答:(1)本题就是已知了X1与X2得边缘分布律,再根据条件PX1X2=0=1, 求出联合分布、 列表如下:X2X1-1 0 1PX2=j011/4 0 1/4 0 1/2 01/21/2PX1=i1/4 1/2 1/41由已知PX1X2=0=1,即等价于PX1X20=0,可知PX1=1,X2=1=0,PX1=-1,X2=1=0、再由p1=p-11+p11+p01, 得p01=1/2, p-10=p-1=p-11=1/4,p10=p1-p11=1/4,从而得p00=0、(2)由于p-10=14p-1p0=1412=1/8, 所以

20、知X1与X2不独立、4、1 数学期望 习题4据统计,一位60岁得健康(一般体检未发生病症)者,在5年之内仍然活着与自杀死亡得概率为p(0pa),应如何确定b才能使公司可期望获益,若有m人参加保险,公司可期望从中收益多少？解答:令X=“从一个参保人身上所得得收益”,由X得概率分布为E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)0,即aba/(1-p)对于m个人,有E(mX)=mE(X)=ma-mb(1-p)、习题8设随机变量X得概率密度为f(x)=1-1-x,0x20,其它,求E(X)、解答:f(x)=x,0x1;2-x,1x00,x0,求:(1)Y=2X得数学期望;(2)Y=e-2X得

21、数学期望、解答:(1)E(Y)=E(2X)=-,+;2xf(x)dx=0,+;2xe-xdx=2、(2)E(e2X)=-,+;e-2xf(x)dx=0,+;e-3xdx=1/3、复变函数与积分变换习题一7、将下列复数表示为指数形式或三角形式解:其中.解:其中.解:解:、 解:解:. 8、计算:(1)i得三次根;(2)-1得三次根;(3) 得平方根、i得三次根.解:.-1得三次根解: 得平方根.解: .习题二1、 求映射下圆周得像、解:设则 因为,所以所以 ,所以即,表示椭圆、6、 试判断下列函数得可导性与解析性、(1) ;解:在全平面上可微、所以要使得, , 只有当z=0时,从而f(z)在z=

22、0处可导,在全平面上不解析、(2) 、解:在全平面上可微、只有当z=0时,即(0,0)处有,、所以f(z)在z=0处可导,在全平面上不解析、(3) ;解:在全平面上可微、所以只有当时,才满足C-R方程、从而f(z)在处可导,在全平面不解析、(4) 、解:设,则所以只有当z=0时才满足C-R方程、从而f(z)在z=0处可导,处处不解析、7、 证明区域D内满足下列条件之一得解析函数必为常数、(1) ;证明:因为,所以,、所以u,v为常数,于就是f(z)为常数、(3) Ref(z)=常数、证明:因为Ref(z)为常数,即u=C1, 因为f(z)解析,C-R条件成立。故即u=C2从而f(z)为常数、5

23、、 |f(z)|=常数、证明:因为|f(z)|=C,对C进行讨论、若C=0,则u=0,v=0,f(z)=0为常数、若C0,则f(z) 0,但,即u2+v2=C2则两边对x,y分别求偏导数,有利用C-R条件,由于f(z)在D内解析,有所以 所以即u=C1,v=C2,于就是f(z)为常数、13、 计算下列各值(1) e2+i=e2ei=e2(cos1+isin1)15、 计算下列各值.(1)(2)(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i(4)17、 计算下列各值.(2)18、 计算下列各值(1)(2)习题三1、 计算积分,其中C为从原点到点1+i得直线段、解 设直线段得方程为,则、 故 17、 计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为得正向圆周(2) 中心位于点,半径为得正