21第21课时全等三角形练习册.docx
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21第21课时全等三角形练习册
第四章三角形
第21课时 全等三角形
1.(2016厦门)如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DEC全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠DEC=( )
A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB
第1题图第2题图
2.(2016黔西南州)如图,点B、F、C、E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DEB.AC=DF
C.∠A=∠DD.BF=EC
3.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是( )
A.带①去B.带②去
C.带③去D.带①和②去
第3题图第4题图
4.(2016陕西)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有( )
A.2对B.3对C.4对D.5对
5.(2016泰安)如图,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是边PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为( )
A.44°B.66°C.88°D.92°
第5题图第6题图
6.(2015绍兴)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线,此角平分仪的画图原理是:
根据仪器结构,可得△ABC≌△ADC,这样就有∠QAE=∠PAE.则说明这两个三角形全等的依据是( )
A.SASB.ASAC.AASD.SSS
7.(2015宜昌)如图,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
第7题图
8.(2016六盘水)我们知道:
“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”.但是,小亮发现:
当这两个三角形都是锐角三角形时,它们会全等,除小亮的发现之外,当这两个三角形都是__________时,它们也会全等;当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形,另一个是________时,它们一定不全等.
9.(2016贺州)如图,在△ABC中,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE、BD交于点O,则∠AOB的度数为________.
第9题图
10.(2016济宁)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E.AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件:
______________,使△AEH≌△CEB.
第10题图第11题图
11.(2016南京一模)两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC与BD相交于点O,下列判断正确的有________(将正确结论的序号填在横线上).
①AC⊥BD;②AC、BD互相平分;③AC平分∠BCD;④∠ABC=∠ADC=90°;⑤筝形ABCD的面积为
AC·BD.
12.(2016昆明)如图,点D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.
求证:
AE=CE.
第12题图
13.(2016泉州)如图,△ABC、△CDE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点E在AB上.
求证:
△CDA≌△CEB.
第13题图
14.(2017原创)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,延长AC到点D,使CD=CE.求证:
(1)△ACE≌△BCD;
(2)AE⊥BD.
第14题图
15.(2016宜昌)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下:
如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等.AC、BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D.已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度.
第15题图
16.(2016襄阳)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:
AB=AC;
(2)若AD=2
,∠DAC=30°,求AC的长.
第16题图
17.(2016盐城射阳校级月考)如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别是BC、CA延长线上的点,且CD=AE,DA的延长线交BE于点F.
(1)求证:
△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
第17题图
18.(2016呼和浩特)已知,如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:
△ACE≌△BCD;
(2)求证:
2CD2=AD2+DB2.
第18题图
19.(2017原创)已知,如图△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.求证:
第19题图
(1)BF=AC;
(2)CE=
BF.
20.(2016常德)己知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H交BE于F.
(1)如图①,当E在CD的延长线上时,求证:
①△ABC≌△ADE;②BF=EF;
(2)如图②,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?
请证明你的结论.
图①图②
第20题图
答案
1.D 【解析】根据全等三角形的对应角相等,找准对应角便可.由于∠DEC的对应角是∠AFB,则∠DEC=∠AFB,故选D.
2.C 【解析】∵AB∥ED,AC∥FD.∴会得到∠B=∠E,∠BCA=∠EFD,已经有两个角对应相等,因此只要添加一组对应边相等即可.若再添加一组对应角相等,则不能证明三角形全等,故选C.
3.C 【解析】A.带①去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不能得到与原来一样的三角形,故A选项错误;B.带②去,仅保留了原三角形的一部分边,也不能得到与原来一样的三角形,故B选项错误;C.带③去,不但保留了原三角形的两个角,还保留了其中一个边,符合ASA判定,故C选项正确;D.带①和②去,仅仅保留了原三角形的一个角和部分边,同样不能得到与原来一样的三角形,故D选项错误.
4.C 【解析】由题意可知:
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠A=∠C,DA=DC,∴△ABD≌△CBD(SAS);
(2)∵四边形ABCD是正方形,O是BD的中点,∴∠MNO=M′N′O,∠MON=∠M′ON′,ON=ON′,∴△MON≌△M′ON′(ASA);(3)∵四边形ABCD是正方形,O是BD的中点,∴∠DON=∠BON′,∠DNO=∠BN′O,OB=OD,∴△DON≌△BON′(AAS);(4)∵四边形ABCD是正方形,O是BD的中点,∴∠DOM=∠BOM′,∠MDO=∠M′BO,OD=OB,∴△DOM≌△BOM′(ASA).故图中的全等三角形共有4对.
5.D 【解析】∵PA=PB,∴∠A=∠B,∵AM=BK,AK=BN,∴△AMK≌△BKN(SAS),∴∠BKN=∠AMK,∵∠MKB=∠MKN+∠BKN=∠AMK+∠A,∴∠A=∠MKN=44°,∴∠P=180°-∠A-∠B=180°-2∠A=92°.
6.D 【解析】在△ADC和△ABC中,
,∴△ADC≌△ABC(SSS),∴∠DAC=∠BAC,即∠QAE=∠PAE.
7.C 【解析】要使△ABP和△ABC全等,点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离,即3个单位长度,故点P的位置可以是P1,P2,P4三个.
8.直角三角形 钝角三角形(其他符合题意的结论也可以) 【解析】当两个三角形都是直角三角形,利用HL即可得证;当两个三角形中一个是锐角三角形,一个是钝角三角形,则一定不全等,因为他们有一组角无法对应相等.
9.120° 【解析】如解图,设AC与BD交于点H,∵△ACD和△ECB都为等边三角形,∴AC=DC,CE=BC,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB,即∠ACE=∠DCB,在△ACE与△DCB中,
,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴∠CAE=∠CDB,
∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°,∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°,∠DHC=∠OHA,∴∠AOH=∠DCH=60°,∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.
第9题解图
10.AH=CB(只要符合要求即可) 【解析】∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,∴∠BEC=∠AEC=90°,在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,在Rt△AEH和Rt△CDH中,∠CHD=∠AHE,∴∠EAH=∠BCE,所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB;根据ASA添加AE=CE.可证△AEH≌△CEB.
11.①③⑤ 【解析】在△ABC和△ADC中,
,∴△ABC≌△ADC(SSS).则∠BCA=∠DCA,即AC平分∠BCD,∴③正确.在△BOC和△DOC中,
,∴△BOC≌△DOC(SAS).∴∠BOC=∠DOC,又∵∠BOC+∠DOC=180°,∴∠BOC=∠DOC=90°,即AC⊥BD.∴①正确.S筝形ABCD=S△ABD+S△BCD=
AO·BD+
CO·BD=
AC·BD.∴⑤正确.由题中已知条件无法判别②④.综上,正确的有①③⑤.
12.证明:
∵FC∥AB,
∴∠A=∠ACF,
在△ADE和△CFE中,
,
∴ADE≌CFE(AAS),
∴AE=CE.
13.证明:
∵△ABC、△CDE都是等腰三角形,
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2,
又∵BC=AC,EC=DC,
∴△CDA≌△CEB(SAS).
第13题解图
14.证明:
(1)∵∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD=90°,在△BCD和△ACE中,
,
∴△BCD≌△ACE(SAS);
(2)如解图,延长AE交BD于点O,
∵△BCD≌△ACE,
∴∠DBC=∠EAC,
∵∠DBC+∠D=90°,
∴∠D+∠EAC=90°,
∴∠AOD=90°,即AE⊥BD.
第14题解图
15.解:
∵AB∥CD,
∴∠ABO=∠CDO,
又∵OD⊥CD,
∴∠CDO=90°,
∴∠ABO=90°,即OB⊥AB.
∵相邻两平行线间的距离相等,
∴OB=OD.
在△ABO与△CDO中,
,
∴△ABO≌△CDO(ASA).
∴CD=AB=20(米).
16.
(1)证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∵BD=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
(2)解:
∵AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形,
又∵BD=CD,
∴D为BC的中点,
∴AD⊥BC.
在Rt△ADC中,∵∠DAC=30°,AD=2
,
∴AC=
=4.
17.
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,AC=AB,
∴∠EAB=∠ACD=120°,
在△CAD和△ABE中,
,
∴△ABE≌△CAD(SAS);
(2)解:
∵△ABE≌△CAD,
∴∠E=∠D,
∵∠D+∠CAD=∠ACB=60°,
∴∠BFD=∠E+∠EAF=∠D+∠CAD=60°.
18.证明:
(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,
∴CD=CE,AC=BC,∠ECD=∠ACB=90°,
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,
即∠ACE=∠BCD,
在△ACE与△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS);
(2)∵△ACE≌△BCD,
∴AE=BD,∠EAC=∠B=45°,
∴∠EAD=∠EAC+∠CAD=90°,
在Rt△EAD中,ED2=AD2+AE2,
∴ED2=AD2+BD2,
又∵ED2=EC2+CD2=2CD2,
∴2CD2=AD2+DB2.
19.证明:
(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠A+∠ABE=90°,∠ABE+∠DFB=90°,
∴∠A=∠DFB,
∵∠ABC=45°,∠BDC=90°,
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC;
∴BD=DC,
在△BDF和△CDA中,
∵
,
∴△BDF≌△CDA(AAS),
∴BF=AC;
(2)∵BE⊥AC,
∴∠AEB=∠CEB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
在△AEB和△CEB中,
∵
,
∴△AEB≌△CEB(ASA),
∴AE=CE,
即CE=
AC,
∵由
(1)知AC=BF,
∴CE=
BF.
20.
(1)证明:
①∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD,
即∠BAC=∠DAE,
又∵AB=AD,AC=AE,
∴△ABC≌△ADE(SAS);
②∵AH⊥CD,AE=AC,
∴AH是等腰△ACE的中垂线,
∴∠ACD=∠AED=45°,CH=EH,
又∵△ABC≌△ADE,
∴∠ACB=∠AED=45°,
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=45°+45°=90°,
∴BC∥AH,
即FH是△BCE中位线,
∴点F是BE的中点,
即BF=EF;
(2)解:
成立.
证明:
如解图,过点B作BG∥AE,交AH于点G,
第20题解图
∵AE∥BG,
∴∠AGB=∠GAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°,
∠GAE+∠CAH=90°,
∴∠ACH=∠GAE,
∴∠AGB=∠ACD,
∵∠BAG+∠DAH=90°,∠ADC+∠DAH=90°,
∴∠BAG=∠ADH,
又∵AB=AD,
∴△ABG≌△DAC(AAS),
∴BG=AC,
∵AC=AE,
∴BG=AE,
∵BG∥AE,
∴∠AEF=∠GBF,∠BGA=∠EAG,
∴△BFG≌△EFA(ASA),
∴BF=EF.