新初三暑期四边形复习B.docx

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新初三暑期四边形复习B

四边形

1．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=

，PB=

，PC=

，求PD的长

考点：

正方形的性质；勾股定理。

368876

专题：

计算题。

分析：

用EF，BE，AB分别表示AP，BP，用CF，PF，DC分别表示DP，CP，得AP2+CP2=DP2+BP2，已知AP，BP，CP代入上式即可求DP．

解答：

解：

延长AB，DC，过P分作PE⊥AE，PF⊥DF，则CF=BE，

AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，

DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，

∴AP2+CP2=CF2+FP2+AE2+EP2，

DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，

即AP2+CP2=DP2+BP2，

代入AP，BP，CP得DP=

=2

，

点评：

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边相等的性质，本题中求证AP2+CP2=DP2+BP2是解题的关键．

2．如图，▱ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED的大小

考点：

平行四边形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线。

368876

专题：

计算题。

分析：

由DE=2AB，可作辅助线：

取DE中点O，连接AO，根据平行四边形的对边平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．

解答：

解：

取DE中点O，连接AO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAB=180°﹣∠ABC=105°，

∵AF⊥BC，

∴AF⊥AD，

∴∠DAE=90°，

∴OA=

DE=OD=OE，

∵DE=2AB，

∴OA=AB，

∴∠AOB=∠ABO，∠ADO=∠DAO，∠AED=∠EAO，

∵∠AOB=∠ADO+∠DAO=2∠ADO，

∴∠ABD=∠AOB=2∠ADO，

∴∠ABD+∠ADO+∠DAB=180°，

∴∠ADO=25°，∠AOB=50°，

∵∠AED+∠EAO+∠AOB=180°，

∴∠AED=65°．

故选B．

点评：

此题考查了直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）、平行四边形的性质（平行四边形的对边平行）以及等腰三角形的性质（等边对等角），解题的关键是注意方程思想的应用．

3．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=　

考点：

矩形的性质；等腰三角形的性质。

368876

专题：

几何图形问题。

分析：

首先过A作AG⊥BD于G．根据等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，则PE+PF=AG．利用勾股定理求得BD的长，再根据三角形的面积计算公式求得AG的长，即为PE+PF的长．

解答：

解：

如图，过A作AG⊥BD于G，

则S△AOD=

×OD×AG，S△AOP+S△POD=

×AO×PF+

×DO×PE=

×DO×（PE+PF），

∵S△AOD=S△AOP+S△POD，

∴PE+PF=AG，

∴等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，

∴PE+PF=AG．

∵AD=12，AB=5，

∴BD=

=13，

∴

，

∴

．

故答案为：

．

4．如图，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：

GF∥AC．

考点：

平行四边形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质。

368876

专题：

证明题。

分析：

从角的角度证明困难，连接EF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形．

解答：

证明：

连接EF．

∵∠BAC=90°，AD⊥BC．

∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．

∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．

∵BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线．

∴∠ABG=∠EBD．

∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，

∴∠AGE=∠AEG，

∴AG=AE，

∵AF是∠DAC的平分线，

∴AO⊥BE，GO=EO，

∵

∴△ABO≌△FBO，

∴AO=FO，

∴四边形AGFE是平行四边形，

∴GF∥AE，

即GF∥AC．

5．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．

（1）求证：

△ACD≌△CBF；

（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．

考点：

平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

368876

专题：

证明题。

分析：

（1）在△ACD和△CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．

（2）当∠DEF=30°，即为∠DCF=30°，在△BCF中，∠CFB=90°，即F为AB的中点，又因为△ACD≌△CBF，所以点D为BC的中点．

解答：

证明：

（1）由△ABC为等边三角形，AC=BC，∠FBC=∠DCA，CD=BF，

所以△ACD≌△CBF．

（2）当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF=30度

按上述条件作图，

连接BE，

在△AEB和△ADC中，

AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∠EAB=∠DAC，AE=AD，

∴△AEB≌△ADC（SAS），

又∵△ACD≌△CBF，

∴△AEB≌△ADC≌△CFB，

∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，

∴△EFB为正三角形，

∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，

又∵∠ABC=60°，

∴∠EFB=∠ABC=60°，

∴EF∥BC，

而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，

∴四边形CDEF为平行四边形，

∵D在线段BC上的中点，

∴F在线段AB上的中点，

∴∠FCD=

×60°=30°

则∠DEF=∠FCD=30°．

6．如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．

考点：

等腰三角形的判定。

368876

专题：

证明题。

分析：

根据已知，利用SAS判定△AEM≌△BFM，从而得到EM=FM；根据角之间的关系可求得∠EMF=90°，即△MEF是等腰直角三角形．

解答：

解：

△MEF是等腰直角三角形．

证明如下：

连接AM，

∵M是BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC，

∴AM=

BC=BM，AM平分∠BAC．

∵∠MAC=∠MAB=

∠BAC=45°．

∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴DE∥AB，DF∥AC．

∵∠BAC=90°，

∴四边形DFAE为矩形．

∴DF=AE．

∵DF⊥BF，∠B=45°．

∴∠BDF=∠B=45°．

∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，

∴AE=BF．

∵AM=BM

∴△AEM≌△BFM（SAS）．

∴EM=FM，∠AME=∠BMF．

∵∠AMF+∠BMF=90°，

∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，

∴△MEF是等腰直角三角形．

7．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC，试证：

BC⊥BD，且BC=BD．

考点：

等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质。

368876

专题：

证明题。

分析：

此题关键是证△PBC≌△PDB，已有PC=PD，PB是公共边，只需再证明∠BPD=∠CPB，而∠BPD=∠APG，则证明∠APG=∠CPB，进而需要证明∠1=∠2，可利用同角的余角相等证明．

解答：

解：

∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，∠ACB=90°，

∴CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），

∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

∵PG⊥EF，

∴∠PEF+∠2=90°，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠ABC=45°，

∴∠APE=∠BPF=45°，

∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，

即∠APG=∠CPB，

∵∠BPD=∠APG，

∴∠BPD=∠CPB，

又∵PC=PD，PB是公共边，

∴△PBC≌△PBD（SAS），

∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，

∴∠PBC+∠PBD=90°，

即BC⊥BD．

故证得：

BC⊥BD，且BC=BD．

8..如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）.

（1）求证：

∠EAP=∠EPA；

（2）□APCD是否为矩形？

请说明理由；

（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】

（1）证明：

在ΔABC和ΔAEP中

∵∠ABC=∠AEP，∠BAC=∠EAP

∴∠ACB=∠APE

在ΔABC中，AB=BC

∴∠ACB=∠BAC

∴∠EPA=∠EAP

（2）答：

□APCD是矩形

∵四边形APCD是平行四边形

∴AC=2EA,PD=2EP

∵由

（1）知∠EPA=∠EAP

∴EA=EP

则AC=PD

∴□APCD是矩形

（3）答：

EM=EN

∵EA=EP∴∠EPA=90°－

α

∴∠EAM=180°-∠EPA=180°-（90°-

α）=90°+

α

由

（2）知∠CPB=90°,F是BC的中点，∴FP=FB

∴∠FPB=∠ABC=α

∴∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90°-

α+α=90°+

α

∴∠EAM=∠EPN

∵∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN

∴∠AEP=∠MEN

∴∠AEP-∠AEN=∠MEN-∠AEN即∠MEA=∠NEP

四边形

1．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=

，PB=

，PC=

，求PD的长

2．如图，▱ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED的大小

3．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF=　

4．如图，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：

GF∥AC．

5．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．

（1）求证：

△ACD≌△CBF；

（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．

6．如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．

7．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC，试证：

BC⊥BD，且BC=BD．

8.如图1，在△ABC中，AB=BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP=α（0°<α<90°）.

（1）求证：

∠EAP=∠EPA；

（2）□APCD是否为矩形？

请说明理由；

（3）如图2，F为BC中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN（点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点）.猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.