届一轮复习人教A版51 平面向理的概念及线性运算 学案.docx

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届一轮复习人教A版51平面向理的概念及线性运算学案

1．向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）

平面向量是自由向量

零向量

长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±

平行向量

方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a＋b＝b＋a；

（2）结合律：

（a＋b）＋c

＝a＋（b＋c）

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

（1）λ（μa）＝（λμ）a；

（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；

（3）λ（a＋b）＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

【知识拓展】

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝（＋）．

3.＝λ＋μ（λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（　×　）

（2）|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．（　√　）

（3）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　×　）

（4）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（　×　）

（5）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（　√　）

1．给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是（　　）

A．①B．③

C．①③D．①②

答案　A

解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．

2．（教材改编）D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（　　）

A．－＋B．－－

C.－D.＋

答案　A

解析　如图，

＝＋＝＋＝－＋.

3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当a＋b＝0时，a＝－b，∴a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b，∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．

4．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb（λ，μ∈R），那么A，B，C三点共线的充要条件是（　　）

A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1

C．λμ＝－1D．λμ＝1

答案　D

解析　由＝λa＋b，＝a＋μb（λ，μ∈R）及A，B，C三点共线得＝t，

所以λa＋b＝t（a＋μb）＝ta＋tμb，

即可得所以λμ＝1，故选D.

5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.

答案　2

解析　由向量加法的平行四边形法则，

得＋＝.

又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，

∴＋＝2.又＋＝λ，∴λ＝2.

题型一　平面向量的概念

例1　给出下列四个命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是（　　）

A．②③B．①②

C．③④D．②④

答案　A

解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

②正确．∵＝，∴||＝||且∥，

又A，B，C，D是不共线的四点，

∴四边形ABCD为平行四边形；

反之，若四边形ABCD为平行四边形，

则∥且||＝||，∴＝.

③正确．

∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，

又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，

∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.

思维升华　向量有关概念的关键点

（1）向量定义的关键是方向和长度．

（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等．

（4）单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度．

（5）零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．

　设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

答案　D

解析　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

题型二　平面向量的线性运算

命题点1　向量的线性运算

例2　

（1）在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于（　　）

A.b＋cB.c－b

C.b－cD.b＋c

（2）（2015·课标全国Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，若＝3，则（　　）

A.＝－＋B.＝－

C.＝＋D.＝－

答案　

（1）A　

（2）A

解析　

（1）∵＝2，∴－＝＝2

＝2（－），

∴3＝2＋A，

∴＝＋＝b＋c.

（2）∵＝3，∴－＝3（－），

即4－＝3，∴＝－＋.

命题点2　根据向量线性运算求参数

例3　

（1）设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2（λ1、λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

（2）在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若＝x＋（1－x），则x的取值范围是（　　）

A.B.

C.D.

答案　

（1）　

（2）D

解析　

（1）＝＋＝＋

＝＋（＋）＝－＋，

∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

（2）设＝y，

∵＝＋

＝＋y＝＋y（－）

＝－y＋（1＋y）.

∵＝3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），

∴y∈，

∵＝x＋（1－x），

∴x＝－y，∴x∈.

思维升华　平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

（1）向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

（2）求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

（3）求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

　如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

解析　∵＝，＝，

∴＝，＝2.

由向量加法的平行四边形法则可知，

＝＋，

∴＝λ＝λ（＋）

＝λ

＝λ＋2λ，

由E，F，K三点共线，可得λ＝，

故选A.

题型三　共线定理的应用

例4　设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），

求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

（1）证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），

∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）

＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5，

∴，共线．

又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．

（2）解　假设ka＋b与a＋kb共线，

则存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即（k－λ）a＝（λk－1）b.

又a，b是两个不共线的非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0.

消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.

思维升华　

（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

（2）向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．

（1）已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则（　　）

A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线

C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线

（2）如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为________．

答案　

（1）B　

（2）2

解析　

（1）∵＝＋

＝2a＋6b＝2（a＋3b）＝2，

∴、共线，又有公共点B，

∴A，B，D三点共线．故选B.

（2）取AC的中点D，连接OD，

则＋＝2，

∴＝－，

∴O是AC边上的中线BD的中点，

∴S△ABC＝2S△OAC，

∴△ABC与△AOC面积之比为2.

5．容易忽视的零向量

典例　下列叙述错误的是________．

①若a∥b，b∥c，则a∥c.

②若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．

③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同．

④向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

⑤＋＝0.

⑥若λa＝λb，则a＝b.

错解展示

解析　⑤中两个向量的和仍是一个向量，∴＋＝0.

答案　⑤

现场纠错

解析　对于①，当b＝0时，a不一定与c平行．

对于②，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同．

对于③，当a，b之一为零向量时结论不成立．

对于④，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0或a≠0但b＝0时，λ不存在．

对于⑤，由于两个向量之和仍是一个向量，

所以＋＝0.

对于⑥，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.

故①②③④⑤⑥均错．

答案　①②③④⑤⑥

纠错心得　在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．

1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是（　　）

A．a＋b＝0

B．a＝b

C．a与b共线反向

D．存在正实数λ，使a＝λb

答案　D

解析　因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．

2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c等于（　　）

A．aB．b

C．cD．0

答案　D

解析　依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有（a＋b）－（b＋c）＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.

3．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则下列一定共线的三点是（　　）

A．A，B，CB．A，B，D

C．B，C，DD．A，C，D

答案　B

解析　因为＝＋＋＝3a＋6b＝3（a＋2b）＝3，又，有公共点A，所以A，B，D三点共线．

4．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是（　　）

A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上

C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部

答案　C

解析　由＋＋＝得＋＝－＝，即＝－＝2，所以点P在线段AC上．

5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　B

解析　∵O为BC的中点，

∴＝（＋）

＝（m＋n）＝＋，

∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，

∴m＋n＝2.

6．设P为锐角△ABC的外心（三角形外接圆的圆心），＝k（＋）（k∈R），若cos∠BAC＝，则k等于（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　取BC的中点D，连接PD，AD，

则PD⊥BC，＋＝2，

∵＝k（＋）（k∈R），

∴＝2k，∴A，P，D三点共线，

∴AB＝AC，

∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝＝＝，

∴AP＝AD，∴2k＝，解得k＝，故选A.

7．（2015·课标全国Ⅱ）设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.

答案　

解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.

8.（2016·滨州一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb（x，y∈R），则x＋y＝________.

答案　

解析　如图，取单位向量i，j，

则a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.

∴c＝xa＋yb＝x（i＋2j）＋y（2i－j）＝（x＋2y）i＋（2x－y）j，

∴　∴

∴x＋y＝.

9．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是________．

答案　－1

解析　∵＝a＋b，＝a－2b，

∴＝＋＝2a－b.

又∵A，B，D三点共线，∴，共线．

设＝λ，

∴2a＋pb＝λ（2a－b），

∵a，b不共线，

∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.

*10.设G为△ABC的重心，且sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，则角B的大小为________．

答案　60°

解析　∵G是△ABC的重心，∴＋＋＝0，＝－（＋），将其代入sinA·＋sinB·＋sinC·＝0，得（sinB－sinA）＋（sinC－sinA）＝0.又，不共线，

∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，

则sinB＝sinA＝sinC．根据正弦定理知b＝a＝c，

∴△ABC是等边三角形，则角B＝60°.

11.如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.

解　＝（＋）＝a＋b.

＝＋＝＋＝＋（＋）

＝＋（－）

＝＋

＝a＋b.

12．设a，b是不共线的两个非零向量．

（1）若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：

A，B，C三点共线；

（2）若＝a＋b，＝2a－3b，＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．

（1）证明　由已知得，

＝－＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，

＝－＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，

故＝－2，

又与有公共点B，所以A，B，C三点共线．

（2）解　＝＋＝3a－2b，＝2a－kb.

因为A、C、D三点共线，所以＝λ，

即3a－2b＝2λa－kλb，

所以　所以

综上，k的值为.

*13.已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n（m，n∈R）．

（1）若m＋n＝1，求证：

A，P，B三点共线；

（2）若A，P，B三点共线，求证：

m＋n＝1.

证明　

（1）若m＋n＝1，

则＝m＋（1－m）＝＋m（－），

∴－＝m（－），

即＝m，∴与共线．

又∵与有公共点B，则A，P，B三点共线．

（2）若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使＝λ，

∴－＝λ（－）．

又＝m＋n.

故有m＋（n－1）＝λ－λ，

即（m－λ）＋（n＋λ－1）＝0.

∵O，A，B不共线，∴，不共线，

∴∴m＋n＝1.