新人教版八年级下册导学案.docx

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新人教版八年级下册导学案

第十六章分式

课题16.1分式课时：

三课时

第一课时16.1.1从分数到分式

【学习目标】

1.会从实际问题抽象出分式的概念，理解分式的概念。

2.能正确判断一个代数式是否为分式，能区分整式与分式。

3.理解并掌握分式有意义的条件。

4.通过对分式与分数的类比，学会运用类比转化的思想方法研究数学问题。

【重点难点】

重点：

理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件。

难点：

能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件。

【导学指导】

复习旧知：

1.什么是整式？

什么是单项式？

什么是多项式？

2.判断下列各式中，哪些是整式？

哪些不是整式？

⑴x+2y/3⑵a-b/π⑶2/m+n⑷2/3（a²-b²）（5）2/a

学习新知：

阅读教材P2-P4相关内容后回答，

1.一般地，用A，B表示，并且B中含有，式子A/B就叫做分式。

其中，A叫做分式的，B叫做分式的，因为零不能做除数，所以不能为零。

2.当x时，分式4/x-1有意义。

3.当x时，分式x-1/x+1的值为0。

4.当x时，分式2/|x|-2无意义。

【课堂练习】

1.教材p4练习第1,2,3题。

2.当x为何值时，分式2-x/3x+2无意义？

3.当x为何值时，分式x/x²-3x+2的值为0？

4.当x为何值时，分式5/6-x的值为1？

5.当x为何值时，分式2/3+x的值为负数？

【要点归纳】

与同伴交流一下，本节课你有哪些收获？

【拓展训练】

1.当x为何值时，分式|x|-1/（x+3）（x-1）的值为0？

2.若不论x取何值时，分式5/x²-2x+m总有意义，试求m的取值范围？

3.已知分式k²-9/3k-9的值为0，试求关于x的函数y=（k+2）x+（2-k）的图象与x轴，y轴围成的三角形的面积。

第二课时16.1.2分式的基本性质

【学习目标】

1.通过类比分数的基本性质，了解分式的基本性质。

2.能够灵活运用分式的基本性质进行分式的变形。

3.会用分式的基本性质探求分式变形中的符号法则。

【重点难点】

重点：

理解并掌握分式的基本性质。

难点：

灵活运用分式的基本性质进行分式变形。

【导学指导】

复习旧知：

1.下列分数是否相等？

可以进行变形的的依据是什么？

2/34/68/1216/2432/48

2.分数的基本性质是什么？

试着用字母表示分数的基本性质。

3.类比分数的基本性质，你能猜想出分式有什么性质吗？

学习新知：

阅读教材P4-P5相关内容，思考，讨论，交流后完成下列问题。

1.分式的基本性质是什么？

和你猜想的一样吗？

它和分数的基本性质有什么异同？

2.你能用式子表示分式的基本性质吗？

【课堂练习】

1.利用分式的基本性质，将下列各式化为更简单的形式。

（1）2bc/ac

（2）（x+y）y/xy²（3）x²+xy/（x+y）²

2.不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号。

（1）-2a/-3b

（2）-3x/2y（3）--x²/2a

3.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都为正数。

（1）x+1/-2x-1

（2）2-x/-x²+3（3）-x-1/x+1

【要点归纳】

1.分式的基本性质是什么？

运用分式的基本性质应注意什么？

2.经历分式基本性质得出的过程，从中学到了什么方法，受到什么启发？

【拓展训练】

1.不改变分式的值，把下列分式的分子与分母各项的系数都化为整数。

（1）1/2x+1/3y/1/2x-2/3y

（2）0.3a+5b/0.2a-b

2.已知x/2=y/3=z/4,求2x+3y+4z/5x-2y的值。

3.已知x²+3x+1=0,求x²+1/x²的值。

第三课时16.1.2分式的基本性质

【学习目标】

1.类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义。

2.类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤。

【重点难点】

重点：

运用分式的基本性质正确的进行分式的约分与通分。

难点：

通分时最简公分母的确定；运用通分法则将分式进行变形。

【导学指导】

阅读教材P6-P8相关内容，思考，讨论，交流下列问题。

1.做下列各题：

（1）4/64

（2）20/1280

你做这些题目的根据是什么?

我们称为什么运算？

2.与分数的约分类似，你能把分式4a/8a2b约分吗？

分式约分的依据是什么？

分式约分约去的是什么？

3.什么叫做分式的约分？

什么叫做最简分式?

4.把分数1/2,3/4,5/6通分。

什么叫分数的通分?

5.类似于分数的通分，你能说出分式的通分吗？

什么叫做最简公分母？

【课堂练习】

1.教材P8练习1、2题。

2.分式4y+3x/2a,a2-b2/a-b,m+n/m-n,x2-2xy/xy-2y2中是最简分式的有哪些？

3.约分:

（1）2ab2/20a2b

（2）x2-2x/x2-4x+4（3）x2-9/x2-6x+9（4）4x2-8xy+4y2/2x2-2y2

4.通分：

（1）x/6ab2,x/9a2bc

（2）a-1/a2+2a+1,6/a2-1（3）2a/2a+3，3/3-2a,2a+15/4a2-9

【要点归纳】

1.什么是分式的约分？

怎样进行分式的约分？

什么是最简分式?

2.什么是分式的通分？

怎样进行分式的通分？

什么是最简公分母？

3.你还有什么要和同伴交流的？

【拓展训练】

阅读下题的解答过程，并解决后面的问题。

已知x+1/x=2,求x2+1/x2的值。

解：

将x+1/x=2两边平方得（x+1/x）2=4，即x2+2·x·1/x+1/x2=4,所以

x2+1/x2=4-2=2

问题：

已知y2+y-1=0,求y2+1/y2的值。

课题16.2分式的运算课时：

五课时

第一课时16.2.1分式的乘除

【学习目标】

1.通过类比分数的乘除运算法则，探究得出并掌握分式的乘除法法则。

2.会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数划归能力。

3.能解决一些与分式有关的简单实际问题。

【重点难点】

重点：

分式的乘除法法则。

难点：

运用分式的乘除法法则对分子、分母是多项式的分式进行乘除运算和符号变化。

【导学指导】

阅读教材P10-P12内容，思考、讨论、交流完成下列问题。

1.用语言描述分数的乘除法法则，并用字母表示出来。

2.类比分数的乘除法法则，用语言描述分式的乘除法法则，并用字母表示出来。

3.在进行分式的乘除运算时，如果分式的分子、分母是多项式时，应该怎么办？

分式的乘除法对运算结果有什么要求？

【课堂练习】

1.教材P13练习1,2,3题。

2.计算：

（1）c2/ab·a2b2/c

（2）–n2/2m·4m2/5n3

（3）y/7x÷（-2/x）（4）-8xy÷2y/5x

（5）a2-4/a2-2a+1·a2-1/a2+4a+4（6）y2-6y+9/y+2÷（3-y

【要点归纳】

你在本节课中学习了哪些知识？

有什么需要与同伴交流的？

【拓展训练】

1.若2a=3b,则2a2/3b2等于（）

A.1B.2/3C.3/2D.9/6

2.先化简，再求值：

a-1/a+2·a2-4/a2-2a+1÷1/a2-1,其中a满足a2-a=0.

3.通常购买同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。

假如我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，已知球的体积公式为V=4/3πR3（其中R为球的半径）。

那么：

（1）西瓜瓤和整个西瓜的体积各是多少？

（2）西瓜瓤和整个西瓜的体积的比是多少？

（3）买大西瓜合算还是买小西瓜合算？

第二课时16.2.1分式的乘除

【学习目标】

1.进一步熟悉分式的乘除法法则，会进行分式乘、除的混合运算。

2.掌握分式乘方的运算法则，会进行简单的乘、除、乘方混合运算。

3.在实际生产生活背景中运用分式的乘除解决一些问题，提高应用能力。

【重点难点】

重点：

分式乘除、乘方的混合运算。

难点：

（1）乘、除、乘方混合运算中运算顺序以及结果符号的确定。

（2）例3第1小题中比较（a-1）2与a2-1的大小过程比较复杂，也是本节的难点。

【导学指导】

复习旧知：

1.分式的乘除法法则。

2.乘方的意义。

学习新知：

阅读教材P12“例3”-P14相关内容，思考、讨论、交流后完成下列问题。

1.分式的乘方法则：

公式：

文字叙述：

2.分式的乘除混合运算怎么做?

3.分式的乘、除、乘方混合运算又怎么做？

4.“例3”中，比较两个分式的大小，当分子一样时，可以通过比较分母来比较两个分式的大小，分母越大，分式越，为什么当a>1时，（a-1）2=a2-2a+1会“<”a-2+1呢？

5.到目前为止，幂的运算法则都有什么？

【课堂练习】

1.教材P15练习1,2题。

【要点归纳】

我们今天学习了哪些知识？

你有什么收获？

与同伴交流一下。

【拓展训练】

1.计算：

（1）（xy-x2）·xy/x2-2xy+y2÷x2/x-y

（2）（x2-4y2）÷2y+x/xy·1/x（2y-x）

（3）x2+xy/x2-xy÷（x+y）÷xy/y2-xy（4）a2÷b÷1/b÷c×1/c÷d×1/d

2.已知|a+4|+（b-9）2=0,求a2+ab/b2·a2-ab/a2-b2的值。

3．某中学的操场原来是长方形，后来将其长缩短了10米，宽增加了10米，使操场变成了正方形。

（1）试用分式表示操场变化后于变化前的面积之比。

（2）若操场扩大后的面积不小于原来面积的2倍，求正方形操场的边长至多是多少米？

（精确到米）

第三课时16.2.2分式的加减

【学习目标】

理解并掌握分式的加减法则，并会运用它们进行分式的加减运算。

【重点难点】

重点：

运用分式的加减运算法则进行运算。

难点：

异分母分式的加减运算。

【导学指导】

复习旧知：

1.什么叫通分？

通分的关键是什么？

2.什么叫最简公分母?

学习新知：

阅读教材P15-P16相关内容，思考，讨论，交流后完成下列问题。

1.分数的加减运算法则是什么？

计算下列各式：

（1）1/5+2/5

（2）1/5–2/5（3）1/2+1/3（4）1/2–1/3

2.类比分数的加减法，你能猜想出分式的加减法法则吗？

分别用语言和式子表示分式的加减法法则。

【课堂练习】

1．教材P16练习1、2题。

2．计算：

（1）3a/a-b+5a/b-a

（2）5a/2a+3b+4b/-2a-3b（3）x+2/x-3–4/3-x

（4）4/x-1–9/2x+1

（2）5/x²-9+7/x+3（3）a²/a-1–a-1

【要点归纳】

今天我们学习了哪些知识？

你有什么收获？

还有什么疑惑？

与同伴交流一下。

【拓展训练】

1.已知ab/a+b=1/3,bc/b+c=1/4,ca/c+a=1/5,求abc/ab+bc+ca的值。

2．计算：

1/1-x+1/1+x+2/1+x²+4/1+x4–8/1-x8

3.某车间师傅小李和小王生产同一种零件，小李比小王每小时多生产8个。

现在要求小李生产出168个这种零件，要求小王生产出144个这种零件，他们两谁先完成任务呢？

第四课时16.2.2分式的加减

【学习目标】

1.明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算。

2.能灵活运用运算律简便运算。

【重点难点】

重点：

熟练地进行分式的混合运算。

难点：

熟练地进行分式的混合运算。

【导学指导】

复习旧知：

1.我们已经学习了分式的哪些运算？

2.分式的乘除运算主要是通过进行的，分式的加减运算主要是通过进行的。

3.分数的混合运算法则是什么？

学习新知：

阅读教材P17-P18相关内容，思考讨论，合作交流完成下列问题：

与分数类似，分式的混合运算法则是什么？

【课堂练习】

1.教材P18练习1、2题。

2.计算：

（1）x2/x-1–x-1

（2）（1-2/x+1）2÷x-1/x+1

（3）（1/x-y+1/x+y）÷xy/x2-y2（4）（x+2/x2-2x–x-1/x2-4x+4）÷4-x/x

（5）x/x-y·y2/x+y–x4y/x4-y4÷x2/x2+y2

【要点归纳】

今天你学到了什么知识？

有什么收获？

有什么疑问？

与同伴交流一下。

【拓展训练】

1.阅读例题：

计算1/x（x+1）+1/（x+1）（x+2）+1/（x+2）（x+3）

解：

原式=1/x–1/x+1+1/x+1–1/x+2+1/x+2-1/x+3

=1/x–1/x+3

=3/x（x+3）

请仿照上题，

（1）计算2/（x+1）（x+3）+2/（x+3）（x+5）+2/（x+5）（x+7）

（2）计算3/（x+1）（x+4）+3/（x+4）（x+7）+3/（x+7）（x+10）

你发现什么了，验证一下，然后与同伴交流。

2．若3x-5/（x-3）（x+1）=A/x-3+B/x+1，求A、B的值。

第五课时16.2.3整数指数幂

【学习目标】

1.知道负整数指数幂a-n=1/an（a≠0,n是正整数）.

2.掌握整数指数幂的运算性质。

3.会用科学计数法表示小于1的数。

【重点难点】

重点：

掌握整数指数幂的运算性质；会用科学计数法表示小于1的数。

难点：

负整数指数幂的性质的理解和应用。

【导学指导】

阅读教材P18-P22相关内容，思考讨论，合作交流后完成下列问题。

1.回忆正整数指数幂的运算性质：

（1）同底数的幂的乘法：

（2）幂的乘方：

（3）积的乘方：

（4）同底数的幂的除法：

（5）分式的乘方：

2.回忆0指数幂的规定：

3.探索负整数指数幂的运算性质：

（1）仿照同底数幂的除法公式来计算：

52÷55=103÷107=

（2）利用约分计算这两个式子：

52÷55=52/55=52/52×53=1/53103÷107=103/107=103/103×104=1/104

由此，我们得到5=10=

（3）负整数指数幂的运算法则：

3.探索用科学计数法表示小于1的数：

由：

10-1=0.1；10-2=；10-3=；10-4=；10-5=；

归纳：

10-n=

应用：

0.000021=2.1×0.=2.1×10

【课堂练习】

1.教材P21练习第1、2题。

2.教材P22练习第1、2题。

3.将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式。

（1）2（a-1）-2bc-2

（2）2/3（x-y）-3（y-z）2（3）-5x2（y-z）-2（4）x2y3（x-1y）3

4.用科学计数法表示下列各数：

（1）光的速度是300000000米/秒；

（2）银河系中的恒星约有160000000000个；

（3）0.000054（4）-0.000786（5）-0.0020008

【要点归纳】

本节课我们学习了哪些知识？

你有什么收获？

【拓展训练】

1.已知3-x=27，（2/3）y=9/4,5z+2=1求x,y,z的值。

2.比较（-2/3）-3，-（2/3）3，（2/3）-3的大小。

4.请你化简下面的算式并求出S的值。

S=1+2-1+2-2+2-3+……+2-2009

课题16.3分式方程课时：

三课时

第一课时16.3分式方程

【学习目标】

1．理解分式方程的意义。

2．了解解分式方程的基本思路和解法。

3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法

【重点难点】

重点：

解分式方程的基本思路和解法。

难点：

理解解分式方程时可能无解的原因。

【导学指导】

阅读教材P26-P29相关内容，思考讨论，合作交流后完成下列问题。

1.什么是分式方程？

它与我们学过的整式方程有何不同？

2.我们已经会解整式方程，对于我们今天新学的分式方程，我们能否把它转化成我们会解的整式方程来做呢？

应该怎样转化呢？

3.在将分式方程变形为整式方程时，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），为什么会产生增根呢？

【课堂练习】

1.教材P29练习题。

2.指出下列方程中哪些是分式方程？

哪些不是分式方程？

为什么？

（1）2x/3+x-1/2=6

（2）x–1/x=2（3）1/2x+1–1=0（4）1/2x-1/3x=5

3.解下列方程：

（1）3/x-2+x/2-x=-2

（2）1/x+1=2/x-1（3）1/x-1+2x/x+1=2（4）2/x-2+x/2-x=0

【要点归纳】

今天我们学了哪些知识？

你有什么收获？

还有什么疑问？

与同伴交流一下。

【拓展训练】

1.若方程x-3/x-2=m/2-x无解，求m的值。

2．已知x=3是方程x-1/k-2=1的解，求k的值。

3.阅读下列材料：

关于x的方程x+1/x=c+1/c的解是x1=c,x2=1/c;

x-1/x=c-1/c的解是x1=c,x2=-1/c;

x+2/x=c+2/c的解是x1=c,x2=2/c;

x+3/x=c+3/c的解是x1=c,x2=3/c;……

（1）请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+m/x=c+m/c的解是什么？

并利用“方程的解”的概念进行验证。

（2）由上述的观察、比较、猜想、验证可以得出结论：

如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解。

请利用这个结论，解关于x的方程：

x+2/x-1=a+2/a-1

第二课时16.3分式方程

【学习目标】

1.掌握含有字母系数的分式方程的解法。

2.进一步了解分式方程产生增根的原因，理解分式方程若有增根，则增根一定是使分式的分母为0时的未知数的值。

3.能应用分式方程的解法进行简单的公式变形。

【重点难点】

重点：

含有字母系数的分式方程的解法。

难点：

正确运用题设条件解含有字母系数的分式方程。

【导学指导】

复习旧知：

1.什么叫分式方程？

2.解分式方程的一般步骤是什么？

3.什么叫做分式方程的增根？

为什么会产生增根？

学习新知：

1．从2009年9月起某列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？

分析：

这里的v,s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x千米/时，则

提速前列车行驶s千米所用的时间为小时，提速后列车的平均速度为千米/时，

提速后列车运行s+50千米所用的时间为小时。

根据行驶时间的等量关系可以列出方程。

这里，x是未知数，字母s,v是已知数，上述方程是含有字母系数的分式方程。

2．如何解含有字母系数的分式方程呢？

解分式方程；类似的，只把x当成未知数，s像300，v像10是已知数,我们可以解下面的含有字母系数的分式方程：

300/x=300+50/x+10s/x=s+50/x+v

【课堂练习】

1．教材P32习题16.3第2题。

2．照相机成像应用了一个重要的光学原理，即1/f=1/u+1/v（f≠v）。

其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离。

如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u,v来使成像清晰，问在f,v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u?

【要点归纳】

今天我们学习了哪些知识？

你有什么收获？

与同伴交流一下。

【拓展训练】

1．当a为何值时，分式方程x/x-3=2+a/x-3会产生增根？

2.若1/2y+3y+7的值为1/8，求1/4y+6y-9的值。

第三课时16.3分式方程

【学习目标】

1.进一步熟练的解可化为一元一次方程的分式方程。

2.能熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题。

【重点难点】

重点：

审明题意设未知数，列分式方程。

难点：

在不同的实际问题中，设未知数列分式方程。

【导学指导】

复习旧知：

1.解分式方程的步骤是什么？

2.列方程解应用题的步骤是什么？

3.我们学过哪几种类型的应用题？

每种类型的基本公式是什么？

（1）行程问题：

（2）数字问题：

（3）工程问题：

（4）顺水逆水问题：

（5）利润问题：

学习新知：

阅读教材P29-P31相关内容，思考讨论，合作交流后完成下列问题。

1.讨论完成例3，例4。

2.看看它们分别属于我们学过的哪种类型的应用题。

与我们以前列的方程有什么异同？

【课堂练习】

1.教材P31练习第1、2题。

2.轮船顺水航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同。

已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

【要点归纳】

本节课学习了哪些知识？

你有什么收获与疑惑？

与同伴交流一下。

【拓展训练】

某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召，在本乡建起了农民文化活动室，现要将其装修，若甲、乙两个装修公司合作需要8天完成，需要工钱8000元；若甲公司单独做6天后，剩下的由乙公司来做，还需要12天完成，共需要工钱7500元。

若只选一个公司单独完成，从节约角度考虑，该乡是选甲公司还是还是乙公司？

请你说明理由。

本章小结

一、画出本章知识结构图。

二、本章相关知识。

1．分式的概念：

2.分式的基本性质：

分式的基本性质是分式约分和通分的理论依据。

3.分式的乘除法法则：

4.分式的加减法法则：

（1）同分母分式的加减法法则：

（2）异分母分式的加减法法则：

5.分式的混合运算顺序：

6.分式方程的解法：

三、做一做。

1.当x=时，分式1/x-3没有意义；若分式|x|-1/x+1的值为0，则x的值为。

2．下列运算中，错误的是（）

A.a/b=ab/b2B.ab/b2=a/bC.0.5a+b/0.2a-0.3b=5a+10b/2a-3bD.a/b=ac/bc

3.已知x2-5x+1=0,求出x2+1/x2的值。

4.已知x/y=2/3,求出x2-y2/x2-2xy+y2÷xy+y2/2x2-2xy的值。

5．解方程。

（1）5/x