新人教版八年级下册导学案.docx
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新人教版八年级下册导学案
第十六章分式
课题16.1分式课时:
三课时
第一课时16.1.1从分数到分式
【学习目标】
1.会从实际问题抽象出分式的概念,理解分式的概念。
2.能正确判断一个代数式是否为分式,能区分整式与分式。
3.理解并掌握分式有意义的条件。
4.通过对分式与分数的类比,学会运用类比转化的思想方法研究数学问题。
【重点难点】
重点:
理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件。
难点:
能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件。
【导学指导】
复习旧知:
1.什么是整式?
什么是单项式?
什么是多项式?
2.判断下列各式中,哪些是整式?
哪些不是整式?
⑴x+2y/3⑵a-b/π⑶2/m+n⑷2/3(a²-b²)(5)2/a
学习新知:
阅读教材P2-P4相关内容后回答,
1.一般地,用A,B表示,并且B中含有,式子A/B就叫做分式。
其中,A叫做分式的,B叫做分式的,因为零不能做除数,所以不能为零。
2.当x时,分式4/x-1有意义。
3.当x时,分式x-1/x+1的值为0。
4.当x时,分式2/|x|-2无意义。
【课堂练习】
1.教材p4练习第1,2,3题。
2.当x为何值时,分式2-x/3x+2无意义?
3.当x为何值时,分式x/x²-3x+2的值为0?
4.当x为何值时,分式5/6-x的值为1?
5.当x为何值时,分式2/3+x的值为负数?
【要点归纳】
与同伴交流一下,本节课你有哪些收获?
【拓展训练】
1.当x为何值时,分式|x|-1/(x+3)(x-1)的值为0?
2.若不论x取何值时,分式5/x²-2x+m总有意义,试求m的取值范围?
3.已知分式k²-9/3k-9的值为0,试求关于x的函数y=(k+2)x+(2-k)的图象与x轴,y轴围成的三角形的面积。
第二课时16.1.2分式的基本性质
【学习目标】
1.通过类比分数的基本性质,了解分式的基本性质。
2.能够灵活运用分式的基本性质进行分式的变形。
3.会用分式的基本性质探求分式变形中的符号法则。
【重点难点】
重点:
理解并掌握分式的基本性质。
难点:
灵活运用分式的基本性质进行分式变形。
【导学指导】
复习旧知:
1.下列分数是否相等?
可以进行变形的的依据是什么?
2/34/68/1216/2432/48
2.分数的基本性质是什么?
试着用字母表示分数的基本性质。
3.类比分数的基本性质,你能猜想出分式有什么性质吗?
学习新知:
阅读教材P4-P5相关内容,思考,讨论,交流后完成下列问题。
1.分式的基本性质是什么?
和你猜想的一样吗?
它和分数的基本性质有什么异同?
2.你能用式子表示分式的基本性质吗?
【课堂练习】
1.利用分式的基本性质,将下列各式化为更简单的形式。
(1)2bc/ac
(2)(x+y)y/xy²(3)x²+xy/(x+y)²
2.不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含“-”号。
(1)-2a/-3b
(2)-3x/2y(3)--x²/2a
3.不改变分式的值,使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都为正数。
(1)x+1/-2x-1
(2)2-x/-x²+3(3)-x-1/x+1
【要点归纳】
1.分式的基本性质是什么?
运用分式的基本性质应注意什么?
2.经历分式基本性质得出的过程,从中学到了什么方法,受到什么启发?
【拓展训练】
1.不改变分式的值,把下列分式的分子与分母各项的系数都化为整数。
(1)1/2x+1/3y/1/2x-2/3y
(2)0.3a+5b/0.2a-b
2.已知x/2=y/3=z/4,求2x+3y+4z/5x-2y的值。
3.已知x²+3x+1=0,求x²+1/x²的值。
第三课时16.1.2分式的基本性质
【学习目标】
1.类比分数的约分、通分,理解分式约分、通分的意义。
2.类比分数的约分、通分,掌握分式约分、通分的方法与步骤。
【重点难点】
重点:
运用分式的基本性质正确的进行分式的约分与通分。
难点:
通分时最简公分母的确定;运用通分法则将分式进行变形。
【导学指导】
阅读教材P6-P8相关内容,思考,讨论,交流下列问题。
1.做下列各题:
(1)4/64
(2)20/1280
你做这些题目的根据是什么?
我们称为什么运算?
2.与分数的约分类似,你能把分式4a/8a2b约分吗?
分式约分的依据是什么?
分式约分约去的是什么?
3.什么叫做分式的约分?
什么叫做最简分式?
4.把分数1/2,3/4,5/6通分。
什么叫分数的通分?
5.类似于分数的通分,你能说出分式的通分吗?
什么叫做最简公分母?
【课堂练习】
1.教材P8练习1、2题。
2.分式4y+3x/2a,a2-b2/a-b,m+n/m-n,x2-2xy/xy-2y2中是最简分式的有哪些?
3.约分:
(1)2ab2/20a2b
(2)x2-2x/x2-4x+4(3)x2-9/x2-6x+9(4)4x2-8xy+4y2/2x2-2y2
4.通分:
(1)x/6ab2,x/9a2bc
(2)a-1/a2+2a+1,6/a2-1(3)2a/2a+3,3/3-2a,2a+15/4a2-9
【要点归纳】
1.什么是分式的约分?
怎样进行分式的约分?
什么是最简分式?
2.什么是分式的通分?
怎样进行分式的通分?
什么是最简公分母?
3.你还有什么要和同伴交流的?
【拓展训练】
阅读下题的解答过程,并解决后面的问题。
已知x+1/x=2,求x2+1/x2的值。
解:
将x+1/x=2两边平方得(x+1/x)2=4,即x2+2·x·1/x+1/x2=4,所以
x2+1/x2=4-2=2
问题:
已知y2+y-1=0,求y2+1/y2的值。
课题16.2分式的运算课时:
五课时
第一课时16.2.1分式的乘除
【学习目标】
1.通过类比分数的乘除运算法则,探究得出并掌握分式的乘除法法则。
2.会进行简单分式的乘除运算,具有一定的代数划归能力。
3.能解决一些与分式有关的简单实际问题。
【重点难点】
重点:
分式的乘除法法则。
难点:
运用分式的乘除法法则对分子、分母是多项式的分式进行乘除运算和符号变化。
【导学指导】
阅读教材P10-P12内容,思考、讨论、交流完成下列问题。
1.用语言描述分数的乘除法法则,并用字母表示出来。
2.类比分数的乘除法法则,用语言描述分式的乘除法法则,并用字母表示出来。
3.在进行分式的乘除运算时,如果分式的分子、分母是多项式时,应该怎么办?
分式的乘除法对运算结果有什么要求?
【课堂练习】
1.教材P13练习1,2,3题。
2.计算:
(1)c2/ab·a2b2/c
(2)–n2/2m·4m2/5n3
(3)y/7x÷(-2/x)(4)-8xy÷2y/5x
(5)a2-4/a2-2a+1·a2-1/a2+4a+4(6)y2-6y+9/y+2÷(3-y
【要点归纳】
你在本节课中学习了哪些知识?
有什么需要与同伴交流的?
【拓展训练】
1.若2a=3b,则2a2/3b2等于()
A.1B.2/3C.3/2D.9/6
2.先化简,再求值:
a-1/a+2·a2-4/a2-2a+1÷1/a2-1,其中a满足a2-a=0.
3.通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多,因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好。
假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d,已知球的体积公式为V=4/3πR3(其中R为球的半径)。
那么:
(1)西瓜瓤和整个西瓜的体积各是多少?
(2)西瓜瓤和整个西瓜的体积的比是多少?
(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算?
第二课时16.2.1分式的乘除
【学习目标】
1.进一步熟悉分式的乘除法法则,会进行分式乘、除的混合运算。
2.掌握分式乘方的运算法则,会进行简单的乘、除、乘方混合运算。
3.在实际生产生活背景中运用分式的乘除解决一些问题,提高应用能力。
【重点难点】
重点:
分式乘除、乘方的混合运算。
难点:
(1)乘、除、乘方混合运算中运算顺序以及结果符号的确定。
(2)例3第1小题中比较(a-1)2与a2-1的大小过程比较复杂,也是本节的难点。
【导学指导】
复习旧知:
1.分式的乘除法法则。
2.乘方的意义。
学习新知:
阅读教材P12“例3”-P14相关内容,思考、讨论、交流后完成下列问题。
1.分式的乘方法则:
公式:
文字叙述:
2.分式的乘除混合运算怎么做?
3.分式的乘、除、乘方混合运算又怎么做?
4.“例3”中,比较两个分式的大小,当分子一样时,可以通过比较分母来比较两个分式的大小,分母越大,分式越,为什么当a>1时,(a-1)2=a2-2a+1会“<”a-2+1呢?
5.到目前为止,幂的运算法则都有什么?
【课堂练习】
1.教材P15练习1,2题。
【要点归纳】
我们今天学习了哪些知识?
你有什么收获?
与同伴交流一下。
【拓展训练】
1.计算:
(1)(xy-x2)·xy/x2-2xy+y2÷x2/x-y
(2)(x2-4y2)÷2y+x/xy·1/x(2y-x)
(3)x2+xy/x2-xy÷(x+y)÷xy/y2-xy(4)a2÷b÷1/b÷c×1/c÷d×1/d
2.已知|a+4|+(b-9)2=0,求a2+ab/b2·a2-ab/a2-b2的值。
3.某中学的操场原来是长方形,后来将其长缩短了10米,宽增加了10米,使操场变成了正方形。
(1)试用分式表示操场变化后于变化前的面积之比。
(2)若操场扩大后的面积不小于原来面积的2倍,求正方形操场的边长至多是多少米?
(精确到米)
第三课时16.2.2分式的加减
【学习目标】
理解并掌握分式的加减法则,并会运用它们进行分式的加减运算。
【重点难点】
重点:
运用分式的加减运算法则进行运算。
难点:
异分母分式的加减运算。
【导学指导】
复习旧知:
1.什么叫通分?
通分的关键是什么?
2.什么叫最简公分母?
学习新知:
阅读教材P15-P16相关内容,思考,讨论,交流后完成下列问题。
1.分数的加减运算法则是什么?
计算下列各式:
(1)1/5+2/5
(2)1/5–2/5(3)1/2+1/3(4)1/2–1/3
2.类比分数的加减法,你能猜想出分式的加减法法则吗?
分别用语言和式子表示分式的加减法法则。
【课堂练习】
1.教材P16练习1、2题。
2.计算:
(1)3a/a-b+5a/b-a
(2)5a/2a+3b+4b/-2a-3b(3)x+2/x-3–4/3-x
(4)4/x-1–9/2x+1
(2)5/x²-9+7/x+3(3)a²/a-1–a-1
【要点归纳】
今天我们学习了哪些知识?
你有什么收获?
还有什么疑惑?
与同伴交流一下。
【拓展训练】
1.已知ab/a+b=1/3,bc/b+c=1/4,ca/c+a=1/5,求abc/ab+bc+ca的值。
2.计算:
1/1-x+1/1+x+2/1+x²+4/1+x4–8/1-x8
3.某车间师傅小李和小王生产同一种零件,小李比小王每小时多生产8个。
现在要求小李生产出168个这种零件,要求小王生产出144个这种零件,他们两谁先完成任务呢?
第四课时16.2.2分式的加减
【学习目标】
1.明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算。
2.能灵活运用运算律简便运算。
【重点难点】
重点:
熟练地进行分式的混合运算。
难点:
熟练地进行分式的混合运算。
【导学指导】
复习旧知:
1.我们已经学习了分式的哪些运算?
2.分式的乘除运算主要是通过进行的,分式的加减运算主要是通过进行的。
3.分数的混合运算法则是什么?
学习新知:
阅读教材P17-P18相关内容,思考讨论,合作交流完成下列问题:
与分数类似,分式的混合运算法则是什么?
【课堂练习】
1.教材P18练习1、2题。
2.计算:
(1)x2/x-1–x-1
(2)(1-2/x+1)2÷x-1/x+1
(3)(1/x-y+1/x+y)÷xy/x2-y2(4)(x+2/x2-2x–x-1/x2-4x+4)÷4-x/x
(5)x/x-y·y2/x+y–x4y/x4-y4÷x2/x2+y2
【要点归纳】
今天你学到了什么知识?
有什么收获?
有什么疑问?
与同伴交流一下。
【拓展训练】
1.阅读例题:
计算1/x(x+1)+1/(x+1)(x+2)+1/(x+2)(x+3)
解:
原式=1/x–1/x+1+1/x+1–1/x+2+1/x+2-1/x+3
=1/x–1/x+3
=3/x(x+3)
请仿照上题,
(1)计算2/(x+1)(x+3)+2/(x+3)(x+5)+2/(x+5)(x+7)
(2)计算3/(x+1)(x+4)+3/(x+4)(x+7)+3/(x+7)(x+10)
你发现什么了,验证一下,然后与同伴交流。
2.若3x-5/(x-3)(x+1)=A/x-3+B/x+1,求A、B的值。
第五课时16.2.3整数指数幂
【学习目标】
1.知道负整数指数幂a-n=1/an(a≠0,n是正整数).
2.掌握整数指数幂的运算性质。
3.会用科学计数法表示小于1的数。
【重点难点】
重点:
掌握整数指数幂的运算性质;会用科学计数法表示小于1的数。
难点:
负整数指数幂的性质的理解和应用。
【导学指导】
阅读教材P18-P22相关内容,思考讨论,合作交流后完成下列问题。
1.回忆正整数指数幂的运算性质:
(1)同底数的幂的乘法:
(2)幂的乘方:
(3)积的乘方:
(4)同底数的幂的除法:
(5)分式的乘方:
2.回忆0指数幂的规定:
3.探索负整数指数幂的运算性质:
(1)仿照同底数幂的除法公式来计算:
52÷55=103÷107=
(2)利用约分计算这两个式子:
52÷55=52/55=52/52×53=1/53103÷107=103/107=103/103×104=1/104
由此,我们得到5=10=
(3)负整数指数幂的运算法则:
3.探索用科学计数法表示小于1的数:
由:
10-1=0.1;10-2=;10-3=;10-4=;10-5=;
归纳:
10-n=
应用:
0.000021=2.1×0.=2.1×10
【课堂练习】
1.教材P21练习第1、2题。
2.教材P22练习第1、2题。
3.将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式。
(1)2(a-1)-2bc-2
(2)2/3(x-y)-3(y-z)2(3)-5x2(y-z)-2(4)x2y3(x-1y)3
4.用科学计数法表示下列各数:
(1)光的速度是300000000米/秒;
(2)银河系中的恒星约有160000000000个;
(3)0.000054(4)-0.000786(5)-0.0020008
【要点归纳】
本节课我们学习了哪些知识?
你有什么收获?
【拓展训练】
1.已知3-x=27,(2/3)y=9/4,5z+2=1求x,y,z的值。
2.比较(-2/3)-3,-(2/3)3,(2/3)-3的大小。
4.请你化简下面的算式并求出S的值。
S=1+2-1+2-2+2-3+……+2-2009
课题16.3分式方程课时:
三课时
第一课时16.3分式方程
【学习目标】
1.理解分式方程的意义。
2.了解解分式方程的基本思路和解法。
3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法
【重点难点】
重点:
解分式方程的基本思路和解法。
难点:
理解解分式方程时可能无解的原因。
【导学指导】
阅读教材P26-P29相关内容,思考讨论,合作交流后完成下列问题。
1.什么是分式方程?
它与我们学过的整式方程有何不同?
2.我们已经会解整式方程,对于我们今天新学的分式方程,我们能否把它转化成我们会解的整式方程来做呢?
应该怎样转化呢?
3.在将分式方程变形为整式方程时,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),为什么会产生增根呢?
【课堂练习】
1.教材P29练习题。
2.指出下列方程中哪些是分式方程?
哪些不是分式方程?
为什么?
(1)2x/3+x-1/2=6
(2)x–1/x=2(3)1/2x+1–1=0(4)1/2x-1/3x=5
3.解下列方程:
(1)3/x-2+x/2-x=-2
(2)1/x+1=2/x-1(3)1/x-1+2x/x+1=2(4)2/x-2+x/2-x=0
【要点归纳】
今天我们学了哪些知识?
你有什么收获?
还有什么疑问?
与同伴交流一下。
【拓展训练】
1.若方程x-3/x-2=m/2-x无解,求m的值。
2.已知x=3是方程x-1/k-2=1的解,求k的值。
3.阅读下列材料:
关于x的方程x+1/x=c+1/c的解是x1=c,x2=1/c;
x-1/x=c-1/c的解是x1=c,x2=-1/c;
x+2/x=c+2/c的解是x1=c,x2=2/c;
x+3/x=c+3/c的解是x1=c,x2=3/c;……
(1)请观察上述方程与解的特征,猜想关于x的方程x+m/x=c+m/c的解是什么?
并利用“方程的解”的概念进行验证。
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证可以得出结论:
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边的形式与左边完全相同,只是把其中的未知数换成某个常数,那么这样的方程可以直接得解。
请利用这个结论,解关于x的方程:
x+2/x-1=a+2/a-1
第二课时16.3分式方程
【学习目标】
1.掌握含有字母系数的分式方程的解法。
2.进一步了解分式方程产生增根的原因,理解分式方程若有增根,则增根一定是使分式的分母为0时的未知数的值。
3.能应用分式方程的解法进行简单的公式变形。
【重点难点】
重点:
含有字母系数的分式方程的解法。
难点:
正确运用题设条件解含有字母系数的分式方程。
【导学指导】
复习旧知:
1.什么叫分式方程?
2.解分式方程的一般步骤是什么?
3.什么叫做分式方程的增根?
为什么会产生增根?
学习新知:
1.从2009年9月起某列车平均提速v千米/时,用相同的时间,列车提速前行驶s千米,提速后比提速前多行驶50千米,提速前列车的平均速度为多少?
分析:
这里的v,s表示已知数据,设提速前列车的平均速度为x千米/时,则
提速前列车行驶s千米所用的时间为小时,提速后列车的平均速度为千米/时,
提速后列车运行s+50千米所用的时间为小时。
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
这里,x是未知数,字母s,v是已知数,上述方程是含有字母系数的分式方程。
2.如何解含有字母系数的分式方程呢?
解分式方程;类似的,只把x当成未知数,s像300,v像10是已知数,我们可以解下面的含有字母系数的分式方程:
300/x=300+50/x+10s/x=s+50/x+v
【课堂练习】
1.教材P32习题16.3第2题。
2.照相机成像应用了一个重要的光学原理,即1/f=1/u+1/v(f≠v)。
其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离。
如果一架照相机f已固定,那么就要依靠调整u,v来使成像清晰,问在f,v已知的情况下,怎样确定物体到镜头的距离u?
【要点归纳】
今天我们学习了哪些知识?
你有什么收获?
与同伴交流一下。
【拓展训练】
1.当a为何值时,分式方程x/x-3=2+a/x-3会产生增根?
2.若1/2y+3y+7的值为1/8,求1/4y+6y-9的值。
第三课时16.3分式方程
【学习目标】
1.进一步熟练的解可化为一元一次方程的分式方程。
2.能熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题。
【重点难点】
重点:
审明题意设未知数,列分式方程。
难点:
在不同的实际问题中,设未知数列分式方程。
【导学指导】
复习旧知:
1.解分式方程的步骤是什么?
2.列方程解应用题的步骤是什么?
3.我们学过哪几种类型的应用题?
每种类型的基本公式是什么?
(1)行程问题:
(2)数字问题:
(3)工程问题:
(4)顺水逆水问题:
(5)利润问题:
学习新知:
阅读教材P29-P31相关内容,思考讨论,合作交流后完成下列问题。
1.讨论完成例3,例4。
2.看看它们分别属于我们学过的哪种类型的应用题。
与我们以前列的方程有什么异同?
【课堂练习】
1.教材P31练习第1、2题。
2.轮船顺水航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度。
【要点归纳】
本节课学习了哪些知识?
你有什么收获与疑惑?
与同伴交流一下。
【拓展训练】
某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召,在本乡建起了农民文化活动室,现要将其装修,若甲、乙两个装修公司合作需要8天完成,需要工钱8000元;若甲公司单独做6天后,剩下的由乙公司来做,还需要12天完成,共需要工钱7500元。
若只选一个公司单独完成,从节约角度考虑,该乡是选甲公司还是还是乙公司?
请你说明理由。
本章小结
一、画出本章知识结构图。
二、本章相关知识。
1.分式的概念:
2.分式的基本性质:
分式的基本性质是分式约分和通分的理论依据。
3.分式的乘除法法则:
4.分式的加减法法则:
(1)同分母分式的加减法法则:
(2)异分母分式的加减法法则:
5.分式的混合运算顺序:
6.分式方程的解法:
三、做一做。
1.当x=时,分式1/x-3没有意义;若分式|x|-1/x+1的值为0,则x的值为。
2.下列运算中,错误的是()
A.a/b=ab/b2B.ab/b2=a/bC.0.5a+b/0.2a-0.3b=5a+10b/2a-3bD.a/b=ac/bc
3.已知x2-5x+1=0,求出x2+1/x2的值。
4.已知x/y=2/3,求出x2-y2/x2-2xy+y2÷xy+y2/2x2-2xy的值。
5.解方程。
(1)5/x