平行线的判定及性质.docx

平行线的判定及性质.docx

《平行线的判定及性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平行线的判定及性质.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

平行线的判定及性质

授课主题

平行线

教学目的

1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；

2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理

3.掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；

教学重点

平行线的判定及性质

教学内容

【知识梳理】

要点一、平行线

1．定义：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．

要点诠释：

（1）平行线的定义有三个特征：

一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；

（2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．

（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．

2．平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

3．推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、直线平行的判定

判定方法1：

同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：

内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：

同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

要点诠释：

平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.

要点三、平行线的性质

性质1：

两直线平行，同位角相等；

性质2：

两直线平行，内错角相等；

性质3：

两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：

（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．

（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点四、两条平行线的距离

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

的距离．

要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

（2）两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．

要点五、命题、定理、证明

1.命题：

判断一件事情的语句，叫做命题．

要点诠释：

（1）命题的结构：

每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

（2）命题的表达形式：

“如果……，那么…….”，也可写成：

“若……，则…….”

（3）真命题与假命题：

真命题：

题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.

假命题：

题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.

2.定理：

定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.

3.证明：

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.

要点诠释：

（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.

（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．

要点六、平移

1.定义：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．

要点诠释：

（1）图形的平移的两要素：

平移的方向与平移的距离．

（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.

2.性质：

图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：

（1）平移后，对应线段平行且相等；

（2）平移后，对应角相等；

（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；

（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.

【典型例题】

类型一、平行线

例1．下列说法正确的是（）

A．不相交的两条线段是平行线.

B．不相交的两条直线是平行线.

C．不相交的两条射线是平行线.

D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.

【答案】D

例2．在同一平面内，下列说法：

（1）过两点有且只有一条直线；

（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

其中正确的个数为：

（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】B

【解析】正确的是：

（1）（3）.

【变式1】下列说法正确的个数是（）

（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.

（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.

（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.

（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．

A．1个B.2个C．3个D．4个

【答案】B

类型二、两直线平行的判定

例3.如图，给出下列四个条件：

（1）AC＝BD；

（2）∠DAC＝∠BCA；

（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有（）.

A．

（1）

（2）B．（3）（4）C．

（2）（4）D．

（1）（3）（4）

【答案】C

【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°

B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°

D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

例4.如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．

解法1：

如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，

在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．

∵∠B＝25°，∠E＝10°（已知），

∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN（等量代换）．

∴AB∥CM，EF∥DN（内错角相等，两直线平行）．

又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°（已知），

∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°（等式性质）．

∴∠DCM＝∠CDN（等量代换）．

∴CM∥DN（内错角相等，两直线平行）．

∵AB∥CM，EF∥DN（已证），

∴AB∥EF（平行线的传递性）．

解法2：

如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．

∵∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°．

∵∠B＝25°，

∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°（三角形的内角和等于180°）．

又∵∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．

又∵∠E＝10°，

∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°（三角形的内角和等于180°）．

∴∠CNB＝∠EMD（等量代换）．

所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．

【变式3】已知，如图，BE平分ABD，DE平分CDB，且1与2互余，试判断直线AB、CD的位置关系，请说明理由．

解：

AB∥CD，理由如下：

∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，

∴∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．

又∵∠1+∠2＝90°，

∴∠ABD+∠CDB＝180°．

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

【变式4】已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，1+2=180°，求证：

CD//EF．

【答案】

证明：

∵ABBD于B，CDBD于D，

∴AB∥CD．

又∵1+2=180°，

∴AB∥EF．

∴CD//EF．

类型三、平行线的性质

例5．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?

为什么．

解：

∵DE∥BC，

∴∠4＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）．

∠2+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．

又∵DF∥AB（已知），

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．

∴∠3＝115°（等量代换）．

【变式5】如图，已知

，且∠1=48°，则∠2＝，∠3＝，∠4＝.

【答案】48°，132°，48°

【变式6】如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则（）

A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定

【答案】B

类型四、命题

例6．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的?

还是错误的?

①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．

【答案】①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．

【变式8】把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式．

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）对顶角相等；

（3）同角的余角相等.

【答案】

解：

（1）如果两直线平行，那么同位角相等.

（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.

（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等.

类型四、平移

例7．（湖南益阳）如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的

位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________．

【答案】30°

【变式9】（上海静安区一模）如图所示，三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC（）

A．沿EC的方向移动DB长

B．沿BD的方向移动BD长

C．沿EC的方向移动CD长

D．沿BD的方向移动DC长

【答案】A

类型五、平行的性质与判定综合应用

例8、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）

A．180°B．270°C．360°D．540°

【答案】C

【解析】过点C作CD∥AB，

∵CD∥AB，

∴∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵EF∥AB

∴EF∥CD．

∴∠DCE+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE

∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°

【课后作业】

一、选择题

1.下列说法中正确的有（）

①一条直线的平行线只有一条．

②过一点与已知直线平行的直线只有一条．

③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角（）

A．相等B．互补C．互余D．相等或互补

3．如图，能够判定DE∥BC的条件是（）

A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCB

C．∠BGF＝∠DCBD．CD⊥AB，GF⊥AB

4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（）．

A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．

B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．

C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．

D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．

5．如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是（）

A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACEC．∠B＝∠ECDD．∠B+∠BCE＝180°

6.（绍兴）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图，

（1）—（4））:

从图中可知，小敏画平行线的依据有（）

①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．

④内错角相等，两直线平行．

A.①②B.②③C.③④D.④①

二、填空题

7.在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．

8．如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则________∥________．

9．规律探究：

同一平面内有直线a1，a2，a3…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4…，按此规律，a1和a100的位置是________．

10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是

11．直线

同侧有三点A、B、C，如果A、B两点确定的直线

与B、C两点确定的直线

都与

平行，则A、B、C三点，其依据是

12.如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线有．

三、解答题

13.如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度?

说明理由．

14．小敏有一块小画板（如图所示），她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗?

15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥BD?

16．如图所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A

【解析】只有④正确，其它均错．

2.【答案】D

3.【答案】B

【解析】内错角相等，两直线平行．

4.【答案】B

5.【答案】B

【解析】∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．

6.【答案】C

【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直．

二、填空题

7.【答案】0或1或2或3个；

8.【答案】BC，DE；

【解析】∠CFD＝180°－70°－55°＝55°，而∠FDE＝∠CDF＝55°，所以∠CFD＝∠FDE．

9.【答案】a1∥a100；

【解析】为了方便，我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100，因为a1⊥a2∥a3，所以a1⊥a3，而a3⊥a4，所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9，a9∥a12∥a13，…，接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100，所以a1∥a100．

10.【答案】40°或140°

11.【答案】共线，平行公理；

【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用．

12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ；

【解析】

理由：

∵AB⊥EF，CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．

∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．

∴∠1＝

EGB＝45°．

∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．

同理∠GHQ＝135°，∴∠PGH＝∠GHQ．

∴GP∥HQ．

三、解答题

13.【解析】

解：

∠4＝100°．理由如下：

∵∠1＝60°，∠2＝60°，

∴∠1＝∠2，∴AB∥CD

又∵∠3＝∠4＝100°，

∴CD∥EF，∴AB∥EF．

14．【解析】

解：

如图所示，用量角器在两个边缘之间画一条线段MN，用量角器测得∠1＝50°，

∠2＝50°，因为∠1＝∠2，所以由内错角相等，两直线平行，可知画板的上下边缘是平行的．

15.【解析】

解：

要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°，

∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．

∴∠BAF＝

∠B′AB＝

×110°＝55°．

16．【解析】

解：

可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC（已知）．

∴∠1＝∠DBC（角平分线定义）．

又∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠DBC（等量代换）．

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．

把∠1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．

WelcomeTo

Download!

!

!

欢迎您的下载，资料仅供参考！