六年级下册数学试题小升初数学思维拓展第21讲容斥原理含答案解析.docx
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六年级下册数学试题小升初数学思维拓展第21讲容斥原理含答案解析
小升初数学思维拓展第21讲容斥原理
一，知识地图
二，基础知识
趣题导引：
有一次，学而思小升初培训部进行数学和英语模拟测试，全体学员的考试成绩统计出来后，周老师在班上向同学报告所有学员的考试情况。
周老师说：
“这次考试成绩比上一次有了很大的提高，说明同学们在这一段时间内非常认真地学习了学而思的课程，有我们老师的功劳，但更重要的是你们的努力，希望下一次考试可以更上一层楼。
我们全体六年级学员有1106人，其中数学成绩90分以上的有542人，英语成绩90分以上的有479人，数学和英语成绩都考90分以上的有256人，数学和英语成绩都在90分以下的有350人，希望这部分同学可以奋起直追，加倍努力，争取在下一次考试中也都可以拿到90分以上的好成绩。
”
周老师的话刚说完，其中一个同学小明就举手说：
“老师，您的统计数据有问题，至少有一个人数是不对的。
”周老师很从容的回答说：
“没错，小明同学说得很对，确实有一个数据我故意说错的，就看大家能不能反应出来，你们知道是为什么吗？
”于是大家都热烈讨论了起来，同学们，你们知道小明是如何很快又肯定的说有一个数据老师说错了吗？
要想知道答案，先学好下面的内容了！
（一）容斥原理介绍
本章节的主要内容是解决涉及包含与排除关系的计算题与应用题，运用到的一个基本原理称为容斥原理，下面我们将容斥原理的内容介绍给大家，由于容斥原理中涉及的各部分之间的关系非常的微妙，希望同学可以仔细学习，细心体会。
1、两者容斥原理图形与公式
首先讨论两者之间的包含与排除关系，我们先来看一个例子，
一个班级上有同学数学及格，有同学语文及格，有同学两门功
课都及格，还有同学两门功课都不及格，那么它们的人数关系
可以用右图表示：
从图中我们可以看出它们之间的关系，即：
（数学及格人数+语文及格人数-都及格人数）+都不及格人数=全班人数
大家知道为什么要减都及格人数吗？
这是因为数学及格人数和语文及格人数里面都包含了两门都及格
的人数，这样两门都及格人数就重复计算两次，所以要减去一次。
总结为一般规律，我们可以用公式来表示：
S=（A+B-A∩B）+D=A∪B+D
（字母含义：
A∩B-既属于A、又属于B的元素；
A∪B-属于A，B中任何一个的元素；
D-既不属于A、又不属于B的元素。
）
这就是二者容斥原理的一般表达形式，图形表达（我们称之为韦恩图）如图所示。
2、三者容斥原理图形与公式
三者的容斥原理韦恩图如图所示，我们可以总结出三者容斥原理
的一般公式形式为：
S=（A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）+D=A∪B∪C+D
（字母含义：
S-全部元素
A∩B-既属于A、又属于B的元素；
B∩C-既属于B、又属于C的元素；
C∩A-既属于C、又属于A的元素；
A∩B∩C-既属于A、又属于B、又属于C的元素；
D-既不属于A、又不属于B、也不属于C的元素；
A∪B∪C-属于A，B，C的全部元素。
）
讨论：
A∩B，B∩C，C∩A同时包含于两个集合里面，各多加一次，所以应该各减去一次，那么为什么还要再加上A∩B∩C呢？
原来这是因为A，B，C，A∩B，B∩C，C∩A六个集合里面都包含了A∩B∩C，所以A∩B∩C被加了三次，又减了三次，这样就相当于没加没减，所以应该再加上一次A∩B∩C。
上面两个韦恩图与两个公式就是容斥原理的全部内容，希望同学们可以结合图形与公式进行记忆。
（二）容斥原理考察题型的一般形式
1、基本计算题型：
（1）求全部元素S，直接套用公式。
（2）求属于三集合元素项：
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
（3）求不属于三集合元素项D，可以利用两种公式变形：
D=S－（A＋B－A∩B）（两者）
D=S－（A＋B＋C－A∩B－B∩C－C∩A＋A∩B∩C）（三者）
（4）求一集合元素或二集合元素中的一项（如A，A∩B等），利用公式变形比较麻烦，我们采用方程法：
设所求部分为x，利用公式原型列出方程，解出未知数。
（5）多项未知，则必须用方程法，设其中一项为x，表示出其他各项，利用公式原型列出方程，解出未知数。
（6）求其他间接项，一般先求出相关部分项，再进行组合与排除。
一般可能有以下几种情况：
1，只属于某集合元素。
如：
只属于A元素=A－A∩B－C∩A＋A∩B∩C；
2，只属于一集合全部元素=A＋B＋C－A∩B×2－B∩C×2－C∩A×2+A∩B∩C×3；
3，只属于某二集合元素：
如只属于A，B元素=A∩B-A∩B∩C；
4，只属于二集合全部元素=A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C×3；
5，至少属于二集合全部元素=A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C×2等。
同学们可以自己结合韦恩图进行总结。
2、与其他知识点相结合题型
（1）与图形相结合求总面积：
逐一求出公式中对应各部分面积，套用公式或列出方程。
（2）与数论中倍数知识相结合：
详见例题5。
（3）与分数知识相结合，可转化为
（2）中题型，详见例题6。
（4）与数论中平方，立方数知识相结合，利用估算法，详见拓展训练2。
（5）与最值问题相结合：
公式中某项的最大最小问题，采用方程分析法和极端假设法，详见例题8，9。
3、应用题型
（1）关于电灯开关题型：
电灯被拉奇数次改变开关状态，被拉偶数次不改变开关状态。
弄清楚所要求项的具体含义及所对应韦恩图部分，先求出公式中相关项，利用间接法求出，请结合题型1（6）中公式进行。
详见例题7。
（2）关于报数转身题型：
转身奇数次改变方向，转身偶数次不改变方向。
与电灯开关题型思路一致。
4、其他题型
当题目中不涉及重复部分的计算或者已知条件不是容斥原理中相关项时，可能不需要利用容斥原理公式进行计算，但必须画出韦恩图或者自己设计表格进行分析，必须让各部分关系直观清晰，详见拓展训练9。
如一种常用的的表格形式为：
男生
女生
总数
一班
一班男生
一班女生
一班总数
二班
二班男生
二班女生
二班总数
三班
三班男生
三班女生
三班总数
总数
男生总数
女生总数
所有总数
趣题解析：
学完容斥原理的知识后，同学们是不是可以解释开篇趣题中小明的问题了呢？
原来小明在周老师报完四个人数后很快的心算了一下，发现不符合容斥原理的数量关系，所以才说数据有问题。
根据容斥原理的公式，全体学员人数应该是（542+479-256）+350=1115，而周老师又说全体学员人数为1106人，所以前后矛盾，其中肯定至少有一个数据是不对的，同学们，你们学会了吗？
如果觉得很有意思，就继续往下做题吧！
三、经典透析
【例1】（☆☆☆）志诚中学5年级有200名学生踊跃申报学而思各学科培训班，已知申报奥数班的学生有140人，申报英语班的学生有120人，申报科技班的学生有60人，参加奥数和英语班的学生有60人，申报奥数和科技班的学生有40人，申报英语班和科技班的学生有30人，那么有多少人三个班都报了？
审题要点：
此题为涉及三者关系的容斥原理典型题型，大家先复习一下三者关系容斥原理的“韦恩图”与计算公式，根据条件对应逐一填入，然后直接运用公式将未知求出。
详解过程：
解：
画出韦恩图，将相应人数填入，只有三个班都报的同学未知，设
为x人，根据容斥原理公式列出方程：
140+120+60－60－40－30+x=200，
解出x=10，所以共有10人三个班都报了。
专家点评：
此题中由于是三个班都报的同学未知，所以也可以不列方程，将公式变形用算术方法直接算出，200－（140+120+60－60－40－30）=10（人）。
差别不大，同学们注意体会其中关系。
【例2】（☆☆☆）火星小学四年级有45人参加了慰问坚守在青年宫、防洪纪念塔、九站三个地段抗洪的解放军叔叔的活动，去过青年宫慰问的有19人，去过防洪纪念塔的有18人，去过九站的有16人；去过青年宫、防洪纪念塔两处的有7人，去过青年宫、九站两处的有6人，去过防洪纪念塔、九站两处的有5人；有3人三处都去过；其余的在校准备慰问品，请问准备慰问品的有多少人？
审题要点：
此题也为涉及三者关系的容斥原理典型题型，题目中未知数为没有参加任何一项慰问活动的同学，可以列方程算出，也可以直接对公式变形用算术法算出。
详解过程：
解：
方程法：
画出韦恩图，将相应人数填入，设在校准备慰问品的人数
为x，根据公式直接列出方程为（19+18+16-7-6-5+3）+x=45，解出x=7，
所以准备慰问品的人数为7人。
算术法：
直接将公式变形，可求得准备慰问品人数为
45-（19+18+16-7-6-5+3）=7（人）。
专家点评：
对于求三者都参加或者三者都不参加的部分，用方程法与算术法差别不大，但是对于求只参加一项或参加两项的部分，建议最好用方程，因为在公式变形中很容易出现符号的变形错误，请看例题3。
【例3】（☆☆☆☆）某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：
恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？
审题要点：
此题与前两题类型相同，也为涉及三者关系的容斥原理典型题型，题目中未知数为只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，所以建议使用方程法解出。
注意题目中要求的是只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，而不是订了《故事大王》和《儿童漫画》的人数，所以应该先求出订了《故事大王》和《儿童漫画》的人数，然后再减去三项都订的人数即可。
详解过程：
解：
设同时订《故事大王》和《儿童漫画》的有x人，根据
公式原型列出方程为：
120-85-90-70+62+46+x-21=5，解得x=43
所以，只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数为43-21=22人。
专家点评：
1，此题中未知的是参加两项的人数，所以不易用将公式变形用算术方法求出，而应该列出方程，这样数据关系更清晰。
2，注意题目要求的是只订《故事大王》和《儿童漫画》的人数，这不是容斥原理公式中涉及的部分，所以不能直接求出，而应该根据韦恩图中的关系间接求出。
【例4】（☆☆☆☆）五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。
审题要点：
此题与前三题类型相同，也为涉及三者关系的容斥原理典型题型，题目中不止一项未知数，但是各项未知数之间具有倍数关系，所以应该用方程法解答。
详解过程：
解：
观察发现三项都参加的人数最少，所以设其为x，那么参加朗诵小组的
人数为7x，既参加绘画小组又参加朗诵小组人数为2x，既参加朗诵小组又
参加合唱小组的人数也为2x，画出韦恩图，根据公式列出方程：
46=24+20+7x-2x-2x-10+x解出x=3
所以参加朗诵小组的人数为7x=21人。
专家点评：
1，此题不能直接利用公式变形算术方法算出，必须列出方程。
2，列方程解应用题时x的选择并不一定是题目所求，而应该是所有未知量中较小值，这样其他未知量就比较好表示出，否则方程中出现分数或除法，不利于方程的解答。
【例5】（☆☆☆☆）在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3、5的倍数的数有多少个？
审题要点：
此题为容斥原理与数论知识相结合的一类典型题型，首先要纠正一种非常错误的方法：
即用全部数分别减去2，3和5的倍数个数即得到答案。
错误原因是2，3，5的倍数之中有很多重复的部分，所以应该利用容斥原理的基本原理，画出韦恩图，根据公式计算。
详解过程：
解：
1，画出韦恩图，首先计算各集合部分的个数：
2的倍数个数：
2004÷2=1002，
3的倍数个数：
2004÷3=668，
5的倍数个数：
2004÷5=400…4，
2，再计算各重复部分的个数：
同时是2和3的倍数，即是6的倍数个数：
2004÷6=334
同时是2和5的倍数，即是10的倍数个数：
2004÷10=200…4
同时是3和5的倍数，即是15的倍数个数：
2004÷15=133…9
同时是2，3，5的倍数，即是30的倍数个数：
2004÷30=66…24
3，根据公式变形可得不是2、3、5的倍数个数为：
2004-（1002+668+400-334-200-133+66）=535。
专家点评：
1，由于有些数可能同时是2，3，5的倍数，所以应该考虑联系到容斥原理的运用，因为容斥原理的主要功能就是解决有关重复内容的原理。
2，同时是几个数的倍数，那么就是这几个数的最小公倍数的倍数。
【例6】（☆☆☆☆）分母是385的最简真分数有多少个？
审题要点：
由于分母385=5×7×11，要求分数为最简真分数，所以分子不能是5、7、11的倍数。
此题即转化为求1～385中不是5、7、11的倍数的个数，和上一题完全类似，采取一样的解题思路与步骤。
详解过程：
解：
1，画出韦恩图，首先计算各部分的个数：
5的倍数个数：
385÷5=77
7的倍数个数：
385÷7=55
11的倍数个数：
385÷11=35
同时是5和7的倍数即是35的倍数个数：
385÷35=11
同时是5和11的倍数即是55的倍数个数：
385÷55=7
同时是7和11的倍数即是77的倍数个数：
385÷77=5
同时是5，7，11的倍数即是385的倍数个数：
385÷385=1
2，根据公式变形，可得不是5、7、11的倍数个数为：
385-（77+55+35-11-7-5+1）=240。
所以分母是385的最简真分数有240个。
专家点评：
此题也为容斥原理与数论知识相结合的一类典型题型，首先需要了解的知识点是最简真分数的特点，即分子与分母必须为互质关系，也即是分子不能是分母质因数的倍数，得出解题思路。
另外，本题还可以用中国剩余定理和乘法原理来解决。
需要寻找1385中不被5、7、11中任何一个数整除的个数。
被5除的余数有1～4，共4种；
被7除的余数有1～6，共6种；
被11除的余数有1～10，共10种；
根据中国剩余定理，对于任何一种余数组合，1～385中必存在唯一的数满足。
所以，根据乘法原理，1-385中不被5、7、11中任何一个数整除的个数为4×6×10=240。
【例7】（☆☆☆☆☆）有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？
审题要点：
此题与前两题一样，涉及数论中倍数关系的容斥原理应用题型，解题思路完全一样，但是要注意最后要求的部分不一样，必须利用间接计算法进行简单的分解与组合。
详解过程：
解：
1、首先分析最后要求的部分含义是什么。
电灯原来亮着，要求三次拉完之后还是亮着，则灯被拉的次数必须
为偶数，即可能是一次都没被拉，也可能是只被拉两次的。
所以最
后的答案应该是两部分之和。
2、进行各部分的计算：
2的倍数个数：
2000÷2=1000；
3的倍数个数：
2000÷3=666…2；
5的倍数个数：
2000÷5=400；
6的倍数个数：
2000÷6=333…2；
10的倍数个数：
2000÷10=200；
15的倍数个数：
2000÷15=133…5；
30的倍数个数：
2000÷30=66…20。
3、根据公式变形，可得没被拉一次的电灯盏数（不是2、3、5的倍数）为：
2000-（1000+666+400-333-200-133+66）=534。
只被拉两次的电灯盏数（只是其中两者的倍数）为：
333+200+133-66×3=468。
所以最后亮着的灯的盏数为：
534+468=1002。
专家点评：
1、此题首先要弄清楚是哪些灯最后还是亮着的，主要包括两部分的灯：
一次都没拉和只拉了两次的。
2、只拉了两次的灯数中不包括三次都拉了的灯数，所以计算时应该减去被拉三次灯数的三倍（因为多计算三次），请参考题型1（6）中的间接计算方法。
【例8】（☆☆☆☆☆）图书室有100本书，借阅图书者需要在图书上签名。
已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本。
问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过？
审题要点：
此题属于容斥原理与最值问题相结合题型，公式中只有两项未知：
没被任何人借阅过的和同时被三人借阅过的数目，一项的最值取决于另一项的取值，采用方程法分析。
详解过程：
解：
题目中未知项有两项，没被任何人借阅过的和同时被三人借阅过的，分别设为x，y，根据公式列出不定方程为：
100=（33+44+55-29-25-36+y）+x，化简为：
x+y=58
要使x值取最少，那么y值应该尽量大，由韦恩图可看出y包含于三集合29，25，36中，所以y的最大值应该是25，此时x=33，即最少有33本没有被甲乙丙中的任何一人借阅过。
专家点评：
1，由于只有两项未知数，所以可以用方程法进行分析，如果未知数多于两个，则不宜用方程法，下一题即是此种情况。
2，应该用包含的原理得出其中项的最大值或最小值。
若A包含B，那么B的最大值为A，A的最小值为B，如：
某班数学成绩满分人数为15，那么数学语文成绩均满分的人数最大为15，反之若数学语文成绩均满分的人数为5，那么语文成绩满分的人数最少为5人。
【例9】（☆☆☆☆）甲、乙、丙同时给100盆花浇水。
已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？
审题要点：
此题与上题类似，属于容斥原理与最值问题相结合题型，但是题目已知条件太少，公式中未知项有5项，所以不好直接用方程法分析出最后答案。
采用极端假设法进行分析。
详解过程：
解：
因为题目所求为3人都浇过的花最少为几盘，那么意思就是我们应该让3人浇过的花尽量分散，即每人尽量不要浇其他人浇过的花，采用极端假设法即假设每人都首先选择浇其他人没浇过的花。
首先考虑甲和乙，甲浇了78盆，没浇100-78=22盆，那么
乙应该先浇甲没浇的22盆，剩下的只能选择甲已经浇过的
68-22=46盆，这样两人都浇过的有46盆，只有一人浇过的
有100-46=54盆。
再考虑丙，丙应该先选择浇只有一个人浇过的54盆，剩下的只能选择两人都浇过的58-54=4盆，这样三人都浇过的为4盆，
其他盆均为至多两人浇过的。
所以，3人都浇过的花最少有4盆。
专家点评：
1，题目中所给条件太少，很难用二元方程的常规方法分析，所以选择用极端假设法。
2，运用极端假设法时，必须随时满足题目要求的最值条件，这里应该要强调掌握从反面角度考虑问题的思路。
不能怎么样，那么我们就应该怎么样；要怎么样，那么我们就不能怎么样。
3，满足最值条件的假设结论即是我们要求的最值结论。
4，此题也有另外的多元方程分析法。
多元方程知识点基础比较好的同学可以参考使用：
另解：
如果从整体考虑，三个人一共浇了78+68+58=204（盆）花，如果设被浇次数为1、2、3次的花盆数分别为a、b、c，那么可以得到以下两条等式：
②-①×2，得到：
。
因为
，所以
，
所以被3个人都浇过的花至少有4盆。
四、拓展训练
1、边长为6、5、2的三个正方形，如图所示，求它们的盖住部分的面积。
2、在1到1000的自然数中，既不是平方数也不是立方数的数有多少个？
3、求在1～100的自然数中不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
4、某校有28名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有15人，参加跳类项目的有13人，参加投掷类项目的有14人，既参加跑又参加跳项目的有4人，既参加跑又参加投掷项目的有6人，既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有2人，试说明：
这个报名表有误。
5、以1001为分母的最简真分数共有多少个？
6、学而思六年级竞赛班有50人，共有三个科技兴趣小组：
天文、无线电和计算机，参加天文组的有38人，参加无线电组的有35人，参加计算机组的有31人，既参加天文组又参加无线电组的有29人，既参加天文组又参加计算机组的有28人，既参加无线电又参加计算机组的有26人，三个小组都参加的有24人，试求三个小组都没有参加的人数。
7、不超过201的自然数中，至少有两个数字相同的奇数有多少个？
8、某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，有3人既会英语又会俄语，有2人既会俄语又会日语，有2人既会英语又会日语，有1人英、日、俄这三种语言全会，只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？
9、
（1）48人中无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹人数的2倍，试问：
这48人当中是独生子女的有几个？
（2）学而思举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，20幅不是五年级的，现在知道五、六年级共展出22幅画，问：
其他年级共展出多少幅画？
8、如图，5条同样长的线段拼成了一个五角形。
如果每条线段上恰有1994个
9、点被染成红色，那么在这个五角形上红色点最少有多少个？
初级点拨：
1、直接利用三者容斥原理的公式进行计算，首先应该分别算出各相应部分面积。
2、直接利用二者容斥原理的公式进行计算，首先应该分别算出各相应部分个数。
3、此题为两者关系的容斥原理与数论倍数相结合题型，求出各部分个数，利用公式计算。
4、可以根据其他数据计算学生总人数，看是否等于已知条件，利用容斥原理公式。
5、此题为容斥原理与数论知识的结合考察，先分解质因数1001=7×11×13，所以分子不能是7，11，13的倍数。
6、容斥原理基本题型，直接利用公式，可列出方程，也可进行公式变形。
7、此题较为复杂，是容斥原理与排列组合知识的综合题型。
首先按数位分两大类：
两位数与三位数。
两位数中：
只有5个（11、33、55、77、99）符合条件。
三位数的个数必须利用容斥原理公式计算。
8、此题为基本计算题，一种外语也不会的人可以直接利用公式变形算出，只会一种外语的人数应该要用间接法求出。
有妹妹
无妹妹
总和
有弟弟
无弟弟
总和
9、
（1）此题可以设计表格进行分析。
（2）此题属于容斥原理里面的特殊题型，含有否定的已知部分，应该转化为肯定的部分数据，画出韦恩图，然后列出方程进行解答。
10、此题属于容斥原理与最值问题相结合题型，由于未知条件仅为红色点总数和重复点总数，应该用方程法分析。
深度提示：
1、三正方形面积分别为5×5=25，6×6=36，2×2=4，两两重复部分面积分别为3×3=9，1×2=2，1×2=2，三正方形均重复的部分面积为1×1=1，然后直接套用公式。
2、⑴、1-1000中，312＜1000＜322，所以平方数个数为31。
⑵、103=1000，所以立方数个数为10。
⑶、即是平方数也是立方数则应该是六次方数，36＜1000＜46，所以个数为3。
然后直接
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