高中数学解析几何抛物线性质与定义精.docx

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高中数学解析几何抛物线性质与定义精

抛物线

抛物线也是圆锥曲线中的一种,即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。

1、抛物线的定义

平面内到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹（或集合称之为抛物线。

F称为"抛物线的焦点",l称为"抛物线的准线"。

如图:

设定点F到定直线l距离FN为p,M

为x轴,建立坐标系,设动点M的坐标为（x,y若M到直线l的距离与到定点F的距离相等,则有:

222

2

pxypx+=+⎪

⎭⎫⎝

⎛-

整理可得抛物线的标准形式为:

pxy22=对应的焦点坐标为（

2

p对应的准线方程为2

px-

=

对应的顶点坐标为（0,0离心率e=1

抛物线的形式一共有以下四种:

2、抛物线的性质

设抛物线的标准方程y2=2px（p>0,则

（1.范围:

则抛物线上的点（x,y的横坐标x的取值范围是x≥0.,在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。

（2.对称性:

这个抛物线关于轴对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.

（3.顶点:

抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点,这个抛物线的顶点是坐标原点。

（4.离心率;抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率,其值为1.

（5.在抛物线y2=2px（p>0中,通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为,2

（

,2（

pppp-,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为2p.

（6.平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点.但它不是双曲线的切线.（7焦点弦长公式:

过焦点弦长12122

2

ppPQxxxxp=+

++

=++

抛物线和椭圆、双曲线的比较

（1.抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大.它的离心率等于1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它无中心,也没有渐近线.

（2.椭圆、双曲线都有中心,它们均可称为有心圆锥曲线.抛物线没有中心,称为无心圆锥曲线.

3.习题讲解

例1

（1如图5,已知定直线l及定点F,定直线上有一动点N,过N垂直于l的直线与线段NF的垂直平分线相交于点M,则点M的轨迹是什么形状的曲线?

（2点M与（4,0F的距离比它到直线:

50lx+=的距离小1,点M的轨迹是什么形状的曲线?

（3已知圆22:

（31Cxy-+=,动圆M与圆C外切且与y轴相切（图6,M的轨迹是什么形状的曲线?

例2.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、B1,则∠A1FB1=__________。

A.45°B.60°C.90°D.120°

例3.设P是抛物线xy42=上的一个动点。

（1求点P到点A（-1,1的距离与点P到直线的距离之和的最小值;

（2若B（3,2,求PFPB+的最小值。

解:

（1如图3,易知抛物线的焦点为F（1,0,准线是

由抛物线的定义知:

点P到直线

的距离等于点P到焦点F的距离。

于是,问题转化为:

在曲线上求一点P,使点P到点A（-1,1的距离与点P到F（1,0的距离之和最小。

显然,连结AF交曲线于P点,则所求最小值为AF,即为5。

（2如图4,自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点P1,则

FPQP11=,则有BQQPBPPFPB=+≥+11=4

即PFPB+的最小值为4

同类型拷贝题:

（2008辽宁卷10已知点P是抛物线22yx=上的一个动点,则点P到点（0,2的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为

解析:

运用抛物线的定义,将P到该抛物线准线的距离转化为到焦点的距离,如右图,当点

A（0,2与P

以及F

三点共线时,距离之和最小,即为2

AF=

图4

图

3

同类型拷贝题:

已知A（3,1,抛物线4

2

x

y=上一点P（x,y,则|PA|+y的最小值为。

解析:

抛物线4

2

x

y=

的准线为:

y=-1,焦点F（0,1,记P在直线y=-1上的射影为Q,

则y=|PQ|-1=|PF|-1,|PA|+y=|PA|+|PF|-1,问题转化为:

求|PA|+|PF|的最小值,易见:

|PA|+|PF|≥|AF|=3,当且既当F、P、A共线时等号成立,故:

|PA|+y的最小值为2。

例4.求证:

以抛物线pxy22=过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切。

证明:

如图5,设抛物线的准线为,过A、B两点分别作AC、BD垂直于,垂足分别为C、D。

取线段AB中点M,作MH垂直于H。

图5

由抛物线的定义有:

BFBDAFAC==

∵ABDC是直角梯形

即MH为圆的半径,而准线过半径MH的外端且与半径垂直,故本题得证。

例5、（2008四川卷12已知抛物线2:

8Cyx=的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C

上且AK=,则AFK∆的面积为解析:

如图,过点A作AM垂直于准线于点M,

由抛物线定义得AMAF=

又AK=

则AK=,在RtAMK∆中,AMMK=

即AFMK=,此时AF垂直于x轴,AFK∆为等腰直角三角形,故面积为

2

2

114822

KF

=

⨯=

例6设抛物线y2=2px（p>0的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、

B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.。

证明:

直线AC经过原点

O,

∵抛物线的焦点为F（

2

p,0,

∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+

2

p,代入抛物线方程,得y2-2pmy-p2=0.

设A（x1,y1、B（x2,y2,则y1、y2是该方程的两根,∴y1y2=-p2.∵BC∥x轴,且点C在准线x=-2

p上,∴点C的坐标为（-2

p,y2.

∴直线OC的斜率为k=

1

11

222xyyppy==

-,即k也是直线OA的斜率.

∴直线AC经过原点O.

例7、A、B是抛物线y2=2px（p>0上的两点,满足OA⊥OB（O为坐标原点.求证:

（1A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值;（2直线AB经过一个定点.

证明（1设A（x1,y1、B（x2,y2,则y12=2px1、y22=2px2.∴OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,y12y22=4p2x1x2=4p2·（-y1y2.∴y1y2=-4p2,从而x1x2=4p2也为定值.（2∵y12-y22=2p（x1-x22

12

1212yypxxyy+=

--.

由两点式可得:

（（11

21211

2121

1xyyxxyyxxxyyxxyy+---

=

⇒--=

--

令y=0。

可得直线AB与x轴的焦点坐标

（（（（pp

yyxp

yyyxp

yyyxyyxxyx22222

112

12

1121111

2121=-=

+--=

++-

=

+---

=

∴直线AB经过定点（2p,0.同类型拷贝题:

高考链接:

过定点Q（2p,0的直线与y2=2px（p>0交于相异两点A、B,以线段AB为直径作圆H（H为圆心,试证明抛物线顶点在圆H上。

变式1:

若直线l过定点（2p,0且与抛物线y2=2px（p>0交于A、B两点,求证:

OA⊥OB.例8:

若椭圆

12

22

2=+

b

ya

x（a>b>0的左、右焦点分别为

F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦

点分成5∶3的两段,则此椭圆的离心率为:

（A

1617

（B

17

（C45

5

解析:

抛物线y2=2bx的焦点为F（2

b

0,∵F将线段F1F2分成5∶3的两段,

∴（

2

b+c:

（c-

2

b=5∶3⇒c=2b⇒

e=

5

选D。

例9:

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于点A、B,求线段A、B的长.

分析:

这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:

把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.

解:

如图8-3-1,y2=4x的焦点为F（1,0,则l

的

方程为y=x－1．由íìy2=4xîy=x+1消去y得x2－6x+1=0．设A（x1，y1，B（x2，y2则x1+x2=6．又A、B两点到准线的距离为A¢，B¢，则AA¢+BB¢=（x1+1）+（x2+1）=（x1+x2）+2=6+2=82222例10：

椭圆C1：

xa+yb=1,（a>b>0的左准线为l，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2|F1F2||PF1|-|PF1||PF2的准线也为l，焦点为F2，记C1与C2的一个交点为P，则A．12=（B）|B．1C．2D．与a,b的取值有关cìPF1+PF2=2aüPF1=´2aïïïa+cPF1ýÞíc=ïïPF=a´2aPF2a2ïþa+cîcF1F2PF1-PF1PF2=2cca+c´2aa+c-aa+c´2a=´2aa+ca-ca=1例11：

如图，设抛物线C:

y=x2的焦点为F，动点P在直线l:

x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.则△APB的重心G的轨迹方程为.解析：

设切点A、B坐标分别为22y（x0,x0和（x1,x1（（x1¹x0，∵y/=2x，∴两切线斜率分别为：

2x0和2x1,于是：

切线AP的方程为：

2x0x-y-x02=0;切线BP的方程为：

2x1x-解得P点的坐标为：

xP所以△APBxG=yG=y-x1=0;2BAOG=x0+x12,yP=x0x1xP的重心=xP=2G的坐标为lx0+x1+xP3y0+y1+yP3，22x0+x1+x0x13=（x0+x1-x0x12=4xP2-yp,33∴yp=-3yG+4xG2，结合xp=xG代入点P所在在直线方程，得到重心G的轨迹方程为：

13（4x2x-（-3y+4x-2=0,即y=-x+2.注：

上述求轨迹的方法称为“参数法”，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。

例12：

过椭圆x2yABCxF1OF2+y2=1的右焦点F2并垂直于x轴259

的直线与椭圆的一个交点为B，椭圆上不同的两点A（x1,y1,C（x2,y2满足条件：

|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是。

解析：

对|F2A|+|F2C|=185使用焦半径公式得：

5-45x1+5-45x2=185Þx1+x2=8.此后，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差”：

记AC中点M（4，y0）,将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差得：

Þy1-y2x1-x2=-925×x1+x2y1+y2，∴kAC=-925×4y0,于是有：

AC的中垂线的方程为：

，此即AC的中垂线在y轴上的截距，注意到：

M95y-y0=25y036（x-4，当x=0时：

y=1625+y09216y09（4，y0）在椭圆“内”，∴<1，得-

例13：

.过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P、Q两点，又过P、Q分别作抛物线对称轴OF的平行线，交抛物线于M、N两点，则M、N、F三点（）A.共圆B.共线C.在另一抛物线上D.分布无规律【解析】设M（x1，y1，Ｎ（x2，y2），设抛物线方程为y2＝2px.则F（p2，0），准线x=－p2p2p2,，y2）∴P（－，y1），Ｑ（－y1-p2由PF⊥QF得kMF=y1x1-kNF=y2x2-p2p2×y2-p2＝－1，∴y1y2＝－p2=2py1y1-py2y22==p22py1y1-p22-2p∴kMF＝kNF∴M、N、F共线.例14：

.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分，则m与n的关系是（A.m+n=mnB.m+n=4C.mn=4D.无法确定2【解析】抛物线y=4x的焦点为（1，0，当焦点弦与抛物线的轴垂直时，m=2,n=2,∴m+n=mn.当焦点弦与抛物线的轴不垂直时，设焦点弦所在直线方程为y=k（x－1（k≠0.把y=k（x－1代入y2=4x并整理得k2x2－2（k2+2）x+k2=0.∴x1·2=1,∵m=x1+1,n=x2+1,x∴x1=m－1,x2=n－1代入x1x2=1得（m－1（n－1=1即m+n=mn.【答案】A）