高中数学解析几何抛物线性质与定义精.docx

1、高中数学解析几何抛物线性质与定义精抛物线抛物线也是圆锥曲线中的一种, 即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。 抛物 线是指平面内到一个定点和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。1、 抛物线的定义平面内到一个 定点 F 和不 过 F 的一 条定直线 l 距离相等的点的轨迹 (或集合 称之 为 抛物线。 F 称为 抛物线 的焦点 , l 称为 抛物线的准线 。如图:设定点 F 到定直线 l 距离 FN 为 p , M 为 x 轴,建 立坐标系,设动点 M 的坐标为 (x,y 若 M 到直线 l 的距离 与到定点 F 的距离相等, 则有:2222p x y p x +=+ -整理可得抛物 线

2、的标准形式为:px y 22= 对应的焦点坐 标为(, 2p 对应的准线方 程为 2p x -=对应的顶点坐 标为(0, 0 离心率 e=1抛物线的形式 一共有以下四种: 2、 抛物线的性质设抛物线的标准方程 y 2=2px (p 0 ,则(1 . 范围:则抛物线上的点 (x , y 的横坐标 x 的取值范围是 x 0., 在轴右侧抛物线向右上方 和右下方无限延伸。(2 . 对称性:这个抛物线关于轴对称, 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 . 抛物线和它的轴 的交点叫做抛物线的顶点 .(3 .顶点:抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点,这个抛物线的顶点是坐标原点。 (4 .离心率;抛物线上的点与焦点的

3、距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率, 其值为 1.(5 . 在抛物线 y 2=2px (p 0中,通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐 标分别为 , 2(, , 2(p p p p -,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为 2p .(6 . 平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点 . 但它不是双曲线的切线 . (7 焦点弦长公式:过焦点弦长 121222p p P Q x x x x p =+=+抛物线和椭圆、双曲线的比较(1 . 抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大 . 它的离心率等于 1;它只有一个 焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线;它无中心,也没有

4、渐近线 .(2 . 椭圆、双曲线都有中心,它们均可称为有心圆锥曲线 . 抛物线没有中心,称为无心圆 锥曲线 .3. 习题讲解例 1(1 如图 5, 已知定直线 l 及定点 F , 定直线上有一动点 N , 过 N 垂直于 l 的直线与线段 N F 的 垂直平分线相交于点 M ,则点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (2 点 M 与 (4,0 F 的距离比它到直线 :50l x +=的距离小 1, 点 M 的轨迹是什么形状的曲线? (3 已知圆 22:(3 1C x y -+=, 动圆 M 与圆 C 外切且与 y 轴相切 (图 6 , M 的轨迹是什么形 状的曲线? 例 2. 过抛物线焦点 F 的

5、直线与抛物线交于 A 、 B 两点,若 A 、 B 在抛物线准线上的射影分别为 A 1、 B 1,则 A1FB 1=_。 A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 例 3. 设 P 是抛物线 x y 42=上的一个动点。 (1求点 P 到点 A (-1, 1的距离与点 P 到直线 的距离之和的最小值;(2若 B (3, 2,求 PF PB +的最小值。解:(1如图 3,易知抛物线的焦点为 F (1, 0,准线是由抛物线的定义知:点 P 到直线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离。于是,问题转化为:在曲线上求一点 P ,使点 P 到点 A (-1, 1的距离与点 P 到 F (1, 0的

6、 距离之和最小。显然,连结 AF 交曲线于 P 点,则所求最小值为 AF ,即为 5。 (2如图 4,自点 B 作 BQ 垂直准线于 Q 交抛物线于点 P 1,则F P Q P 11=,则有 BQ Q P B P PF PB =+11=4即 PF PB +的最小值为 4同类型拷贝题:(2008辽宁卷 10已知点 P 是抛物线 22y x =上的一个动点,则点 P 到点 (0,2 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为解析:运用抛物线的定义,将 P 到该抛物线准线的距离转化为到焦点的距离,如右图,当点A (0,2 与 P以及 F 三点共线时,距离之和最小,即为 2AF =图 4图3同类

7、型拷贝题:已知 A (3, 1 ,抛物线 42xy =上一点 P (x,y ,则 |PA|+y的最小值为 。解析:抛物线 42xy =的准线为:y= -1,焦点 F (0, 1 ,记 P 在直线 y= -1上的射影为 Q ,则 y=|PQ|-1=|PF|-1, |PA|+y=|PA|+|PF|-1,问题转化为:求 |PA|+|PF|的最小值,易见: |PA|+|PF| |AF|=3,当且既当 F 、 P 、 A 共线时等号成立,故:|PA|+y的最小值为 2。 例 4. 求证:以抛物线 px y 22=过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相切。 证明:如图 5,设抛物线的准线为 ,过 A

8、、 B 两点分别作 AC 、 BD 垂直于 ,垂足分别为 C 、 D 。 取线段 AB 中点 M ,作 MH 垂直 于 H 。 图 5由抛物线的定义有:BF BD AF AC = ABDC 是直角梯形 即 MH 为圆的半径,而准线过半径 MH 的外端且与半径垂直,故本题得证。例 5、 (2008四川卷 12 已知抛物线 2:8C y x =的焦点为 F , 准线与 x 轴的交点为 K , 点 A 在 C 上且 AK =,则 AFK 的面积为 解析:如图,过点 A 作 A M 垂直于准线于点 M , 由抛物线定义得 AM AF =,又 AK = 则 AK =,在 R t A M K 中, AM

9、M K = 即 AF M K =,此时 A F 垂直于 x 轴, AFK 为等腰直角三角形,故面积 为22114822K F=例 6 设抛物线 y 2=2px(p0的焦点为 F ,经过点 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC x 轴 . 。证明:直线 AC 经过原点O, 抛物线的焦点为 F (2p , 0 , 经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x=my+2p ,代入抛物线方程,得 y 2-2pmy-p 2=0.设 A(x1,y 1 、 B(x2,y 2 ,则 y 1、 y 2是该方程的两根, y 1y 2=-p2. BC x 轴,且点 C 在准线 x=

10、-2p 上, 点 C 的坐标为(-2p , y 2 . 直线 OC 的斜率为 k=111222x y y p p y =-,即 k 也是直线 OA 的斜率 . 直线 AC 经过原点 O.例 7、 A 、 B 是抛物线 y 2=2px(p0上的两点,满足 OA OB (O 为坐标原点 . 求证: (1 A 、 B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值; (2直线 AB 经过一个定点 .证明(1设 A(x1,y 1 、 B(x2,y 2 ,则 y 12=2px1、 y 22=2px2. OA OB, x 1x 2+y1y 2=0, y 12y 22=4p2x 1x 2=4p2(-y1y 2. y

11、 1y 2=-4p2,从而 x 1x 2=4p2也为定值 . (2 y 12-y 22=2p(x1-x 2 2121212y y p x x y y +=-.由两点式可得:(112121121211x y y x x y y x x x y y x x y y +-=-=-令 y=0。可得直线 AB 与 x 轴的焦点坐标(p py y x py y y x py y y x y y x x y x 222221121211211112121=-=+-=+-=+-= 直线 AB 经过定点(2p , 0 . 同类型拷贝题:高考链接:过定点 Q (2p,0 的直线与 y 2 = 2px (p 0交于

12、相异两点 A 、 B ,以线段 AB 为直 径作圆 H(H为圆心 ,试证明抛物线顶点在圆 H 上。变式 1: 若直线 l 过定点 (2p,0且与抛物线 y 2 = 2px (p0交于 A 、 B 两点,求证:OA OB. 例 8:若椭圆12222=+by ax (a b 0 的左、右焦点分别为F 1、 F 2,线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2bx 的焦点分成 5 3的两段,则此椭圆的离心率为 : (A1617(B17(C455 解析:抛物线 y 2=2bx 的焦点为 F (2b, 0 , F 将线段 F 1F 2分成 5 3的两段,(2b +c :(c -2b =5 3c=2be=5,

13、选 D 。 例 9:斜率为 1的直线 l 经过抛物线 y 2=4x 的焦点, 与抛物 线相交于点 A 、 B ,求线段 A 、 B 的长.分析:这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:把 求弦长 AB 转化为求 A 、 B 两点到准线距离的和.解:如图 8-3-1, y 2=4x 的焦点为 F (1, 0 ,则 l的方程为 y=x1 由 y2 = 4x y = x +1 消去 y 得 x26x+1=0 设 A (x1，y1，B (x2，y2 则 x1+x2=6 又 A、B 两点到准线的距离为 A ， B ，则 A A + B B = ( x1 + 1) + ( x 2 + 1) = ( x1

14、 + x 2 ) + 2 = 6 + 2 = 8 2 2 2 2 例 10： 椭圆 C1： x a + y b = 1, ( a b 0 的左准线为 l ，左、右焦点分别为 F1，F2，抛物线 C2 | F1 F 2 | | PF 1 | - | PF 1 | | PF 2 的准线也为 l ，焦点为 F2，记 C1 与 C2 的一个交点为 P，则 A 1 2 = （ B ） | B1 C2 D与 a,b 的 取值有关 c PF 1 + PF 2 = 2 a PF 1 = 2a a+c PF 1 c = PF = a 2 a PF 2 a 2 a+c c F1 F 2 PF 1 - PF 1 P

15、F 2 = 2c c a+c 2a a+c - a a+c 2a = 2a a+c a - c a =1 例 11：如图，设抛物线 C : y = x 2 的焦点为 F，动点 P 在直线 l : x - y - 2 = 0 上运动，过 P 作抛 物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.则APB 的重心 G 的轨迹 方程为 . 解 析 ： 设 切 点 A 、 B 坐 标 分 别 为 2 2 y ( x 0 , x 0 和 ( x 1 , x 1 ( x 1 x 0 ， y/=2x，两切线斜率分别为：2x0 和 2x1, 于是：切线 AP 的方程为： 2 x 0

16、 x - y - x 02 = 0 ; 切线 BP 的方程为： 2 x 1 x - 解得 P 点的坐标为： x P 所 以 APB xG = yG = y - x1 = 0; 2 B A O G = x 0 + x1 2 , y P = x 0 x1 x P 的 重 心 = xP = 2 G 的 坐 标 为 l x 0 + x1 + x P 3 y 0 + y1 + y P 3 ， 2 2 x 0 + x1 + x 0 x1 3 = ( x 0 + x1 - x 0 x1 2 = 4xP 2 - yp , 3 3 yp = -3 yG + 4 xG 2 ，结合 x p = x G 代入点 P

17、所在在直线方程，得到重心 G 的轨迹方程为： 1 3 (4 x 2 x - (- 3 y + 4 x - 2 = 0,即 y = - x + 2 . 注：上述求轨迹的方法称为“参数法” ，一般先设法将动点坐标 用“参数”表示，再消参数。 例 12：过椭圆 x 2 y A B Cx F1 O F2 + y 2 = 1 的右焦点 F2 并垂直于 x 轴 25 9 的直线与椭圆的一个交点为 B，椭圆上不同的两点 A(x1,y1,C(x2,y2满足条件：|F2A|、|F2B|、 |F2C|成等差数列，则弦 AC 的中垂线在 y 轴上的截距的范围是 。 解析：对|F2A|+|F2C|= 18 5 使用焦

18、半径公式得：5- 4 5 x1+5- 4 5 x2= 18 5 x1+x2=8.此后，可以设 AC 的 中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；也可以用“点差” ：记 AC 中点 M（4，y0）, 将 A、 C 两点的坐标代入椭圆方程后作差得： y1 - y 2 x1 - x 2 = - 9 25 x1 + x 2 y1 + y 2 ， k AC = - 9 25 4 y0 ,于是有：AC 的中垂线的方程为： ，此即 AC 的中垂线在 y 轴上的截距，注意到：M 9 5 y - y0 = 25 y 0 36 ( x - 4 ，当 x=0 时： y =16 25 + y0 9 2 16 y 0

19、9 （4，y0）在椭圆“内” ， 1 ，得- y 0 ,5 9 16 5 - 16 y 0 9 16 5 。 例 13：.过抛物线的焦点 F 作互相垂直的两条直线，分别交准线于 P、Q 两点，又过 P、Q 分 别作抛物线对称轴 OF 的平行线，交抛物线于 M、N 两点，则 M、N、F 三点（ ） A.共圆 B.共线 C.在另一抛物线上 D.分布无规律 【解析】设 M(x1，y1，（x2，y2） ，设抛物线方程为 y22px. 则 F（ p 2 ，0） ，准线 x= p 2 p 2 p 2 , ，y2） P（ ，y1） ，（ y1 - p 2 由 PFQF 得 k MF = y1 x1 - k

20、NF = y2 x2 - p 2 p 2 y2 - p 2 1，y1y2p2 = 2 py 1 y1 - p y2 y2 2 = = p 2 2 py 1 y1 - p 2 2 - 2p kMFkNF M、N、F 共线. 例 14：.抛物线 y2=4x 的焦点弦被焦点分成长是 m 和 n 的两部分，则 m 与 n 的关系是（ A.m+n=mn B.m+n=4 C.mn=4 D.无法确定 2 【解析】抛物线 y =4x 的焦点为(1，0， 当焦点弦与抛物线的轴垂直时，m=2,n=2,m+n=mn. 当焦点弦与抛物线的轴不垂直时， 设焦点弦所在直线方程为 y=k(x1(k0. 把 y=k(x1代入 y2=4x 并整理得 k2x22（k2+2）x+k2=0. x12=1,m=x1+1,n=x2+1, x x1=m1,x2=n1 代入 x1x2=1 得(m1(n1=1 即 m+n=mn. 【答案】A ）