计算二重极限的几种方法00_精品文档.doc
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第18卷第6期
上 饶 师 专 学 报
Vol.18,No.6
1998年12月 JOURNALOFSHANGRAOTEACHERSCOLLEGE Dec.1998
Ξ
计算二重极限的几种方法
高 炳 宋
(上饶师专数学系,上饶,334001)
摘 要 利用函数连续性和极限的运算法则,归纳了二重极限的几种计算方法。
关键词 二重极限;累次极限;无穷小
分类号 O174
1 利用函数连续性
定理1 设二元函数z=f(x,y)于点P0(x0,y0)连续,则limf(x,y)=f(x0,y0)。
x→x0
y→y0
y)
例1 求limln(x+l
,(l>0)。
x→1
y→0
x2+y2
解 由于ln(x+ly)及 x2+y2于点(1,0)连续,且 12+02=1
y
故 lim
x→1
y→0
2 利用极限的四则运算
ln(x+l)=ln(1+1)=ln2
x2+y2 1
定理2 若 lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)=A, lim
(x,y)→(x0,y0)
g(x,y)=B
则 lim
(x,y)→(x0,y0)
lim
(x,y)→(x0,y0)
lim
[f(x,y)±g(x,y)]=A±B
f(x,y)·g(x,y)=A·B
f(x,y)=A(B≠0)
(x,y)→(x0,y0)g(x,y) B
例2 求lim(x2+y2)e-(x+y)
x→∞
y→∞
2 2 2 2
解 (x2+y2)e-(x+y)=x+y=x+y
e(x+y)
2 2
exey
exey
而 lim
x=lim
xlim
1=0
ee
x→∞xyy→∞
x→∞ex
2
y→∞ey
同理 lim
y=0
ee
x→∞xyy→∞
Ξ收稿日期:
1997-10-14
第6期 高炳宋:
计算二重极限的几种方法
77
故 lim(x2+y2)e-(x+y)=0
x→∞
y→∞
xy
例3 求 limecosy
y→0
x→01+x+y
解 limexycosy=limexy·limcosy=1
x→0
y→0
x→0
y→0
y→0
而 lim(1+x+y)=1
x→0
y→0
y→0
由定理2得 lim
exycosy
=1
3 利用两边夹法则
x→01+x+y
定理3 若于点P0(x0,y0)的邻域内有h(x,y)≤f(x,y)≤g(x,y),且
limh(x,y)=limg(x,y)=A
x→x0
y→y0
x→x0
y→y0
则 limf(x,y)=A
x→x0
y→y0
22
例4 求 lim
xy
(x,y)→(0,0)x2+y2
(x
1 2
22 +y
2)2
解 由于 0≤xy≤4 =1(x2+y2)→0
由此可知
x2+y2
x2+y2 4
22
lim
xy=0
(x,y)→(0,0)x2+y2
4 利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量
定理4 若 lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x,y)=0,而g(x,y)于(x0,y0)的邻域内有界,则
lim
(x,y)→(x0,y0)
例5 求lim(x+y)sin1
f(x,y)g(x,y)=0
x→0
y→0
x2+y2
解 由于sin1≤M且lim(x+y)=limx+limy=0
x2+y2
x→0
y→0
x→0
y→0
故 lim(x+y)sin 1 =0
5 利用复合函数
x→0
y→0
x2+y2
定理5 若函数u=Υ(x,y),v=Ω(x,y)于点P0(x0,y0)存在极限,并且函数f(u,v)于点
(u0,v0)连续,其中u0= lim
(x,y)→(x0,y0)
y)]于点P0(x0,y0)存在极限,且
Υ(x,y),v0= lim
(x,y)→(x0,y0)
Ω(x,y),,则复合函数f[Υ(x,y),Ω(x,
7 8 上 饶 师 专 学 报 1998年(第18卷)
lim
(x,y)→(x0,y0)
f[Υ(x,y),Ω(x,y)]=f[ lim
(x,y)→(x0,y0)
Υ(x,y), lim
(x,y)→(x0,y0)
Ω(x,y)]
22
例6 求lim(x2+y2)x+y。
x→0
y→0
解 令u=x2+y2,求limu=0
x→0
y→0
22
故 lim(x2+y2)x+y
=limuu=exp{limulnu}=e0=1
x→0
y→0
u→0
u→0
定理6 limf(x,y)(使x=x0+rcosΗ,y=y0+rsinΗ)
x→x0
y→y0
α]limf(x0+rcosΗ,y0+rsinΗ)=A(ΠΗ∈[0,2Π])。
r→0+
这个定理的结论是显然的,我们把证明留给读者。
例7 求lim(x+y)ln(x2+y2)。
x→0
y→0
解 设x=rcosΗ,y=rsinΗ,则
(x+y)ln(x2+y2)=(cosΗ+sinΗ)rlnr2=2(cosΗ+sinΗ)rlnr
由于 lim
rlnr=lim
lnr =lim
(lnr)′
=
lim
(- r)=0
r→0+
r→0+ 1
r
r→0+
(1)′
r
r→0+
而2(cosΗ+sinΗ)为有界量,则2(cosΗ+sinΗ)rlnr为无穷小量。
ΠΗ∈[0,2Π],有lim2(cosΗ+
r→0+
sinΗ)rlnr=0,因此得到
6 利用累次极限
lim(x+y)ln(x2+y2)=0
x→0
y→0
定理7 设二重极限limf(x,y)=A存在,且limf(x,y)=Υ(y)也存在(y看作常数),则累
次极限lim
x→0
y→0
limf(x,y)必定存在,且等于A,即
r→x0
y→y0x→x0
lim
limf(x,y)=limf(x,y)
y→y0x→x0
x→x0
y→y0
此定理的证明在一般教本上都有,我们就不多述了。
推论1 如果下面三个极限都存在,
limf(x,y)=A,limf(x,y)=Υ(y),limf(x,y)=Ω(x)
x→x0
y→y0
则必两个累次极限lim
x→x0
limf(x,y),lim
y→y0
limf(x,y)都存在,且等于A。
y→y0x→x0
推论2 若累次极限lim
x→x0y→y0
limf(x,y)与lim
limf(x,y)都存在,但不相等,则二重极限
limf(x,y)一定不存在。
x→x0
y→y0
x→x0y→y0
y→y0x→x0
2 2 3 3
例8 求limx-y+x+y。
x→0
y→0
x2+y2
解 由于y≠0时恒有limf(x,y)=y-1=Υ(y),故
x→0
lim
limf(x,y)=-1
y→0x→0
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计算二重极限的几种方法
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同理 lim
limf(x,y)=1
2 2 3 3
x→0y→0
由推论2,limx-y+x+y不存在。
x→0
y→0
x2+