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第18卷第6期
上 饶 师 专 学 报
Vol.18,No.6
1998年12月 JOURNALOFSHANGRAOTEACHERSCOLLEGE Dec.1998
Ξ
计算二重极限的几种方法
高 炳 宋
（上饶师专数学系,上饶,334001）
摘 要 利用函数连续性和极限的运算法则,归纳了二重极限的几种计算方法。
关键词 二重极限;累次极限;无穷小
分类号 O174
1 利用函数连续性
定理1 设二元函数z=f（x,y）于点P0（x0,y0）连续,则limf（x,y）=f（x0,y0）。
x→x0
y→y0
y）
例1 求limln（x+l
,（l>0）。
x→1
y→0
x2+y2
解 由于ln（x+ly）及 x2+y2于点（1,0）连续,且 12+02=1
y
故 lim
x→1
y→0
2 利用极限的四则运算
ln（x+l）=ln（1+1）=ln2
x2+y2 1
定理2 若 lim
（x,y）→（x0,y0）
f（x,y）=A, lim
（x,y）→（x0,y0）
g（x,y）=B
则 lim
（x,y）→（x0,y0）
lim
（x,y）→（x0,y0）
lim
[f（x,y）±g（x,y）]=A±B
f（x,y）·g（x,y）=A·B
f（x,y）=A（B≠0）
（x,y）→（x0,y0）g（x,y） B
例2 求lim（x2+y2）e-（x+y）
x→∞
y→∞
2 2 2 2
解 （x2+y2）e-（x+y）=x+y=x+y
e（x+y）
2 2
exey
exey
而 lim
x=lim
xlim
1=0
ee
x→∞xyy→∞
x→∞ex
2
y→∞ey
同理 lim
y=0
ee
x→∞xyy→∞
Ξ收稿日期:
1997-10-14
第6期 高炳宋:
计算二重极限的几种方法
77
故 lim（x2+y2）e-（x+y）=0
x→∞
y→∞
xy
例3 求 limecosy
y→0
x→01+x+y
解 limexycosy=limexy·limcosy=1
x→0
y→0
x→0
y→0
y→0
而 lim（1+x+y）=1
x→0
y→0
y→0
由定理2得 lim
exycosy
=1
3 利用两边夹法则
x→01+x+y
定理3 若于点P0（x0,y0）的邻域内有h（x,y）≤f（x,y）≤g（x,y）,且
limh（x,y）=limg（x,y）=A
x→x0
y→y0
x→x0
y→y0
则 limf（x,y）=A
x→x0
y→y0
22
例4 求 lim
xy
（x,y）→（0,0）x2+y2
（x
1 2
22 +y
2）2
解 由于 0≤xy≤4 =1（x2+y2）→0
由此可知
x2+y2
x2+y2 4
22
lim
xy=0
（x,y）→（0,0）x2+y2
4 利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量
定理4 若 lim
（x,y）→（x0,y0）
f（x,y）=0,而g（x,y）于（x0,y0）的邻域内有界,则
lim
（x,y）→（x0,y0）
例5 求lim（x+y）sin1
f（x,y）g（x,y）=0
x→0
y→0
x2+y2
解 由于sin1≤M且lim（x+y）=limx+limy=0
x2+y2
x→0
y→0
x→0
y→0
故 lim（x+y）sin 1 =0
5 利用复合函数
x→0
y→0
x2+y2
定理5 若函数u=Υ（x,y）,v=Ω（x,y）于点P0（x0,y0）存在极限,并且函数f（u,v）于点
（u0,v0）连续,其中u0= lim
（x,y）→（x0,y0）
y）]于点P0（x0,y0）存在极限,且
Υ（x,y）,v0= lim
（x,y）→（x0,y0）
Ω（x,y）,,则复合函数f[Υ（x,y）,Ω（x,
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lim
（x,y）→（x0,y0）
f[Υ（x,y）,Ω（x,y）]=f[ lim
（x,y）→（x0,y0）
Υ（x,y）, lim
（x,y）→（x0,y0）
Ω（x,y）]
22
例6 求lim（x2+y2）x+y。
x→0
y→0
解 令u=x2+y2,求limu=0
x→0
y→0
22
故 lim（x2+y2）x+y
=limuu=exp{limulnu}=e0=1
x→0
y→0
u→0
u→0
定理6 limf（x,y）（使x=x0+rcosΗ,y=y0+rsinΗ）
x→x0
y→y0
α]limf（x0+rcosΗ,y0+rsinΗ）=A（ΠΗ∈[0,2Π]）。
r→0+
这个定理的结论是显然的,我们把证明留给读者。
例7 求lim（x+y）ln（x2+y2）。
x→0
y→0
解 设x=rcosΗ,y=rsinΗ,则
（x+y）ln（x2+y2）=（cosΗ+sinΗ）rlnr2=2（cosΗ+sinΗ）rlnr
由于 lim
rlnr=lim
lnr =lim
（lnr）′
=
lim
（- r）=0
r→0+
r→0+ 1
r
r→0+
（1）′
r
r→0+
而2（cosΗ+sinΗ）为有界量,则2（cosΗ+sinΗ）rlnr为无穷小量。
ΠΗ∈[0,2Π],有lim2（cosΗ+
r→0+
sinΗ）rlnr=0,因此得到
6 利用累次极限
lim（x+y）ln（x2+y2）=0
x→0
y→0
定理7 设二重极限limf（x,y）=A存在,且limf（x,y）=Υ（y）也存在（y看作常数）,则累
次极限lim
x→0
y→0
limf（x,y）必定存在,且等于A,即
r→x0
y→y0x→x0
lim
limf（x,y）=limf（x,y）
y→y0x→x0
x→x0
y→y0
此定理的证明在一般教本上都有,我们就不多述了。
推论1 如果下面三个极限都存在,
limf（x,y）=A,limf（x,y）=Υ（y）,limf（x,y）=Ω（x）
x→x0
y→y0
则必两个累次极限lim
x→x0
limf（x,y）,lim
y→y0
limf（x,y）都存在,且等于A。
y→y0x→x0
推论2 若累次极限lim
x→x0y→y0
limf（x,y）与lim
limf（x,y）都存在,但不相等,则二重极限
limf（x,y）一定不存在。
x→x0
y→y0
x→x0y→y0
y→y0x→x0
2 2 3 3
例8 求limx-y+x+y。
x→0
y→0
x2+y2
解 由于y≠0时恒有limf（x,y）=y-1=Υ（y）,故
x→0
lim
limf（x,y）=-1
y→0x→0
第6期 高炳宋:
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同理 lim
limf（x,y）=1
2 2 3 3
x→0y→0
由推论2,limx-y+x+y不存在。
x→0
y→0
x2+
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