北师大版初中数学八年级下册《13 线段的垂直平分线》同步练习卷含答案解析.docx

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北师大版初中数学八年级下册《13线段的垂直平分线》同步练习卷含答案解析

北师大新版八年级下学期《1.3线段的垂直平分线》

同步练习卷

一．选择题（共15小题）

1．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC等于（　　）

A．8°B．9°C．10°D．11°

2．如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点

E，则△BCE的周长为（　　）

A．13B．15C．18D．21

3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，过点D作DE⊥AB交AC于点E，连接BE，△BEC的周长为15，AD=3，则△ABC的周长为（　　）

A．18B．21C．24D．27

4．如图△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：

∠BAC=1：

3，则∠C的度数为（　　）

A．48°B．

C．46°D．44°

5．如图，△ABC中，DG垂直平分AB交AB于点D，交BC于点MEF垂直平分AC交AC于点E，交BC于点N，且点M在点N的左侧，连接AM、AN，若BC=12cm，则△AMN的周长是（　　）

A．10cmB．12cmC．14cmD．16cm

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，已知∠CAD：

∠DAB=1：

2，则∠B=（　　）

A．34°B．36°C．60°D．72°

7．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD=5，则AE的长为（　　）

A．

B．2C．

D．4

8．如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知PA=1，则PB（　　）

A．等于1B．小于1C．大于1D．不能确定

9．到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条（　　）

A．中线的交点B．三边垂直平分线的交点

C．角平分线的交点D．高线的交点

10．如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC=100°那么∠PAQ等于（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

11．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　）

A．三条中线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条边的垂直平分线的交点

D．三条高的交点

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于

AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N点，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，若AC=3，BC=4，则DE等于（　　）

A．2B．

C．

D．

13．到同一平面上三点A、B、C的距离相等的点（　　）

A．没有B．至多有一个

C．有两个D．有三个或三个以上

14．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=5cm，△ADC的周长为15cm，则△ABC的周长是（　　）

A．20cmB．24cmC．25cmD．30cm

15．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（　　）

A．5B．6C．7D．8

二．填空题（共8小题）

16．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=2cm．△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是　　cm．

17．如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A=70°，则∠BPC的度数是　　．

18．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，则AE长为　　．

19．如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且BC=8，AC=6，则△ACD的周长为　　．

20．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC=100°，则∠EAG=　　．

21．如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A=64°，则∠D=　　°．

22．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，连接AE，则△ABE的周长为　　．

23．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．若△AEF的周长为10cm，则BC的长为　　cm．

三．解答题（共5小题）

24．如图所示，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，MP分别交AB、BC于M、P两点，NQ分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、AQ．

（1）若△APQ的周长为18，求BC的长；

（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数．

25．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AB、BC于点M、E，边AC的垂直平分线交AC、BC于点N、F，△AEF的周长为10．

（1）求BC的长；

（2）若∠B+∠C=45°，EF=4，求△AEF的面积．

26．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的延长线上一点，EH是BD的垂直平分线，DE交AC于F，求证：

E在AF的垂直平分线上．

27．如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线交AC边于点D，连接BD．

（1）如图CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长．

（2）求∠ADM=60°，∠ABD=20°，求∠A的度数．

28．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．

（1）若BC=10，则△ADE周长是多少？

为什么？

（2）若∠BAC=128°，则∠DAE的度数是多少？

为什么？

北师大新版八年级下学期《1.3线段的垂直平分线》

同步练习卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC等于（　　）

A．8°B．9°C．10°D．11°

【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，根据三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：

连接OA，

∵∠BAC=82°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣82°=98°，

∵AB、AC的垂直平分线交于点O，

∴OB=OA，OC=OA，

∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，

∴∠OBC+∠OCB=98°﹣（∠OBA+∠OCA）=16°，

∴∠OBC=8°，

故选：

A．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．

2．如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点

E，则△BCE的周长为（　　）

A．13B．15C．18D．21

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA=EB，

则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，

故选：

A．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，过点D作DE⊥AB交AC于点E，连接BE，△BEC的周长为15，AD=3，则△ABC的周长为（　　）

A．18B．21C．24D．27

【分析】利用线段的垂直平分线的性质可知：

△BEC的周长=BC+AC，求出AB的长，即可解决问题；

【解答】解：

∵AD=DB=3，DE⊥AB，

∴AB=6，EA=EB，

∵△BEC的周长为15，

∴BC+BE+EC=BC+AE+EC=BC+AC=15，

∴△ABC的周长=6+15=21，

故选：

B．

【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

4．如图△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：

∠BAC=1：

3，则∠C的度数为（　　）

A．48°B．

C．46°D．44°

【分析】设∠BAD=x，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，得到∠DAC=∠C，根据三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：

设∠BAD=x，则∠BAC=3x，

∴∠DAC=2x，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA=DC，

∴∠DAC=∠C=2x，

则70°+3x+2x=180°，

解得，x=22°，

则∠C=2x=44°，

故选：

D．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

5．如图，△ABC中，DG垂直平分AB交AB于点D，交BC于点MEF垂直平分AC交AC于点E，交BC于点N，且点M在点N的左侧，连接AM、AN，若BC=12cm，则△AMN的周长是（　　）

A．10cmB．12cmC．14cmD．16cm

【分析】由直线EM为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：

可得AM=BM，同理可得AN=NC，然后表示出三角形AMN的三边之和，等量代换可得其周长等于BC的长．

【解答】解：

∵直线ME为线段AB的垂直平分线，

∴MA=MB，

又直线NQ为线段AC的垂直平分线，

∴NA=NC，

∴△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC=12cm，

故选：

B．

【点评】此题考查了线段垂直平分线定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，已知∠CAD：

∠DAB=1：

2，则∠B=（　　）

A．34°B．36°C．60°D．72°

【分析】先根据线段垂直平分线及等腰三角形的性质得出∠B=∠DAB，再根据∠DAE与∠DAC的度数比为2：

1可设出∠B的度数，再根据直角三角形的性质列出方程，求出∠B的度数即可．

【解答】解：

∵D是线段AB垂直平分线上的点，

∴AD=BD，

∴△DAB是等腰三角形，∠B=∠DAB，

∵∠CAD：

∠DAB=1：

2，

∴设∠DAC=x，则∠B=∠DAB=2x，

∴x+2x+2x=90°，

∴x=18°，

即∠B=36°，

故选：

B．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

7．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，BC边的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD=5，则AE的长为（　　）

A．

B．2C．

D．4

【分析】利用勾股定理的逆定理证明∠A=90°，设AE=x，则BE=EC=8﹣x，在Rt△AEC中，则有x2=（8﹣x）2+62，解方程即可解决问题；

【解答】解：

∵DE垂直平分线段BC，

∴BE=EC，BD=CD=5，

∴BC=10，

∵AB=8，AC=6，

∴AB2+AC2=BC2，

∴∠A=90°，设AE=x，则BE=EC=8﹣x，

在Rt△AEC中，则有x2=（8﹣x）2+62，

解得x=

，

∴AE=

，

故选：

A．

【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

8．如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知PA=1，则PB（　　）

A．等于1B．小于1C．大于1D．不能确定

【分析】利用线段垂直平分线的性质可得到PB=PA，可得到答案．

【解答】解：

∵P是线段AB垂直平分线上的一点，

∴PB=PA=1，

故选：

A．

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

9．到三角形各顶点距离相等的点是三角形三条（　　）

A．中线的交点B．三边垂直平分线的交点

C．角平分线的交点D．高线的交点

【分析】根据三角形外心的作法，确定到三定点距离相等的点．

【解答】解：

因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．

故选：

B．

【点评】此题主要考查了垂直平分线的性质和三角形外心的作法，关键是根据垂直平分线的性质解答．

10．如图，在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC=100°那么∠PAQ等于（　　）

A．50°B．40°C．30°D．20°

【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=180°﹣100°=80°，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，QA=QC，根据等腰三角形的性质计算即可．

【解答】解：

∵∠BAC=100°，

∴∠B+∠C=180°﹣100°=80°，

∵PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，

∴PA=PB，QA=QC，

∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C，

∴∠PAQ=180°﹣（∠PAB+∠QAC）=180°﹣（∠B+∠C）=20°，

故选：

D．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

11．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（　　）

A．三条中线的交点

B．三条角平分线的交点

C．三条边的垂直平分线的交点

D．三条高的交点

【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答．

【解答】解：

∵点到三角形三个顶点的距离相等，

∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，

故选：

C．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于

AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N点，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，若AC=3，BC=4，则DE等于（　　）

A．2B．

C．

D．

【分析】连接AE，根据勾股定理求出AB，根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，根据勾股定理求出AE，再根据勾股定理计算即可．

【解答】解：

连接AE，

∵∠ACB=90°，

∴AB=

=5，

由题意得，MN是线段AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即AE2=32+（4﹣AE）2，

解得，AE=

，

由勾股定理得，DE=

=

，

故选：

C．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

13．到同一平面上三点A、B、C的距离相等的点（　　）

A．没有B．至多有一个

C．有两个D．有三个或三个以上

【分析】平面上的三点有两种情况：

三点在同一直线上和三点不在同一直线上．当三点在同一直线上时，就不能够找到一点到三个点的距离相等，当三点不在同一直线时就有一点到三点的距离相等，是其中两条线段垂直平分线的交点．

【解答】解：

当三点在同一直线上时，就不能够找到一点到三个点的距离相等；

当三点不在同一直线时就有一点到三点的距离相等，是其中两条线段垂直平分线的交点．

故选：

B．

【点评】本题考查了确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆，过同一直线上的三点不能作圆．

14．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=5cm，△ADC的周长为15cm，则△ABC的周长是（　　）

A．20cmB．24cmC．25cmD．30cm

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DA，AB=2AE，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴DB=DA，AB=2AE=10cm，

∵△ADC的周长为15cm，

∴AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+CB=15cm，

∴△ABC的周长=AC+BC+AB=25cm，

故选：

C．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

15．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为（　　）

A．5B．6C．7D．8

【分析】根据线段垂直平分线性质得出BE=EC，BD=CD，根据△EDC的周长为24求出DE+BE+BD=24①，根据△ABC与四边形AEDC的周长之差为12求出BE+BD﹣DE=12②，两式相减即可求出答案．

【解答】解：

∵BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E，

∴BE=EC，BD=CD，

∵△EDC的周长为24，

∴DE+EC+CD=24，

∴DE+BE+BD=24①，

∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，

∴（AE+BE+BD+DC+AC）﹣（AE+DE+CD+AC）=12，

∴BE+BD﹣DE=12②，

∴①﹣②得：

2DE=12，

∴DE=6．

故选：

B．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能正确运用线段垂直平分线性质进行推理是解此题的关键，注意：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

二．填空题（共8小题）

16．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=2cm．△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长是　16　cm．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，AC=2AE=4cm，根据三角形的周长公式计算．

【解答】解：

∵DE是AC的垂直平分线，

∴DA=DC，AC=2AE=4，

∵△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=12+4=16（cm），

故答案为：

16．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

17．如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A=70°，则∠BPC的度数是　140°　．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA，根据三角形内角和定理计算．

【解答】解：

∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，

∵PE是AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

∴∠PAB=∠PBA，

同理，∠PAC=∠PCA，

∴∠PBA+∠PCA=∠PAB+∠PAC=∠A=70°，

∴∠PBC+∠PCB=110°﹣70°=40°，

∴∠BPC=180°﹣40°=140°，

故答案为：

140°．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

18．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，则AE长为　4cm　．

【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=

AC，求出AB+BC+AC=21cm，AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出AC，即可得出答案．

【解答】解：

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=DC，AE=CE=

AC，

∵△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，

∴AB+BC+AC=21cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，

∴AC=8cm，

∴AE=4cm，

故答案为：

4cm

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

19．如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且BC=8，AC=6，则△ACD的周长为　14　．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴DA=DB，

∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+DB=AC+BC=14，

故答案为：

14．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

20．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC=100°，则∠EAG=　20°　．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A+∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B，计算即可．

【解答】解：

∵∠BAC=100°，

∴∠A+∠B=180°﹣100°=80°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA=EB，

∴∠EAB=∠B，

同理∠GAC=∠C，

∴∠EAB+∠GAC=∠A+∠B=80°，

∴∠EAG=100°﹣80°=20°，

故答案为：

20°．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

21．如图，点D是△ABC三边垂直平分线的交点，若∠A=64°，则∠D=　128　°．

【分析】连接AD，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等看得到AD=BD=CD，根据等边对等角可得∠ABD=∠BAD，∠ACD=∠CAD，然后求出∠ABD+∠ACD+∠BAC，再根据三角形的内角和等于180°求出∠DBC+∠DCB，再次利用三角形的内角和定理求解即可．

【解答】解：

如图，连接AD，

∵点D是△ABC三边垂直平分线的交点，

∴AD=BD=CD，

∴∠ABD=∠BAD，∠ACD=∠CAD，

∴∠ABD+∠ACD+∠BAC=2∠BAC=2×64°=128°，

在△ABC中，根据三角形的内角和定理得，∠DBC+∠DCB=180°﹣128°=52°，

在△DBC中，根据三角形的内角和定理得，∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣52°=128°．

故答案为：

128°

【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．

22．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，线段AC的垂直平分线DE交AC于D，交BC于E，连接AE，则△ABE的周长为　7　．

【分析】由线段垂直平分线的性质可求得AE=CE，再利用线段的和差可知BE+AE=BC，则可求得答案．

【解答】解：

∵DE垂直平分AC，

∴AE=CE，

∴BE+AE=BE+EC=BC，

∴AB+BE+AE=AB+BC=3+4=7，

即△ABE的周长为7，

故答案为：

7．

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

23．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F．若△AEF的周长为10cm，则BC的长为　10　cm．