医用物理学陈仲本第五章课后习题答案.docx
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医用物理学陈仲本第五章课后习题答案
第五章静电场
通过复习后，应该:
1.掌握电场强度、场强叠加原理、电势和电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、电偶极子的电势;
2.理解电场线和电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极化、能斯特方程、电容器、静电场的能量;
3.了解电偶层的电势、细胞膜静息电位、心电图和心向量图的电学原理。
5-1点电荷q和4q相距l，试问在什么地方放置什么样的电荷，可使这三个电荷达到受力平衡?
解：
已知两个同号点电荷q与4q相距l，在它们之间的连线上某处放置一个异号电荷，当它们满足一定的条件时，即可达到力的平衡。
设这个异号电荷的电量为mq，与q相距x，如本题附图所示。
根据库仑定律
，分析力的平衡条件，电荷mq分别与q、4q的引力相等，即
（a）
电荷q受4q的斥力和mq的引力相等，即习题5-1附图
（b）
解（a）式得x=l/3，将其代入（b）式可得m=4/9。
从上面的计算结果可知，在q与4q之间，与电荷q相距l/3处，放置一个4/9q的异号电荷，可使三个电荷达到受力平衡。
5-2两个点电荷分别带有+10C和+40C的电量，相距40cm，求场强为零的点的位置及该点处的电势。
解:
①求场强为零的位置:
只有在两电荷的连线中的某点P，才能使该处场强为零，即q1、q2在该点的场强E1、E2大小相等，方向相反，已知q1=10C，q2=40C，则根据点电荷场强公式
，有
由上式可得
习题5-2附图
又因r1+r2=40cm，由此可得r1=40/3cm=40/3×10-2m；r2=80/3cm=80/3×10-2m
②求电势:
设q1、q2在P点产生的电势分别为U1、U2，P点电势U为U1、U2之和，即
5-3两等值异号点电荷相距2.0m，q1=8.0×10-6C，q2=-8.0×10-6C。
求在两点电荷连线上电势为零的点的位置及该点处的场强。
解:
①求电势为零的位置:
设q1、q2连线上P点处电势为零，该点电势为q1、q2分别产生的电势
U1、U2之代数和，由点电荷电场的电势
得
习题5-3附图从上式可得
又r1+r2=2.0m，则r1=r2=1.0m，即电势为零的位置处于两点电荷连线的中点。
②求场强:
设q1、q2在P处产生的场强分别为E1、E2，它们的方向一致，故P点的场强为E1和E2的大小之和，方向由P指向q2
5-4在一个边长为a的正三角形的三个顶点放有量值相等的电荷Q，在以下两种情况下，求三角形重心处的场强和电势：
①三个顶点都带正电荷;②两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷。
习题5-4附图（a）习题5-4附图（b）
解:
根据场强的叠加原理，可分别求出三个点电荷在重心的场强，再求出它们的矢量和。
电势为标量，只需求出它们的代数和。
①当三个都为正电荷时，按附图（a）取坐标，坐标原点O为三角形的重心，已知等边三角形的边长为a，则其重心到三个顶点的距离r可由三角函数求出
由点电荷场强公式
可得，三个点电荷在重心O的场强相等，即
（a）
方向如附图所示。
设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey和Ex，则由附图（a）可得
Ey=E2cos60°+E3cos60°－E1=½E2+½E3－E1=0
Ex=E2sin60°－E3sin60°=0（因为E2=E3）
故重心处的合场强E=0。
由点电荷的电势公式
和
可得
根据电势叠加原理，重心处的电势U为
②当两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷时，按本题附图（b）取坐标。
参考前面的（a）式，由点电荷电场强度公式可得
方向如附图（b）所示。
设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey和Ex，则由附图（b）可得
Ey=E1+E2cos60°+E3cos60°=E1+½E2+½E3=2E1=
Ex=E2sin60°－E3sin60°=0（因为E2=E3）
故重心处的场强E的大小为
其方向垂直向上。
由点电荷电势公式可得三个点电荷在重心的电势分别为
，
根据电势叠加原理，重心处的电势为
5-5均匀带电直线长2a，其线电荷密度为λ，求在带电直线垂直平分线上，且与带电直线相距为a的点的场强和电势。
解:
①求场强：
以带电直线为坐标轴，取直线中点为原点O，在直线上距O点x处取一线元dx，如本题附图所示，其电量dq=λdx，此电荷元在所求点P处产生的场强为
（a）
其方向沿dq与P点连线（图中为λ>0时的情况，若λ<0，则反向），与X轴线夹角为θ。
由于对称性，各电荷元的场强沿X轴的分量dE∥互相抵消，而垂直于X轴的分量dE⊥互相增强，因此
（b）
由附图可知，
，将（a）式和sinθ的表达式代入（b）式得E的大小为习题5-5附图
其方向垂直向上。
②求电势:
由点电荷电势公式可得，dq在P点产生的电势dU为
将上式积分可得P点电势
5-6均匀带电圆环，其半径为5cm，总电量为5.0×10-9C，计算轴线上离环心5cm处的场强和电势。
解：
本题先求电势，然后利用场强和电势的关系计算场强。
①求电势：
参考本题附图，设圆环总量为q，半径为R，由于电荷是均匀分布，故其线电荷密度η=q/2πR。
在圆环上取一线元dl，其电量为
（a）习题5-6附图
设P点离环心O的距离为x，则由附图知，
，电荷元dq在P点产生的电势dU为
（b）
将上式积分，可得P点的电势为
（c）
已知R=5cm=0.05m，q=5.0×10-9C，x=5cm=0.05m，代入上式得
②求场强:
根据场强与电势的关系E=－dU/dn，对（c）式求关于x的导数，则场强E的大小为
方向沿X轴正方向。
dE∥互相抵消，而垂直于X轴的分量dE⊥互相增强，因此
5-7均匀带电的半圆弧，半径为R，带有正电荷q，求圆心处的场强和电势。
解:
①求场强：
在环上取一线元dl，带电量dq=qπRdl，电荷元在圆心产生的场强大小为
方向如附图所示，与OX轴夹角为θ，dl=Rdθ。
由于对称性，dE∥互相抵消，dE⊥相互增强，于是有
将dE的表达式及dl=Rdθ代入，经整理后得场强E的大小为
其方向垂直向下。
②求电势:
电荷元dq在圆心产生的电势dU为
习题5-7附图
将上式积分即得圆心处的电势
5-8长度为L的直线段上均匀分布有正电荷，电荷线密度为λ，求该直线的延长线上，且与线段较近一端的距离为d处的场强和电势。
解:
①求场强:
在直线段l处取一线元dl，其带电量为dq=λdl，它在P处产生的场强方向沿直线的延长线，大小为
将上式积分，即得P点场强的大小为习题5-8附图
方向沿X轴正方向。
②求电势:
由点电荷电势公式可知，电荷dq在P点产生的电势dU为
将上式积分，即得P点的电势U为
5-9两个无限长同轴柱面，内圆柱面半径为R1，每单位长度带的电荷为+λ，外圆柱半径为R2，每单位长度带的电荷为-λ，求两圆柱面之间的空间中各处的场强。
解:
电荷均匀地分布在两无限长同轴圆柱面上，电场的分布具有对称性，即距轴心等距的各点大小相等，方向沿半径方向（轴向分布）欲求两圆柱面之间的空间中任意点（设距轴心为r）的场强E，选取半径为r，单位长度的同轴圆柱面S1与两底面S2、S3构成的闭合柱形高斯面S。
其中S2、S3处场强方向与法线垂直，cos90°=0，通过S2、S3的电通量为零，所以通过S面的总电通量即为通过S1的电通量
由题意可知，在单位长度高斯圆柱面内的电量为+λ，
故由高斯定理
得
E·2πr=λ/ε0
解出E即得
（R15-10在匀强电场E中作一球面，球心为O，半径为R。
①求通过整个球面的电通量;②过球心，沿垂直电场方向将球面一分为二，求通过半个球面的电通量［图中（a）］；③沿着与电场方向呈θ角的方向把球面一分为二，求通过半个球面的电通量［图中（b）］。
解:
①根据高斯定理
，由于球面内无电荷，
=0，故通过整个球面的电通量Φe等于零，即
②从图（a）中可以看出，沿垂直电场方向将球面一分为二，其横截面积为πR2，通过半个球面的电通量就等于通过该横截面的电通量，其数值Φe为习题5-10附图
=EπR2
③与
（2）类似，在（b）图中通过半个球面的电通量，就等于通过其横截面在场强方向上的投影面积πR2sinθ的电通量，其大小为
Φe=∫Ecos（900-θ）dS=∫EsinθdS=EπR2sinθ
5-11在一橡皮球表面均匀分布着正电荷q，在橡皮球被吹大的过程中，A点始终在球面内，B点始终在球外，问A，B点处的场强和电势将如何变化?
答:
设橡皮球的半径为R，由教材中高斯定理的应用举例可知，这一带电的橡皮球其电场的分布为
即球面内、外的场强与橡皮球的半径R无关，故A、B两点的场强不变。
根据电势的定义可得
即UA随橡皮球R的增加而降低，UB则因它距球心的距离不变而没有发生变化。
5-12两个均匀带电的同心球面，内球面半径为R1，外球面半径为R2，外球面的面电荷密度为σ2，且外球面外各处的场强为零，求：
①内球面上的电荷密度σ1；②两球面之间离球心为r处的场强；③内球面内的场强。
解:
①从球心O以半径r（>R2）作一球形高斯面S1（外虚线），该高斯面上各处场强为零.通过S1面的电通量
由高斯定理可知，两球面带异号电荷，且q1=q2，即：
σ1·4πR12=σ2·4πR22，由此可解出内球面上的电荷密度σ1为
习题5-12附图
②从球心O以半径R作一球形高斯面S2（见附图，内虚线），由于电荷均匀分布，球面带电体具有球对称性，电场的分布也应有对称性，在高斯面S2上各处的场强大小相等，方向均沿半径方向，即θ=0（此为内球面带正电情况，若带负电，θ=180°，请读者自行讨论）。
设S2上场强大小为E，根据高斯定理有
E·4πR2=q1/ε0
③因球面内没有电荷，由高斯定理可知，E=0。
5-13电场强度E与电势U之间有何关系?
电场中，若某点场强为0，该点电势是否一定为0?
反之，某点电势为0。
该点的场强是否一定为0?
若空间中各点电势为一常数，场强一定为0吗?
为什么?
答:
电场强度E与电势U是从不同角度来描述电场性质的两个重要物理量，电场强度E描述了电场力的特性，而电势U则描述了电场能的特性，它们之间的积分关系为
，微分关系
。
从它们的关系式可以看出，某点场强为0，该点电势不一定为0，例如，半径为R的带电球壳，内部的场强为0，而电势等于kQ/R。
某点的电势为0，但该处的dU不一定为0，因此该点的场强不一定为0，例如电偶极子的中垂面上，各点的电势等于0，但场强不等于0。
若空间各点电势为一常数，dU=0，则场强一定为0。
5-14电量为q=+1.0×10-8C的点电荷，从电场中的a点移到b点，电场力作的功为3×10-6J，求:
①a、b两点的电势差是多少?
②两点中哪一点的电势较高?
解:
已知q=+1.0×10-8C，Wab=3×10-6J，由电势差公式Ua－Ub=Wab/q可得
Ua－Ub=Wab/q=3×10-6/1.0×10-8V=3×102V
因为正电荷从a移到b是电场力作功，所以Ua>Ub。
5-15什么是电偶极子?
电偶极子电场中某一点的电
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