极值点偏移问题_精品文档.docx

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极值点偏移问题

极值点偏移问题总结

一、判定方法

1、极值点偏移的定义

对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，

（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；

（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；

（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。

2、极值点偏移的判定定理

判定定理1对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，

（1）若，则，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；

（2）0若，则，即函数在区间上极大（小）值点左（右）偏。

证明：

（1）因为可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，又，有由于，故，所以，即函数极大（小）值点右（左）偏。

判定定理2对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，

（1）若，则，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；

（2）若，则，即函数在区间上极大（小）值点左（右）偏。

证明：

（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，又，有，且，又，故，所以，即函数极大（小）值点右（左）偏.

结论

（2）证明略。

二、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1.方法概述：

（1）求出函数的极值点；

（2）构造一元差函数

（3）确定函数的单调性；

（4）结合，判断的符号，从而确定的大小关系。

2.抽化模型

答题模板：

若已知函数满足，为的极值点，求证：

（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；

假设此处在上单调递减，在上单调递增。

（2）构造；

注：

此处根据题意需要还可以构造成

（3）通过求导谈论的单调性，判断处在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；

假设此处在上单调递增，那么我们便可以得出，从而得到：

时，

（4）不妨设，通过的单调性，，的大小关系得出结论；

接上述情况：

由于时，且，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证；

（5）若要证明还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；

此处只需继续证明：

因为故，由于在上单调递减，故

说明：

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明或的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或者的结论，让你给出证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题。

三、例题

（一）不含参数的的极值点偏移问题

例1：

（2010天津理21）已知函数

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若，且，求证：

解答：

【法一】

（1），；增减极大值

（2），

；减；增

时，即

，不妨设，由

（1）知，

，在上增，

，即

【法二】

欲证，即证

由法一知，故

又因为在上是单调递减的，只需证,

又因为，故也即证，

构造函数，

由

在上单调递增，

故原不等式成立

【法三】

由得，，化简得①

不妨设，由法一知，令，则，，

代入①得：

，反解出：

，则，

故要证即证，又因为，

等价于证明：

②

构造函数，则，，

故上单调递增，

从而上单调递增，

【法四】

由得，，化简得①，

两边同时取以e为底的对数：

得，即，

从而，

令，则欲证等价于证明②，

构造，

则，

又令则，

由于对恒成立，故，

在上单调递增，，

对恒成立，在上单调递增，

由洛必达法则知：

即，即证③式成立，也即原不等式成立

例2：

（2013湖南文21），

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：

当时，

（二）含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元基础上，有多了一个参数，故思路很自然的就会想到：

想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决，或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。

例1已知函数有两个不同的零点，求证：

例2.已知函数，为常数，若函数有两个不同的零点，求证：

例3：

已知是函数的两个零点，且

（1）求证：

（2）

例4：

已知函数，若存在（），使求证：

变式训练：

1.设函数的图像与轴交于两点，

（1）证明：

（2）求证：

2.设函数，其图像在点处切线的斜率为，当时，令，设（）是方程的两个根，是的等差中项，求证：

3.已知函数

（1）若，求函数在上的零点个数；

（2）若有两零点（），求证：

4.已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）设，证明：

时，

（三）含对数式的极值点偏移问题

根据建立等式，通过消参、恒等变形转化为对数平均，捆绑构造函数，利用对数平均不等式链求解。

对数平均不等式的介绍与证明

两个整数和的对数平均定义：

，

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

例1：

已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）设，证明：

当时，；

（3）若函数的图像与轴交于A,B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：

（四）含指数式的极值点偏移问题

例1（全国1卷2016理21）已知函数有两个零点，证明：

例2（天津2010理21）已知函数

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）若，且，求证：

例3.设函数的图像与轴交于两点，证明：

变式训练：

已知函数在上有两个零点

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：

；

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