1、极值点偏移问题极值点偏移问题总结一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数在区间内只有一个极值点,方程的解分别为,且,(1)若,则称函数在区间上极值点偏移;(2) 若,则函数在区间上极值点左偏,简称极值点左偏; (3)若,则函数在区间上极值点右偏,简称极值点右偏。 2、极值点偏移的判定定理判定定理1 对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,方程的解分别为,且,(1)若,则,即函数在区间上极大(小)值点右(左)偏;(2)0若,则,即函数在区间上极大(小)值点左(右)偏。 证明:(1)因为可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,则函数的单调递增(减)区间为,单调递减(增)区间为,又,有
2、由于,故,所以,即函数极大(小)值点右(左)偏。判定定理2 对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,方程的解分别为,且,(1)若,则,即函数在区间上极大(小)值点右(左)偏;(2)若,则,即函数在区间上极大(小)值点左(右)偏。证明:(1)因为对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,则函数的单调递增(减)区间为,单调递减(增)区间为,又,有,且,又,故,所以,即函数极大(小)值点右(左)偏.结论(2)证明略。二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述:(1)求出函数的极值点;(2)构造一元差函数 (3)确定函数的单调性;(4)结合,判断的符号,从而确定的大小关系。2.抽化模
3、型答题模板:若已知函数满足,为的极值点,求证: (1)讨论函数的单调性并求出的极值点;假设此处在上单调递减,在 上单调递增。(2)构造;注:此处根据题意需要还可以构造成(3)通过求导谈论的单调性,判断处在某段区间上的正负,并得出与的大小关系;假设此处在上单调递增,那么我们便可以得出,从而得到:时,(4)不妨设,通过的单调性,的大小关系得出结论;接上述情况:由于时,且,故 ,又因为,且在上单调递减,从而得到,从而得证;(5)若要证明还需进一步讨论与的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证;此处只需继续证明:因为故,由于在上单调递减,故说明:(1)此类试题由于思路固定
4、,所以通常情况下求导比较复杂,计算时须细心;(2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求的单调性、极值点,证明或的大小关系;若试题难度较大,则直接给出形如 或者的结论,让你给出证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题。三、 例题(一) 不含参数的的极值点偏移问题例1:(2010 天津理21)已知函数(1)求函数的单调区间和极值;(2)若,且,求证: 解答:【法一】(1),;增 减 极大值(2) , ; 减;增时, 即 ,不妨设,由(1)知, , 在上增, ,即【法二】欲证,即证由法一知,故又因为 在上是单调递减的,只需证,又因为,故也即证,构造函数, 由在上单调递增,故原不等
5、式成立【法三】由得,化简得 不妨设,由法一知,令,则,代入得:,反解出:,则,故要证即证,又因为,等价于证明: 构造函数,则,故上单调递增,从而上单调递增,【法四】由得,化简得 ,两边同时取以e为底的对数:得,即,从而,令,则欲证等价于证明 ,构造,则 ,又令 则,由于对恒成立,故,在上单调递增,对恒成立,在上单调递增,由洛必达法则知: 即,即证式成立,也即原不等式成立例2:(2013 湖南 文21),(1)求函数的单调区间;(2)证明:当时,(二) 含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元 基础上,有多了一个参数,故思路很自然的就会想到:想尽一切办法消去参数,从而转化成
6、不含参数的问题去解决,或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数。例1已知函数有两个不同的零点,求证:例2. 已知函数,为常数,若函数有两个不同的零点,求证:例3:已知是函数的两个零点,且(1)求证:(2)例4:已知函数,若存在(),使 求证: 变式训练:1.设函数的图像与轴交于两点,(1)证明: (2)求证: 2.设函数,其图像在点处切线的斜率为,当时,令,设()是方程的两个根,是的等差中项,求证:3.已知函数(1)若,求函数在上的零点个数;(2)若有两零点(),求证: 4.已知函数(1)讨论的单调性;(2)设,证明:时, (三) 含对数式的极值点偏移问题根据建立等式,通过消参、恒等变形转化为对数平均,捆绑构造函数,利用对数平均不等式链求解。对数平均不等式的介绍与证明两个整数和的对数平均定义: ,对数平均与算术平均、几何平均的大小关系: 例1:已知函数 (1)讨论的单调性;(2)设,证明:当时,;(3)若函数的图像与轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为,证明: (四) 含指数式的极值点偏移问题例1(全国1卷 2016 理21)已知函数有两个零点,证明: 例2(天津 2010 理21)已知函数(1)求函数的单调区间和极值;(2)若,且,求证: 例3.设函数的图像与轴交于两点,证明: 变式训练:已知函数在 上有两个零点(1)求实数的取值范围;(2)求证:;第9页
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