易拉罐形状和尺寸的最优设计模型-第四组_精品文档.doc

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易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

摘要

利用数学分析的方法，建立在同样容积和材料的易拉罐哪种情况下具有最小的面积的数学模型。

运用圆柱与正圆台最小面积的知识，结合图形得出一组解,通过进一步讨论、分析验证此解的合理性，最后利用MATLAB软件求得其最优解的几何图形，并通过PHOTOSHOP画出了产品的实物图，从而为生产易拉罐的公司设计出一个最佳生产方案.

通过以下的事例分析与计算我们对铝制与纸浆制的易拉罐进行合理的比较：

（1）生产同样的易拉罐用铝制造的成本大约是1元，用纸浆制造的成本大约是0.3元，生产3亿个易拉罐铝制的大约用3亿元，而纸浆制造的大约花费为9000万元，省去了2.1亿的费用。

（2）生产易拉罐厂家的规模，铝制的厂家最少生产量为2000万，而纸浆的厂家最少生产量为2万。

（3）原材料，铝制造的易拉罐是用铝，而铝在中国是很欠缺的资源需要进口，纸浆制造的易拉罐主要的原材料是稻,麦草纸浆（特别提示：

在广大的农村稻、麦草被当作垃圾来焚烧，这样即污染环境又浪费资源）。

（4）易拉罐的新颖时尚与个性化，经调查发现：

大多数青年人对同种饮料往往会选择新颖时尚与有个性化的易拉罐饮料，而且青年人又是易拉罐饮料的主要消费人群。

（5）技术难度，铝制易拉罐的制造融合了冶金、化工、机械、电子、食品等诸多行业的先进技术，而在国内很多公司很难到达这种程度，即使达到了也承受不起那种昂贵的费用，纸浆制造的不需要太高的科技含量。

（6）安全性，铝制易拉罐中主要材料是金属，而铝是国家现在明令禁止其使用在食品和饮料包装上，它对脑神经有毒害作用，会干扰人的意识和记忆功能，导致老年性痴呆症。

而纸浆被称作是绿色环保材料。

最后通过分析比较用那种材料和那种样式的易拉罐，提出我们的意见，做出最好的方案。

关键词：

最优设计，易拉罐，材料，形状，尺寸，模型，

1.背景资料分析

从2002年底到2004年，铝行业主要原料氧化铝价格在持续走强后，2005年七月价格持续上扬，导致氧化铝下游产品电解铝行业利润急剧降低，再加上我国电解铝行业发展过快、相应的资源配置跟不上，电解铝行业亏损面呈扩大趋势。

同时，我们国家铝行业仍然存在技术含量底、重复建设严重、行业不良竞争大量存在、集约化和一体化经营程度低、行业利润和生产规模远底于世界平均水平等问题，虽然产业链低端在国际上呈现一定的势力，但是我国铝行业整体国际竞争力不强，产业结构不合理，在国际竞争中处于弱势地位。

铝质易拉罐在饮料包装容器中占有相当大的比重。

易拉罐的制造融合了冶金、化工、机械、电子、食品等诸多行业的先进技术，成为铝深加工的一个缩影。

随着饮料包装市场竞争的不断加剧，对众多制罐企业而言，如何在易拉罐生产中最大限度地减少板料厚度，减轻单罐质量，提高材料利用率，降低生产成本，是企业追求的重要目标。

为此，以轻量化（light-weighting）为特征的技术改造和技术创新正在悄然兴起。

易拉罐轻量化涉及到许多关键性技术。

目前我们主要讨论易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

我们只要少加留意就会发现销量很大的饮料公司的饮料罐（即易拉罐）的

形状和尺寸几乎都是一样的。

为什么不同的大公司会用几乎相同的饮料罐哪？

我们通过分析发现这些公司都有一个共同的特点：

销售量特大。

我们知道对于最优设计的少数易拉罐来说节省的钱是有限的，但是如果是生产几亿、甚至几十亿个易拉罐的话，那么节约的钱就很可观了。

由此看来，这些公司相似的设计绝对不是偶然的，这应该是某中意义下的最优设计。

所谓的最佳生产方案即生产经营单位利用有限的空间、物质资源及生产能力，在一定时间内，将配置实现最优化的利用、调度，获得合理范围内的最大收益。

真对生产易拉罐的公司来说,将其材料的费用、易拉罐用的材料、易拉罐的形状和尺寸、易拉罐的新颖时尚程度、易拉罐的个性化、生产易拉罐的技术难度、易拉罐的环保、易拉罐对人体是否有有害影响等作为厂家综合考虑的因素，利用其间各种联系，可得出几种合理资源配置方案，再在这其中找出最佳方案，即能使生产经营单位得到收益最高的方案，即所谓的这家易拉罐公司得到收益最高的方案。

下面我们就对易拉罐的形状和尺寸进行讨论易拉罐的最优设计问题。

2．问题的提出与假设

问题一：

取一个饮料容量为355毫升的易拉罐，例如:

355毫升的可口可乐饮料罐，测量出我们验证模型所需要的数据（易拉罐各部分的直径、高度、厚度等），并把数据表加以说明。

问题二：

设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？

其结果是否可以说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸（半径和高度之比）。

问题三：

设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

问题四：

利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

问题五：

用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤以及难点

假设

1假设在2小题中易拉罐是一个正圆柱体，在三小题中易拉罐是一个正圆台

2假设易拉罐各个部分的厚度是均匀的。

3假设易拉罐各个部分的材料是一样的。

4假设易拉罐的体积是一个固定值。

3．问题的求解过程

首先我们通过使用工具对市场上面常见的传统型易拉罐测量得出我们需要验证模型所需要的数据（易拉罐的直径，高度，厚度，梯形台高，上面直径，下直径，坡度）。

其次，我们假设易拉罐是一个正圆柱体，我们通过利用数学的方法计算求出它的最优设计方案结果，并验证说明我们所测得的易拉罐的形状和尺寸．我们并在此建立目标函数来说明问题的最优化．

再次：

我们设易拉罐上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，通过建立数学模型、求解模型来说明什么是易拉罐的最优设计以及最优设计的结果，运用我们测量得到的数据来验证这个模型的正确性．

最后，通过对易拉罐的了解和洞察力，合理的设计出我们自己心目中易拉罐的最优形状和尺寸,利用绘图工具绘制出我们设计的实物图和集合图形.并且对我们设计的模形与传统的易拉罐作对比分析,,合理的预测出我们设计的模型的优势,同时我们也用波特五力模型分析法分析我们设计的模型的潜在入侵者的威胁、替代品的威胁、买方的还价能力、供方的讨价能力、现有企业的竞争等各种条件分析来预测我们模型的市场长期和短期的影响力度。

4．问题的求解

问题一的求解:

我们通过用角尺,直尺,软尺,卡尺,铸模尺,测瓶尺等一系列工具测得的易拉罐各部分结果分别为：

厚度0.32，下直径为67.7，高124.7，梯形台高11.2，上直径64.5，坡度0.68；

问题二的求解:

在问题二中整个易拉罐都被看作为正圆柱体，根据制造过程中消耗铁皮的多少来判别优劣，即最优易拉罐应该具有的最小表面S,使易拉罐为最优化应做到同样容积的易拉罐用最少的材料。

我们为此在这里建立数学函数用来说明易拉罐的最优化，我们从以下三方面来着手，首先是写出易拉罐的面积的表达式，其次是易拉罐在半径外多少时有最小值，最后是求出底半径与高之比。

问题二的字母说明：

易拉罐的容积

易拉罐的半径

易拉罐的高度

易拉罐表面积

易拉罐表面积的最小值

1）建立目标函数，易拉罐的容积V=y，设表面积为S，则S=2+2xy。

因为V为常数，所以，，由此可得到目标函数—易拉罐表面积的表达式

2）求S（x）的最小值

因为

令

得可能极值点

且唯一

又所以S（x）在处取得最小值。

3）求底半径与高之比:

由和可以算得

因此由设计要求知，体积V是常数，半径r是变量，表面积S是r的函数。

故设计方案转化为数学问题：

当r取何值时，函数S取最小值？

则S=2πr2+V/r+V/r≥3（2πr2·V/r·V/r）1/3=3（2πV2）1/3，当且仅当2πr2=V/r，即r=（V/2π）1/3时，易拉罐具有的表面积S=3（2πV2）1/3，此时易拉罐的高h=2r，也就是说，设计成等边圆柱时，消耗铁皮最少。

问题三的求解:

当我们在分析问题三时，我们需要求出的是易拉罐形状和尺寸的最优设计是什么，我们知道它的最优设计就是在容量不变的情况下，怎么样设计才能使使用的材料最少，同时还能够保证易拉罐形状和性能的不变。

根据立体几何的性质可以得知，正圆柱体是在表面积不变的情况下，表面积最小（即耗材最少）的图形；所以我们要研究的最优设计只是这个易拉罐下部分和上部分的比例以及上部分的斜率问题，根据几何图形最优设计问题我们可以知道接口处的角度大小和上下部分高的比例大小直接关系到整个易拉罐的耗材优化设计，下面我们就依据题三中上面部分和下面部分接口处的角度来测量它的设计的合理与否。

根据问题中的图例所示我们可以把本小题中的易拉罐分成两部分来考虑，即上面部分：

正圆台和下面部分：

正圆柱体。

V

正圆台的体积

S

再圆台的表面积

R

易拉罐下底面的半径

r

易拉罐上底面的半径

H

易拉罐圆柱部分的高度

h

易拉罐圆台部分的高度

易拉罐圆台部分的倾斜角

由第二小题我们可以得出当瓶底半径与圆柱高的比为1：

2时圆柱达到了最优化状态，所以我们在本小题中就只需要考虑在什么情况下正圆台达到最优化状态。

我们可以把它转化成数学的思维方式来求解。

我们首先做出体积求解如下图所示

所以我们可以得出以下的式子

此外我们得出的正圆台的表面积的解式如下所示

我们以下通过MATALB软件画图可以从图出看出当满足下列关系时，在正圆台的体积一定时，所得表面积为最小值，这个关系就是

问题四的求解：

在现实社会中铝质易拉罐在饮料包装容器中占有相当大的比重，易拉罐的制造融合了冶金、化工、机械、电子、食品等诸多行业的先进技术，成为铝深加工的一个缩影。

随着饮料包装市场竞争的不断加剧，对众多制罐企业而言，如何在易拉罐生产中最大限度地减少板料厚度，减轻单罐质量，提高材料利用率，降低生产成本，是企业追求的重要目标。

但是，勿用质疑的是，铝制易拉罐已经大面积的走进了人们的生活当中，尽管我们的最优设计能够把耗材降到最低的限度，但是大量的生产还是会耗费很多的铝材料，并且铝易拉罐价格过高，设备、技术都是很高的，在我国铝资源数量少，质量差储量保障程度低的情况下，大量的生产铝制易拉罐对于我国铝资源的消耗仍然是一项沉重的负担，另外是在当今的社会健康成了人们经常讨论的话题，所以一些对人体有有害影响的材料正在慢慢的远离人们的身旁，一些厂家也开始关注自己厂的材料，在他们生产时不但做到减少生产成本而且也尽量做到减少使用对人体有害的物质作为材料。

铝制易拉罐中的铝会对人体造成有害影响，所有在不久的将来会有一种对人体无害的材料来代替铝制易拉罐。

因此，铝制易拉罐企业应把大力推行循环经济并采取措施减少资源消耗和环境污染作为当前工作的重中之重。

循环经济强调在生产和再生产的各个环节中，利用一切可以利用的资源，按"物质代谢"和"共生"的关系延伸产业链，以"资源-产品-再生资源"为表现形式，是一种集约性的增长方式。

也正因为如此我们设计用纸作为材料来制作易拉罐，纸易拉罐由纸浆高压压铸成形，造型美观，不污染环境，是国际推广的最优绿色包装，它使用安全卫生，生产工艺简单，投资少，尤其是成本低的特点最突出。

它将以其包装无法比拟的优势很快占领包装市场，成为饮料界的优选包装。

纸制罐的技术问题：

由饮料的特性我们知道纸制易拉罐的主要技术问题是如何确保易拉罐罐体的物理性能、耐磨性、耐压强度、保鲜性能、密封性。

我们如何来解决这个问题成为我们推广纸制易拉罐制作工程中的重中之重。

下面我们就来讨论一下关于纸制易拉罐制作过程中的技术问题:

（1）落料易拉伸复合工序。

拉伸时，坯料边缘的材料沿着径向形成杯，因此在塑性流动区域的单元体为双向受压，单向受拉的三向应力状态，由于受凸模圆弧和拉伸凹模圆弧的作用，杯下部壁厚约减薄10%，而杯口增厚约25%。

杯转角处的圆弧