根与系数的关系韦达定理练习题.docx
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根与系数的关系韦达定理练习题
一元二次方程根与系数的关系练习题
一．选择题（共14小题）
1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（ ）
A．
x2﹣x+2=0
B．
x2﹣2x+2=0
C．
x2﹣x﹣2=0
D．
2x2﹣4x+1=0
2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）
A．
x2﹣3x+6=0
B．
x2﹣3x﹣6=0
C．
x2+3x﹣6=0
D．
x2+3x+6=0
3．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（ ）
A．
﹣4
B．
6
C．
8
D．
12
4．（2007•泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则2x12﹣2x1+x22+3的值是（ ）
A．
19
B．
15
C．
11
D．
3
5．（2006•贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（ ）
A．
6
B．
0
C．
7
D．
﹣1
6．（1997•天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为4a﹣3，则两根之积为（ ）
A．
2
B．
﹣2
C．
﹣6或2
D．
6或﹣2
7．已知x的方程x2+mx+n=0的一个根是另一个根的3倍．则（ ）
A．
3n2=16m2
B．
3m2=16n
C．
m=3n
D．
n=3m2
8．a、b是方程x2+（m﹣5）x+7=0的两个根，则（a2+ma+7）（b2+mb+7）=（ ）
A．
365
B．
245
C．
210
D．
175
9．在斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，则m的值为（ ）
A．
﹣4
B．
4
C．
8或﹣4
D．
8
10．设m、n是方程x2+x﹣2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（ ）
A．
2008
B．
2009
C．
2010
D．
2011
11．设x1、x2是二次方程x2+x﹣3=0的两个根，那么x13﹣4x22+19的值等于（ ）
A．
﹣4
B．
8
C．
6
D．
0
12．m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，则（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）的值是（ ）
A．
2007
B．
2008
C．
2009
D．
2010
13．已知x1、x2是一元二次方程x2+x﹣1=0两个实数根，则（x12﹣x1﹣1）（x22﹣x2﹣1）的值为（ ）
A．
0
B．
4
C．
﹣1
D．
﹣4
14．设m，n是方程x2﹣x﹣2012=0的两个实数根，则m2+n的值为（ ）
A．
1006
B．
2011
C．
2012
D．
2013
二．填空题（共5小题）
15．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为 _________ ．
16若关于x的一元二次方程x2+x﹣3=0的两根为x1，x2，则2x1+2x2+x1x2= _________ ．
17．已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是 _________ ．
18．一元二次方程2x2+3x﹣1=0和x2﹣5x+7=0所有实数根的和为 _________ ．
19．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为 _________ ．
三．解答题（共11小题）
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足
，求m的值．
21．是否存在实数m，使关于x的方程2x2+mx+5=0的两实根的平方的倒数和等于
？
若存在，求出m；若不存在，说明理由．
22．已知关于x的方程kx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，则当k为何值时，方程两根之比为1：
3？
23．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．
24．实数k为何值时，方程x2+（2k﹣1）x+1+k2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．
25．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k=0的两个实数根x1、x2满足x1﹣x2=2，试求k的值．
26．已知x1、x2是方程x2﹣kx+
k（k+4）=0的两个根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）=
，求k的值．
27．关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．
28．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？
若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．
29．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．
30．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果m满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数．求m的值．
一元二次方程要与系数的关系练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共14小题）
1．下列一元二次方程中，两根之和为2的是（ ）
A．
x2﹣x+2=0
B．
x2﹣2x+2=0
C．
x2﹣x﹣2=0
D．
2x2﹣4x+1=0
考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
专题：
方程思想．
分析：
利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=﹣
对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．
解答：
解：
A、∵x1+x2=1；故本选项错误；
B、∵△=4﹣8=﹣4＜0，所以本方程无根；故本选项错误；
C、∵x1+x2=1；故本选项错误；
D、∵x1+x2=2；故本选项正确；
故选D．
点评：
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解答该题时，需注意，一元二次方程的根与系数的关系是在原方程有实数解的情况下成立的．
2．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（ ）
A．
x2﹣3x+6=0
B．
x2﹣3x﹣6=0
C．
x2+3x﹣6=0
D．
x2+3x+6=0
考点：
根与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
利用根与系数的关系求解即可．
解答：
解：
小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，
故设这个一元二次方程的两根是α、β，可得：
α•β=﹣6，α+β=﹣3，
那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0，
故选：
B．
点评：
此题主要考查了根与系数的关系，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=﹣
，x1x2=
．
3．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（ ）
A．
﹣4
B．
6
C．
8
D．
12
考点：
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分析：
根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．
解答：
解：
∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．
∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．
又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．
将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得
（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．
故选C
点评：
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
4．（2007•泰安）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根，则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是（ ）
A．
19
B．
15
C．
11
D．
3
考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
欲求2x12﹣2x1+x22+3的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
解答：
解：
∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根．
∴x12﹣2x1=4，x1x2=﹣4，x1+x2=2．
∴2x12﹣2x1+x22+3
=x12﹣2x1+x12+x22+3
=x12﹣2x1+（x1+x2）2﹣2x1x2+3
=4+4+8+3=19．
故选A．
点评：
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
5．（2006•贺州）已知a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，则a2﹣ab+4a的值是（ ）
A．
6
B．
0
C．
7
D．
﹣1
考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由a，b是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个实数根，可以得到如下四个等式：
a2+4a﹣3=0，b2+4b﹣3=0，a+b=﹣4，ab=﹣3；再根据问题的需要，灵活变形．
解答：
解：
把a代入方程可得a2+4a=3，根据根与系数的关系可得ab=﹣3．
∴a2﹣ab+4a=a2+4a﹣ab=3﹣（﹣3）=6．
故选A
点评：
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义找一个关于a、b的相等关系，再根据根与系数的关系求出ab的值，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：
x1+x2=﹣
，x1•x2=
．
6．（1997•天津）若一元二次方程x2﹣ax﹣2a=0的两根之和为
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