高等数学教案第十一章.docx
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高等数学教案第十一章
第十一章无穷级数
教学目的：
1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。
4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。
6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。
7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。
8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
9、会利用幂级数的性质求和。
10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
教学重点：
1、级数收敛的定义及条件
2、判定正项级数的收敛与发散
3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；
4、泰勒级数
教学难点：
1、级数收敛的定义及条件
2、判定正项级数的收敛与发散
3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；
4、泰勒级数；
§1常数项级数的概念和性质
一、教学目的与要求：
1．理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。
2．理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
二、重点（难点）：
级数收敛的定义及条件
三、教学方式：
讲授式教学结合多媒体
讲授内容：
一、常数项级数的概念
常数项无穷级数:
一般地，给定一个数列
u1,u2,u3,⋅⋅⋅,un,⋅⋅⋅,
则由这数列构成的表达式
u1+u2+u3+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅
叫做（常数项）无穷级数,简称（常数项）级数,记为
即
其中第n项un叫做级数的一般项.
级数的部分和:
作级数
的前n项和
称为级数
的部分和.
级数敛散性定义:
如果级数
的部分和数列
有极限s,
即
则称无穷级数
收敛,这时极限s叫做这级数的和,
并写成
;
如果
没有极限,则称无穷级数
发散.
余项:
当级数
收敛时,其部分和sn是级数
的和s的近似值,它们之间的差值
rn=s-sn=un+1+un+2+⋅⋅⋅
叫做级数
的余项.
例1讨论等比级数（几何级数）
的敛散性,其中a≠0,q叫做级数的公比.
解：
如果q≠1,则部分和
.
当|q|<1时,因为
所以此时级数
收敛,其和为
.
当|q|>1时,因为
所以此时级数
发散.
如果|q|=1,则当q=1时,sn=na→∞,因此级数
发散;
当q=-1时,级数
成为
a-a+a-a+⋅⋅⋅,
时|q|=1时,因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零,
所以sn的极限不存在,从而这时级数
也发散.
综上所述,如果|q|<1,则级数
收敛,其和为
;如果|q|≥1,则级数
发散.
仅当|q|<1时,几何级数
a≠0）收敛,其和为
.
例2证明级数
1+3+5+⋅⋅⋅+（2n-1）+⋅⋅⋅
是发散的.
证此级数的前n项部分和为
.
显然,
因此所给级数是发散的.
例3判别无穷级数
的收敛性.
解由于
因此
从而
所以这级数收敛,它的和是1.
提示:
.
二、收敛级数的基本性质
性质1如果级数
收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数
也收敛,且其和为ks.
证明：
设
与
的部分和分别为sn与σn,则
.
这表明级数
收敛,且和为ks.
表明：
级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。
性质2如果级数
、
分别收敛于和s、σ,则级数
也收敛,且其和为s±σ.
证明：
如果
、
、
的部分和分别为sn、σn、τn,则
.
表明：
两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。
性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.
比如,级数
是收敛的,
加一项后级数
也是收敛的,
减一项后级数
也是收敛的.
性质4如果级数
收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.
注意:
如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛.
例如,级数
（1-1）+（1-1）+⋅⋅⋅收敛于零,但级数1-1+1-1+⋅⋅⋅却是发散的.
推论:
如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.
级数收敛的必要条件:
性质5如果
收敛,则它的一般项un趋于零,即
.
证：
设级数
的部分和为sn,且
则
.
注意:
级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.
例如调和级数
尽管它的一般项
，但它是发散的.
因为假若级数
收敛且其和为s,sn是它的部分和.
显然有
及
.于是
.
但另一方面,
故
矛盾.这矛盾说明级数
必定发散.
§2常数项级数的审敛法
一、教学目的与要求：
1．掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。
2．掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。
3．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系
二、重点（难点）：
判定正项级数的收敛与发散
三、教学方式：
讲授式教学结合多媒体
讲授内容：
一、正项级数及其审敛法
定义：
各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。
正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论：
定理1正项级数
收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界.
证设级数
u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅
是一个正项级数。
其部分和为sn
显然sn是一个单调增加数列，若部分和数列sn有界.则根据单调有界数列必有
极限的准则，可知级数∑un收敛；反之,若级数∑un收敛，则部分和数列sn有极限，
根据有极限的数列是有界数列的性质可知{sn}有界..
定理2（比较审敛法）设
和
都是正项级数,且un≤vn（n=1,2,⋅⋅⋅）.若级数
收敛,则级数
收敛;反之,若级数
发散,则级数
发散.
证设级数
收敛于和σ,则级数
的部分和
sn=u1+u2+⋅⋅⋅+un≤v1+v2+⋅⋅⋅+vn≤σ（n=1,2,⋅⋅⋅）,
即部分和数列{sn}有界,由定理1知级数
收敛.
反之,设级数
发散,则级数
必发散.
因为若级数
收敛,由上已证明的结论,将有级数
也收敛,与假设矛盾.
推论设
和
都是正项级数,如果级数
收敛,且存在自然数N,使当n≥N时有un≤kvn（k>0）成立,则级数
收敛;如果级数
发散,且当n≥N时有un≥kvn（k>0）成立,则级数
发散.
例1讨论p-级数
的收敛性,其中常数p>0.
解设p≤1.这时
而调和级数
发散,由比较审敛法知,
当p≤1时级数
发散.
设p>1.此时有
（n=2,3,⋅⋅⋅）.
对于级数
其部分和
.
因为
.
所以级数
收敛.从而根据比较审敛法的推论1可知,级数
当p>1时收敛.
综上所述,p-级数
当p>1时收敛,当p≤1时发散.
提示:
级数
的部分和为
.
因为
所以级数
收敛.
p-级数的收敛性:
p-级数
当p>1时收敛,当p≤1时发散.
例2证明级数
是发散的.
证因为
而级数
是发散的,
根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.
定理3（比较审敛法的极限形式）
设
和
都是正项级数,
（1）如果
（0≤l<+∞）,且级数
收敛,则级数
收敛;
（2）如果
且级数
发散,则级数
发散.
证明由极限的定义可知,对
存在自然数N,当n>N时,有不等式
即
再根据比较审敛法的推论1,即得所要证的结论.
例3判别级数
的收敛性.
解因为
而级数
发散,
根据比较审敛法的极限形式,级数
发散.
例4判别级数
的收敛性.
解因为
而级数
收敛,
根据比较审敛法的极限形式,级数
收敛.
定理4（比值审敛法,达朗贝尔判别法）
若正项级数
的后项与前项之比值的极限等于ρ:
则当ρ<1时级数收敛;
当ρ>1（或
）时级数发散;
当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.
例5证明级数
是收敛的.
解因为
根据比值审敛法可知所给级数收敛.
例6判别级数
的收敛性.
解因为
根据比值审敛法可知所给级数发散.
例7判别级数
的收敛性.
解
.
这时ρ=1,比值审敛法失效,必须用其它方法来判别级数的收敛性.
因为
而级数
收敛,因此由比较审敛法可知所给级数收敛.
定理5（根值审敛法,柯西判别法）
设
是正项级数,如果它的一般项un的n次根的极限等于ρ:
则当ρ<1时级数收敛;当ρ>1（或
）时级数发散;
当ρ=1时级数可能收敛也可能发散.
例8证明级数
是收敛的.
并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差.
解因为
所以根据根值审敛法可知所给级数收敛.
以这级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差为
+
.
例9判定级数
的收敛性.
解因为
所以,根据根值审敛法知所给级数收敛.
定理6（极限审敛法）
设
为正项级数,
（1）如果
则级数
发散;
（2）如果p>1,而
则级数
收敛.
例10判定级数
的收敛性.
解因为
故
根据极限审敛法,知所给级数收敛.
例11判定级数
的收敛性.
解因为
根据极限审敛法,知所给级数收敛.
二、交错级数及其审敛法
交错级数:
交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.
交错级数的一般形式为
或
其中
.
例如,
是交错级数,但
不是交错级数.
定理7（莱布尼茨定理）
如果交错级数
满足条件:
（1）un≥un+1（n=1,2,3,⋅⋅⋅）;
（2）
则级数收敛,且其和s≤u1,其余项rn的绝对值|rn|≤un+1.
证明:
设前2n项部分和为s2n.
由s2n=（u1-u2）+（u3-u4）+⋅⋅⋅+（u2n1-u2n）,及
s2n=u1-（u2-u3）+（u4-u5）+⋅⋅⋅+（u2n-2-u2n-1）-u2n
看出数列{s2n}单调增加且有界（s2n<
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