高等数学教案第十一章.docx

1、高等数学教案第十一章第十一章 无穷级数教学目的： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。 7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、会利用幂级数的性质求和。 10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。11

2、、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。教学重点 ：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散 3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数教学难点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散 3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数；1 常数项级数的概念和性质一、教学目的与要求：1理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。二、重点（难点）：级数收敛的定义及条件三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、常数项级数的概念 常数项无穷级数: 一般地，给定一个数列 u1, u2,

3、 u3, , un, , 则由这数列构成的表达式 u1 + u2 + u3 + + un + 叫做（常数项)无穷级数, 简称（常数项)级数, 记为, 即 , 其中第n项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和: 作级数的前n项和 称为级数的部分和. 级数敛散性定义: 如果级数的部分和数列有极限s, 即 , 则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和, 并写成 ; 如果没有极限, 则称无穷级数发散. 余项: 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做级数的余项. 例1 讨论等比级数(几何级数) 的敛散性, 其中a0, q叫做

4、级数的公比. 解： 如果q1, 则部分和 . 当|q|1时, 因为, 所以此时级数发散. 如果|q|=1, 则当q=1时, sn =na, 因此级数发散; 当q=-1时, 级数成为 a-a+a-a+ , 时|q|=1时, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零, 所以sn的极限不存在, 从而这时级数也发散. 综上所述, 如果|q|1, 则级数收敛, 其和为; 如果|q|1, 则级数发散. 仅当|q|0)成立, 则级数收敛; 如果级数发散, 且当nN时有unkvn(k0)成立, 则级数发散. 例1 讨论p-级数 的收敛性, 其中常数p0. 解 设p1. 这时, 而调和级数发散, 由比较审敛法知

5、, 当p1时级数发散. 设p1. 此时有 (n=2, 3, ). 对于级数, 其部分和 . 因为. 所以级数收敛. 从而根据比较审敛法的推论1可知, 级数当p1时收敛. 综上所述, p-级数当p1时收敛, 当p1时发散. 提示: 级数的部分和为 . 因为, 所以级数收敛. p-级数的收敛性: p-级数当p1时收敛, 当p1时发散. 例2 证明级数是发散的. 证 因为, 而级数是发散的, 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3 (比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数, (1)如果(0lN时, 有不等式 , 即, 再根据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数的收敛性.

6、 解 因为, 而级数发散, 根据比较审敛法的极限形式, 级数发散. 例4 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数收敛, 根据比较审敛法的极限形式, 级数收敛. 定理4 (比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 若正项级数的后项与前项之比值的极限等于: , 则 当1(或)时级数发散; 当 =1时级数可能收敛也可能发散. 例5 证明级数是收敛的. 解 因为, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例6 判别级数的收敛性. 解 因为, 根据比值审敛法可知所给级数发散. 例7 判别级数的收敛性. 解 . 这时=1, 比值审敛法失效, 必须用其它方法来判别级数的收敛性. 因为, 而级数收敛, 因此由比较审敛法可知所

7、给级数收敛. 定理5 (根值审敛法, 柯西判别法) 设是正项级数, 如果它的一般项un的n次根的极限等于: , 则当1(或)时级数发散; 当=1时级数可能收敛也可能发散. 例8 证明级数是收敛的. 并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差. 解 因为, 所以根据根值审敛法可知所给级数收敛. 以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为 + . 例9 判定级数的收敛性. 解 因为 , 所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6 (极限审敛法) 设为正项级数, (1)如果, 则级数发散; (2)如果p1, 而, 则级数收敛. 例10 判定级数的收敛性. 解 因为, 故 , 根据极限

8、审敛法, 知所给级数收敛. 例11 判定级数的收敛性. 解 因为 , 根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 二、交错级数及其审敛法 交错级数: 交错级数是这样的级数, 它的各项是正负交错的. 交错级数的一般形式为 , 或 其中. 例如, 是交错级数, 但不是交错级数. 定理7（莱布尼茨定理） 如果交错级数满足条件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un+1. 证明: 设前2n项部分和为s2n. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出数列s2n单调增加且有界(s2n